宁夏银川一中2013届高三年级第六次月考数学文科试卷


宁夏银川一中 2013 届高三年级第六次月考 数 学 试 卷(文)
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) 1. 等差数列 A.
a n ? bn

?a n ? 及等比数列 ?b n ? 中, a 1
B.
a n ? bn

? b1 ? 0 , a 2 ? b 2 ? 0 ,
a n ? bn

则当 n ? 3 时有(



C.

a n ? bn

D.

2. 设点 A ( 2, ? 3) , B ( ? 3, ? 2 ) ,直线 l 过点 P (1,1) 且与线段 A B 相交,则 l 的斜率 k 的取值范围是(
k ? 3 4 或 k ? ?4 ? 3 4 ? k ? 4 ?4 ? k ? 3 4 k ? ? 3 4



A. 3. 已知
? 1 7

B.

C.
? ? ? ?

D. k ? 4 或

? ? a ? ? ? 3, 2 ? , b ? ? ? 1, 0 ?
1

,向量 ? a ? b 与 a ? 2 b 垂直,则实数 ? 的值为(
? 1 6 1

)

A.

B. 7

C.

D. 6

4.若直线 l 1 : y ? 2 ? ( k ? 1) x 和直线 l 2 关于直线 y ? x ? 1 对称,那么直线 l 2 恒过定点( ) A. (2,0) B. (1,1) C. (1,-1) D. (-2,0) 5. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为( )

6. 设 a,b 为两条直线,α ,β 为两个平面,则下列结论成立的是( ) A.若 a?α ,b?β ,且 a∥b,则α ∥β B.若 a?α ,b?β ,且 a⊥b,则α ⊥β C.若 a∥α ,b?α ,则 a∥b D.若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b
f (sin a ? cos a ) ? sin a cos a ,

f (t ) ?

1 2 ,则 t 的值为(

7. 设




? 2 2

2

A. 2 8.函数

B. ?

2

C.

2

D. )

f (x) ? e

1? x

2

的部分图象大致是(

9. 已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的 距离为( ) A. 5 4 B.1
y? x

3 7 C. D. 4 4 上的一点 P 作圆 ( x ? 5) ? ( y ? 1) ? 2 的两条切线 l1 , l 2 , A, B 为切点,当直线 l1 ,l 2 关于直线
2 2

10. 过直线

1

y?x

对称时,则 ?APB ? (



A.30° B.45° C.60° D.90° 11.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的棱锥体积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为 ( ) A. 30° B .45° C . 90° D .60° 12. 设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数, 已知 x∈(0,1)时, f(x)= A.是增函数且 f(x)<0 C.是减函数且 f(x)<0 B.是增函数且 f(x)>0 D.是减函数且 f(x)>0

lo g 1
2

(1-x), 则函数 f(x)在(1,2)上(

)

第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题--第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题-第 24 题为 选考题,考生根据要求做答。 二.填空题(本小题共 4 个小题。每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡的相应位置)
y ? s i n 2x

13. 将函数 于 .

的图象向左平移

? (0 ? ? ? ? )

y ? s i n ( 2x ?

?
3

)

个单位后,得函数

的图象,则 ? 等

? x ? 1, ? ? y ? a ( a ? 1 ), ? x ? y ? 0, 14. 实数 x , y 满足 ? 若目标函数 z ? x ? y 取得最大值 4,则实数 a 的值为____________.

15.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是____.
x
2 2

?

y b

2 2

?1

16. 已知双曲线 a

(a>0,b>0)的一条渐近线与曲线 y ? x ? 2 相切,则该双曲线的离心率等
3

于 . 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)
? ABC 中, a , b , c 分别是 ? A , ? B , ? C 的对边,且
4 sin
2

B ?C 2

? cos 2 A ?

7 2 .

(Ⅰ)求 ? A ; (Ⅱ)若 a ? 7 , ? ABC 的面积为 10 18.(本题满分 12 分) 在等差数列
3 ,求 b ? c 的值.

?a n ?

?b ? S 中, a 1 ? 3 ,其前 n 项和为 n ,等比数列 n 的各项均为正数, b 1 ? 1 ,公比为 q ,且
q ? S2 b2

b 2 ? S 2 ? 12


bn



(Ⅰ)求

an




cn ? 1 Sn

(Ⅱ)设数列

?cn ?

满足

,求

?c n ?

的前 n 项和

Tn
2



19.(本小题满分 12 分) 如图,已知 AB ? 平面 ACD,DE∥AB,△ACD 是正三角形,
A D ? D E ? 2 A B ,且 F 是 CD 的中点.

(Ⅰ)求证 AF∥平面 BCE; (Ⅱ)设 AB=1,求多面体 ABCDE 的体积. 20.(本小题满分 12 分)
x
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

已知椭圆 a

的右焦点为 F(2,0), M 为椭圆的上顶点, O 为坐标原点,且△ M O F 是等

腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 M 分别作直线 MA , MB 交椭圆于 A , B 两点,设两直线的斜率分别为 k 1 ,
? 1 2 ,? 2

k2

,且

k1 ? k 2 ? 8

,证明:直线 A B 过定点(

) .

21.(本小题满分 12 分)
f ( x ) ? ? c o s x ? 4 t sin
2

x 2

cos

x 2

? 4 t ? t ? 3t ? 4
3 2

设函数

,x∈R,其中

t

≤1,将 f(x)的最小值记为 g(t).

(Ⅰ)求 g(t)的表达式; (Ⅱ)讨论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值. 请考生在 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡把所 选题目的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,直线 AB 过圆心 O,交⊙O 于 A,B,直线 AF 交⊙O 于 F(不与 B 重合),直线 l 与⊙O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连结 AC. 求证:(1)∠BAC=∠CAG; (2)AC2=AE·AF. 23. (本小题满分 10 分) 《选修 4—4:坐标系与参数方程》
? ?x=2cosα 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? ? ?y=2+2sinα

(α 为参数)

M 是 C1 上的动点,P 点满足=2,P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ = 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异 3 于极点的交点为 B,求|AB|. 24. (本小题满分 10 分) 《选修 4—5:不等式选讲》 设函数
f

?x? ?

x ? a ? 3x

,其中 a ? 0 .
3

f ? x ? ? 3x ? 2 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 的解集;

(Ⅱ)若不等式

f

? x ? ? 0 的解集为 ? x | x ?

? 1?

,求 a 的值

4

银川一中 2013 届高三第六次月考数学(文科)试卷参考答案 一·选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案

D

A

A

B

D

D

B

C

A

C

B

D

二·填空题(本小题共 4 个小题。每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡的相应位置)
5?

13. 6

14.2

15. 24π

16.

10

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)
4 sin
2

B ?C 2

? cos 2 A ?

7 2

解: (Ⅰ)由

2 [1 ? cos( B ? C )] ? cos 2 A ?

7 2 , 1 2 ,

得:

………………2 分

可得 4 cos

2

A ? 4 cos A ? 1 ? 0 ,

cos A ?



∵A ? (0, ? )

? A ?

?
3 .

…………………6 分

? ? 2 2 2 7 ? b ? c ? 2 bc cos ? ? 3 ? ?10 3 ? 1 bc sin ? ? 2 3 (Ⅱ) ?
? (b ? c )
2

………………10 分 ………………12 分

? 169

,? b ? c ? 13 .

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设

?a n ?

的公差为 d ,

? b 2 ? S 2 ? 12 , ? q ? 6 ? d ? 12 , ? ? S2 ? q ? ? q ? 6?d. , ? ? q b2 因为 ? 所以 ?

…………2 分 …………4 分 …………6 分

解得 q ? 3 或 q ? ? 4 (舍) d ? 3 . , 故
a n ? 3 ? 3( n ? 1) ? 3 n



bn ? 3

n ?1



5

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)取 CE 中点 P,连结 FP、BP,
1 DE

∵F 为 CD 的中点,∴ FP//DE,且 FP= 2
1 DE .



又 AB//DE,且 AB= 2 ∴ABPF 为平行四边形, ∴AF//BP. ∴AF//平面 BCE.

∴AB//FP,且 AB=FP, ……………4 分 P ……………6 分
1? 2 ?2 ? 3

又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE,

(II)∵直角梯形 ABED 的面积为 2
3 ?2 ?



3

C 到平面 ABDE 的距离为 2
V ? 1 3


? 3? 3 ? 3

∴四棱锥 C-ABDE 的体积为 ……………12 分 20. (本小题满分 12 分)

.即多面体 ABCDE 的体积为 3 .

解: (Ⅰ)由△ M O F 是等腰直角三角形,得 c2= b 2=4, a2=8 ? 1 …………5 分

x2 ? 8 故椭圆方程为

y2 4

(Ⅱ)(1)若直线 A B 的斜率存在,设 A B 方程为 y ? kx ? m ,依题意 m ? ? 2 . 设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,
2 ?x2 y ? ? ? 1, ? 8 4 ? y ? kx ? m , ?





?1 ? 2 k ? x
2

2

? 4 km x ? 2 m ? 8 ? 0
2



………7 分



x1 ? x 2 ? ?

4 km 1 ? 2k
2

, x1 x 2 ?

2m ? 8
2

1 ? 2k

2


6

y1 ? 2

由已知

k1 ? k 2 ? 8

?

y2 ? 2 x2

?8

,

可得

x1



k x1 ? m ? 2

?

kx2 ? m ? 2 x2

?8

所以

x1 x1 ? x 2 x1 x 2



2k ? ? m ? 2 ?

?8


k ? mk m ?2


m ? 1 2 1 2 1 2 k ?2

………10 分

? 4

所以

,整理得
y ? kx ?


x ? 1 2 )? 2 .

k ?2

故直线 A B 的方程为
?

,即

y ? k



,? 2

所以直线 A B 过定点(

) .
x ? x0

………11 分 ,

(2)若直线 A B 的斜率不存在,设 A B 方程为 设
A ( x0 , y0 )



B ( x0 , ? y0 )
? y0 ? 2 x0



y0 ? 2

?

?8

由已知
x0 ? ?

x0


x ? ? 1 2 ,显然过点( ? 1 2 ,? 2

1 2 .此时 A B 方程为 1 2



) .

?

,? 2

综上,直线 A B 过定点(

) .

………12 分

21. (本小题满分 12 分)解: (I)我们有
f ( x ) ? ? c o s x ? 4 t sin
2
2

x 2

cos

x 2

? 4 t ? t ? 3t ? 4
3 2
2 2

? sin x ? 1 ? 2 t sin ? 4 t ? t ? 3 t ? 4 ? sin x ? 2 t sin x ? t ? 4 t ? 3 t ? 3
2 2 3

? (sin x ? t ) ? 4 t ? 3 t ? 3
2 3



2 t ≤1 由于 (sin x ? t ) ≥ 0 , ,故当 sin x ? t 时, f ( x ) 达到其最小值 g ( t ) ,即

g (t ) ? 4 t ? 3t ? 3
3



………6 分

? ? (II)我们有 g ( t ) ? 1 2 t ? 3 ? 3( 2 t ? 1)( 2 t ? 1), ? ? t ? 1 .
2

7

列表如下:
t
?? ? ? ? ? 1, ? 2? ?
? 1 2

? 1 ?? ?? , ? ? 2 2?

1 2

?1 ? 1 ? ,? ?2 ?

g ?( t )

?

0
1 2 1

?

0
1 g( ) 极小值 2

?

g (t )



g (?

)

极大值
( ? 1, ? 1





由此可见, g ( t ) 在区间

)

(

,1)

(?

2 和 2

单调增加,在区间

1 1 , ) 2 2 单调减小,

1 1 g( ) ? 2 g (? ) ? 4 2 极小值为 2 ,极大值为 .

…12 分

22. (本小题满分 10 分) 【证明】(1)连结 BC , ∵AB 是直径,∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于 C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. (2)连结 CF,∵EC 切⊙O 于 C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG,∴△ACF∽△AEC.
AC ? AF A C ,∴AC2=AE·AF.

…………………5 分

∴ AE

…………………10 分

23. (本小题满分 10 分) x y 解:(1)设 P(x,y),则由条件知 M ?2,2?,由于 M 点在 C1 上,所以 ? ?

?2=2cosα , ?y ?2=2+2sinα .
x

? ?x=4cosα , 即? ?y=4+4sinα . ?

从而 C2 的参数方程为
?x=4cosα , ? ? (α 为参数) ? ?y=4+4sinα .

…………………5 分

(2)曲线 C1 的极坐标方程为ρ =4sinθ ,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =8sinθ . π π 射线θ = 与 C1 的交点 A 的极径为ρ 1=4sin , 3 3 π π 射线θ = 与 C2 的交点 B 的极径为ρ 2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ 2-ρ 1|=2 3. 24. (本小题满分 10 分)
8

…………………10 分

解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,
f (x) ? 3x ? 2

可化为

x ?1 ? 2

.由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 .
? 1?

故不等式

f

? x ? ? 3 x ? 2 的解集为 ? x | x ? 3或 x ?
x ? a ? 3x ? 0

。。。。。。。 分 。。。。。。。5

(Ⅱ) 由 f ( x ) ? 0 得

?x ? a ? x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组 ?
?x ? a ? ? a ?x ? 4 即?

?x ? a ? a ? x ? 3x ? 0 或?

?x ? a ? ? a ?x ? ? 2 或?

a? ? ?x | x ? ? ? 2? 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ?

?

a 2

? ?1

由题设可得

,故 a ? 2

.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

9


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