习题7-3定积分的计算

习 题 7.3

⒈ 设函数 f (x) 连续,求下列函数 F( x ) 的导数:

? ⑴

F(x) ?

b
f (t)dt ;

x

? ⑵

F(x) ?

ln x
f (t)dt ;

a

? ⑶

F(x) ?

? 1 ?? xsin 2 t dt ??

?0

?

a

1? t2

dt

.

? 解(1) F(x) ? ? x f (t)dt ,所以 F?(x) ? ? f (x) 。 b (2) F ?(x) ? f (ln x) ? (ln x)? ? 1 f (ln x) 。 x

? (3) F?(x) ? 1 ? ??

1 x sin 2 tdt ??2

? sin 2

x

?

4sin 2 x 4 ? (x ? sin x cosx)2



?0

?

⒉ 求下列极限:

? ⑴

lim

x cos t 2 dt

0

;

x?0

x

? x (arctan v)2 dv

⑶ lim 0

;

x???

1? x2

x2

? ⑵

lim
x?0

1

; e?w2 dw

cos x

??? x eu2 du ??2

⑷ lim ? 0

?。

? x???

x e2u2 du
0

? x cos t 2 dt

解(1) lim 0

= lim cosx2 ? 1。

x?0

x

x?0

(2) lim

x2

? lim

2x

? 2e 。

? x?0 1 e?w2 dw x?0 ? e?cos2 x (? sin x) cos x

? (3) lim

x (arctan v)2 dv
0

?

lim

(arc tanx) 2

?

lim

(arc tanx) 2

?2 ?



x???

1? x2

x???

x

x???

4

1? x2

? ? (4) lim

???

x eu2 du ??2

0

?

? lim

2e x2

x eu2 du

0

? lim

2e x2

?0。

? x???

x e2u2 du
0

x???

e2x2

x??? 2xe x2





f (x) 是[0, ??)上的连续函数且恒有

f(x)?0,证明 g(x) ?

?0xt
x

f (t) dt

是定

?0 f (t) dt

义在 [0, ??)上的单调增加函数。

216

证 因为

? ? ? g?(x) ?

f (x)??? x

x
f (t)dt ?
0

x
tf
0

(t)dt ???

?

f (x)

x

(x ? t) f (t)dt

0

? 0,

??? x f (t)dt ??2

?0

?

??? x f (t)dt ??2

?0

?

所以

g( x )

?

?0xt f (t) dt

?x 0

f

(

t

)

dt

是定义在

[0, ??)上的单调增加函数。

? 4. 求函数 f (x) ? x (t ?1)(t ? 2)2 dt 的极值。 0
解 f ?(x) ? (x ?1)( x ? 2)2 ,令 f ?(x) ? 0 ,得到 x ? 1, 2 。因为当 x ? 1时,

f ?(x) ? 0 ,当1 ? x ? 2 或 x ? 2 时, f ?(x) ? 0 ,所以 x ? 1是极小值点, x ? 2

不是极值点。由

? f (1) ?

1
[(t

?

2)3

?

(t

?

2) 2

]dt

?

? 17

,

0

12

可知 f (x) 在 x ? 1处有极小值 f (1) ? ?17 。 12
5 利用中值定理求下列极限:



?1
lim
n?? 0

xn 1? x

dt ;

解(1)由积分第一中值定理,



? lim n? p sin x

n?? n

x

dt

( p?N) 。

? 1
? lim
n?? 0

xn 1? x

dt

= lim 1 n?? 1? ?

1 xndx ? lim 1 ? 1 ? 0

0

n?? 1? ? n ?1

(0 ? ? ? 1) 。

? (2)由积分第一中值定理, ?? ?[n, n ? p] ,使得 n? p sin x dx ? sin ? p ? p ,

nx

?

n

所以

? lim n? p sin x dt ? 0 。

n?? n

x

6. 求下列定积分:

? ⑴ 1x2 (2 ? x2 )2dx ; 0

? ⑶

2
(2

x

? 3x )2 dx ;

0

? ⑵

2 (x ?1)( x 2 ? x ? 1)

1

2x2

dx ;

1
? ⑷ 2x(1 ? 4x2 )10 dx ; 0

? (5)

1 (x ? 1)dx ; ?1 (x 2 ? 2x ? 5) 2

1
(6) ?0 arcsinxdx ;

?x

(7)

?4
??4

dx ; cos2 x

?
? (8) 4 x tan2 xdx ; 0

217

?

(9)

?2
0

ex

sin 2

x

dx

;

? (11) 1 x2 arctan xdx ; 0

? (13) ln 2 x3 e?x2 dx ; 0

1 dx

? (15)

; 0 1? e2x

e
(10) ?1 sin(lnx)dx;
? (12) e?1 x2 ln(x ?1)dx 。 1
? (14) 1e2 x?1 dx ; 0

? (16)

1 2
?1
2

dx ; (1 ? x2 )3

? (17)

1? ?

x

?

1

??

4

dx

;

0? x ?1?

? (18)

1 x2 ?1 dx ;

0 x4 ?1

2 dx

? (19)

; 1 x 1? x2

?1
(20) x

x dx ;

0 2?x

? ? 解 (1) 1 x2 (2 ? x2 )2dx ? 1 (4x2 ? 4x4 ? x6 )dx ? 4 ? 4 ? 1 ? 71 。

0 0

3 5 7 105

? ? (2)

2 1

(

x

?1)(x2 ? 2x2

x

?

1)

dx

?

2 1

(

x 2

?1?

1 x

?

1 2x2

)dx

?

ln

2

?

1 2



? ? (3) 2 (2x ? 3x )2 dx ? 2 (4x ? 2 ? 6x ? 9x )dx ? 15 ? 70 ? 40 。

0

0

ln 4 ln 6 ln 3

? ? (4)

1 2

x(1?

4x2

)10

dx

?

?

1

1
2 (1? 4x2 )10 d(1? 4x2 ) ? ?

1

(1? 4x2 )11

1
2?

1



0

80

88

0 88

? ? (5)

1 (x ?1)dx ?1 (x2 ? 2x ? 5)2

?1 2

1 d (x ?1)2 ?1[(x ?1)2 ? 4]2

?

?

2( x2

1 ? 2x

?

5)

1? 1。 ?1 16

? ? (6) 1 arcsin xdx ? x arcsin x 1 ? 1 x dx ? ? ?1。

0

0 0 1? x2

2

??
(7) 4

x dx ? 0 。(奇函数在对称区间上的积分为零)

?

? 4

cos2 x

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? (8)

4 x tan2 xdx ?

4 x sec2 xdx ?

4

xdx

?

x

tan

x

? 4

?

4 tan xdx ?

4 xdx

0

0

0

00

0

? ? ? 1 ln 2 ? ? 2 。 4 2 32

? ? (9)

? 2

ex

sin 2

xdx

?

1

?
2 ex (1? cos 2x)dx ,由

0

20

? ? ? ?

2

ex

cos

2xdx

?

ex

cos 2x

? 2

?

2

? 2

ex

sin 2xdx

?

?
?e 2

?1?

2ex

sin 2x

? 2

?4

?
2 ex cos 2xdx ,

0

0

0

0

0

218

?

? 得到

? 2

ex

cos 2xdx

?

?

e2

?1 ,所以

0

5

?

?

?? 2

ex

sin 2

xdx

?

1

?
(e 2

?1) ?

e2

?1

?

3e 2

?2。

0

2

10

5

? ? (10)

e sin(ln x)dx ? x sin(ln x) e ?

e
cos(ln x)dx

1

11

所以

e
? e(sin1? cos1) ?1? ?1 sin(ln x)dx ,

?e sin(ln

x)dx

?

e

(sin1?

cos1)

?

1



1

2

2

? ? ? (11)

1 x2 arctan xdx ? 1 x3 arctan x 1 ? 1

0

3

03

1 x3 0 1? x2

dx

?

? 12

?

1 3

1 0

(

x

?

1

x ?x

2

)dx

? ? ? 1 (1 ? 1 ln 2) ? ? ? ln 2 ?1 。

12 3 2 2

12 6

? ? (12) x2 ln(x ?1)dx ? 1 x3 ln(x ?1) ? 1 (x2 ? x ?1? 1 )dx

3

3

x ?1

所以

?

1 3

(x3

?1)

ln( x

?1)

?

1 3

? ??

1 3

x3

?

1 2

x2

?

x

? ??

?

c

,

? e?1 1

x2

ln( x

? 1) dx

?

1 3

(x3

?1) ln(x

?1)

e?1 ?
1

1 3

? ??

1 3

x3

?

1 2

x2

?

x

? ??

e?1 1

?

2 9

e3

?

1 2

e2



? ? (13) ln2 x3 e?x2 dx ? ? 1 x2e?x2 ln2 ? 1 ln2 e?x2 dx2

0

2

0 20

? ? ln 2 ? 1 e?x2 ln2 ? 1? ln 2 。

42

0

4

(14)令 t ? x ?1,则 x ? t2 ?1 ,于是

? ? ? 1e2 x?1 dx ? 2 2 e2ttdt ? te2t 2 ? 2 e2tdt ? e2 2 ( 2 ? 1) ? 1 e2 。

0

1

11

22

? ? (15) 1

dx

1
??

de? x

? ? ln(e?x ? 1? e?2x ) 1 ? ln e(1? 2)

0 1? e2x

0 1? e?2x

0 1? 1? e2

? ln( 1? e2 ?1) ? ln( 2 ?1) ?1。

(16) 令 x ? sin t ,则

? ? 1 2

?

1 2

dx (1? x2 )3

?

? 6 ?? 6

dt cos2 t

?

2 tan t

? 6
0

?

2 3

3。

219

(17)令 t ? x ?1 ,则 x ?1

x

?

1? t 1?t

, dx

?

2dt (1? t)2

,于是

? ? ? 1?
0 ??

x x

?

1

4
?

? 1 ??

dx

?

0 2t 4 ?1 (1? t)2

dt

?

2

0 ?1

? ? ?

t

2

? 2t

?3? 4 1?t

?

1 (1? t)2

? ?

dt

?

?

2

? ??

1 3

t3

?

t2

?

3t

?

4 ln(1?

t)

?

1 1?

t

? ??

0 ?1

?

17 3

?

8 ln

2



注:本题也可令 t ? x ?1,得到

? ? 1?? x ?1??4 dx ?
0? x ?1?

2 (t ? 2)4 dt ? 17 ? 8ln 2 。

1 t4

3

? ? (18)

1 x2 ?1 dx ? 0 x4 ?1

1 0

d(x ? x?1) (x ? x?1)2 ? 2

?

1 arctan x2 ?1 1 ?

2

2x 0

2? 。 4

? ? (19) 2 dx ? ? 2 dx?1 ? ? ln(x?1 ? 1? x?2 ) 2 ? ln 2 ? 2 。

1 x 1? x2

1 1? x?2

1

1? 3

? ? (20)

1
x

x dx ? 1

x2

dx

0 2?x

0 2x ? x2

? ? ? 1
??

2x ? x2

dx ?

1 d(2x ? x2) ?2 1

dx

0 2x ? x2

0 2x ? x2

0 2x ? x2

? ? 0
??

1? t2 dt ? 2 2x ? x2 1 ? 2 1

dx

?1

0 0 1? (x ?1)2

? ?? ?2?2?? ? 3? ?2。

4

24

注:本题也可令 x ? 1? sin t ,得到

? ? 1
x
0

x dx ? 2?x

0 ??
2

(1 ?

sin t)2 dt

?

3? 4

?

2。

7. 求下列极限:



lim ?? n???

1 n2

?

2 n2

?

3 n2

??

?

n? n2

1

?? ?

;



1p?2p?3p???np lim

( p ? 0 );

n? ?

np?1

⑶ lim 1 ??sin ? ? sin 2? ? ? ? sin (n ?1)? ?? 。

n?? n ? n

n

n?

220

? 解(1)原式=

lim
n??

? ??

1 n

?

2 n

?

3 n

?

L

?

n ?1? n ??

1 n

?

1 xdx ? 1 。

0

2

? ? (2)原式=

lim
n??

n i?1

? ??

i n

?p ??

?

1 n

?

1 x pdx ?
0

1。 p ?1

? ? (3)原式=

lim
n??

? ? ?

n?1 i?1

sin

i? n

? ? ?

1 n

?

1
sin ?

xdx

?

2



0

?

8. 求下列定积分:

? ⑴ ? cosn xdx ; 0



?? sinn
??

xdx

;



?a(a2
0

?x2)n

dx;



1
?2
0

x

2

(1

?

4

x

2

)10

dx

;

(5)

1
?0

x

n

ln m

xdx ;

(6)

e
?1

x

ln

n

xdx .

? ? ? 解(1)

? cosn xdx ?

?
2 cosn xdx ?

? cosn xdx ,

0

0

?

2

在第二个积分中,令 t ?? ? x ,则

? ? ? ? ?

cosn

xdx

?

?

0
?

cosn

(?

?

t)dt

?

(?1)n

?
2 cosn tdt ,
0

2

2

? 所以当 n 为奇数时, ? cosn xdx ? 0 ; 0

? ? 当 n 为偶数时,

? cosn xdx ? 2

? 2

cosn

xdx

?

(n ?1)(n ? 3)L

1?



0

0

n(n ? 2)L 2

? (2)当 n 为奇数时,显然 ? sinn xdx ? 0 ; ?? 当 n 为偶数时,

? ? ? ? ?

sinn xdx ? 2

? sinn xdx ? 2

?
2 sinn xdx ? 2

? sinn xdx ,

??

0

0

?

2

? 在积分

?
?

sinn

xdx

中,令

t

?

?

?

x

,则

2

所以

? ? ? ? sinn xdx ? ? 0 sinn (? ? t)dt ?

?
2 sinn tdt ,

?

?

0

2

2

? ? ? sinn xdx ? 4

?
2 sinn

tdt

?

(n ?1)(n ? 3)L

1 2?



??

0

n(n ? 2)L 2

(3)令 x ? asint ,则

221

? ? a (a2 ? x2 )n dx ? a2n?1

?
2 cos2n?1 tdt ?

(2n)!! a2n?!。

0

0

(2n ?1)!!

(4)令 x ? 1 sin t ,则 2

? ? ? 1 2

x2

(1?

4x2

)10

dx

?

1

? 2

sin2

t

cos21

tdt

?

1

?
2 (cos 21 t ? cos23 t)dt

0

80

80

? 1 ?? 20!! ? 22!!?? ? 1 20!! 。 8 ? 21!! 23!!? 184 21!!

? ? (5) 1 xn lnm xdx ? 1 xn?1 lnm x 1 ? m 1 xn lnm?1 xdx

0

n ?1

0 n ?1 0

? ? ? ? m 1 xn lnm?1 xdx ? L n ?1 0

?

(?1)m

m! (n ?1)m

1 0

xndx

?

(?1)m

(n

m! ? 1)m?1



? ? ? (6) e x lnn x dx ? 1 x2 lnn x e ? n e x lnn?1 x dx ? 1 e2 ? n e x lnn?1 x dx

1

2

1 21

2 21

? ?

1 2

e2

?

n 2

? ??

1 2

e2

?

n

?1 2

e 1

x

ln n ?2

x

dx

? ??

?

L

? ? e2 [1? n ? n(n ?1) ?L
2 2 22

?

(?1)n?1

n! 2n?1

]

?

(?1)n

n! 2n

e
xdx
1

?

e2 2

[1 ?

n 2

?

n(n ?1) 22

?L

?

(?1)n

n! 2n?1

]

?

(?1)n?1

n! 2n?1



9. 设 f (x) 在[0,1] 上连续,证明:

?

?



?2
0

f(cosx)dx ?

?2
0

f (sin x) dx ;



?
?0 xf(sinx)dx=

? 2

?
?0

f

(sin

x)

dx



证(1)令 t ? ? ? x ,则 2

?

?

?

? ? ? 2 f (cos x)dx ? 2 f (sin t)dt ? 2 f (sin x)dx 。

0

0

0

(2)令 t ?? ? x ,则

? ? ? ? ? xf (sin x)dx ?

?
(? ? t) f (sin t)dt ? ?

?
f (sin x)dx ?

? xf (sin x)dx ,

0

0

0

0

所以

?0?xf(sinx)dx=

? 2

?
?0

f

(sin

x) dx



10. 利用上题结果计算:

222



?
?0 xsin4 xdx;



? xsinx
?0 1?cos2 x dx;



?x
?0 1?sin2

x

dx。

? ? ? 解(1) ? x sin4 xdx ? ?

? sin4 xdx ? ?

?
2 sin4 xdx ?

3 ?2。

0

20

0

16

? ? (2)

? 0

1

x ?

sin x cos2

x

dx

?

? 2

? 0

sin x 1? cos2

x

dx

?

?

? 2

arctan

cos

x

? 0

?

1 4

?

2



? ? ? ? (3)

? 0

1?

x sin2

x

dx

?

? 2

? 0

dx 1? sin2

x

??

? 2
0

dx 1? sin2

x

??

? 2

d tan x

0 1? 2 tan2 x

?

?

? arctan( 2 tan x) 2 ?

2?2。

2

04

11. 求下列定积分:



6
?0

x2[x]dx

;



2
?0

sgn(

x

?

x3

)

dx

;



1
?0

x

|

x

?

a

|

dx

;

(4)

2
?0

[e

x

]dx

.

? ? ? ? ? ? 解(1) 6 x2[x]dx ? 2 x2dx ? 2 3 x2dx ? 3 4 x2dx ?4 5 x2dx ? 5 6 x2dx ? 285 。

0

1

2

3

4

5

? ? ? (2)

2 sgn(x ? x3)dx ?

1
1dx ?

2 (?1)dx ? 0 。

0

0

1

(3)当 a ? 0 时,

? ? 1 x | x ? a | dx ?

1 x(x ? a)dx ? 1 ? a ;

0

0

32

当 0 ? a ?1时,

? ? ? 1 x | x ? a | dx ?

a
x(a ? x)dx ?

1 x(x ? a)dx ? 1 a3 ? a ? 1 ;

0

0

a

3 23

当 a ?1时,

? ? 1 x | x ? a | dx ?

1 x(a ? x)dx ? a ? 1 。

0

0

23

? ? ? ? ? (4)

2 [ex ]dx ?

ln 2
1dx ?

ln 3

2dx ?

ln 4

3dx ?

ln 5

4dx

0

0

ln 2

ln 3

ln 4

ln 6

ln 7

2

? ? ? ? 5dx ? 6dx ? 7dx

ln 5

ln 6

ln 7

? 14 ? ln(7!) 。

12.设 f (x) 在[a ,b] 上可积且关于 x ? T 对称,这里 a ? T ? b 。则

b
?a

f

( x )dx

?

2T ?b
?a

f

( x )dx

?

b
2?T

f

( x )dx



并给出它的几何解释。

? ? ? ? 证

b

2T ?b

T

f (x)dx ? f (x)dx ?

f (x)dx ? b f (x)dx ,

a

a

2T ?b

T

223

由于 f (x) 关于 x ? T 对称,所以 f (2T ? x) ? f (x) ,于是,令 x ? 2T ?t ,则

? ? ? ? ? T

T
f (x)dx ? ? f (2T ? t)dt ?

b
f (2T ? t)dt ?

b
f (t)dt ?

b f (x)dx ,

2T ?b

b

T

T

T

所以

?b
a

f

( x )dx

?

? 2T ?b
a

f

( x )dx

?

2?Tb

f

( x )dx



? 从 几 何 上 说 , 由 于 f (x) 关 于 x ? T 对 称 , 所 以 积 分 T f (x)dx 与 积 分 2T ?b
?b f (x)dx 表示的是相同的面积,从而上述等式成立。 T

13.设

f

(x)

?

? ?

xe

?

x

2

?1

,

??1 ? e x ,

x ? 0,

? 计算 I ? 4 f (x ? 2)dx 。

x ? 0.

1

解 令 t ? x ? 2 ,则

? ? ? ? ? I ?

2
f (t)dt ?
?1

0
f (t)dt ?
?1

2
f (t)dt ?
0

01 ?11? et

dt

?

2 te?t2 dt
0

? ? ? ?

0 ?1

d

(e?t ?1) e?t ?1

?

1 2

2 e?t2 dt 2 ? ln e ?1 ? 1 (1? e?4 ) 。

0

22

? 14 . 设 函 数 f (x) ? 1

x
(x

?

t)2

g(t)dt

,其中函数

g(x)



(??,??)

上连续,且

20

? ? ? g(1)

?

5,

1
g (t )dt

?

2 ,证明

f

?( x)

?

x

x
g(t)dt ?

x tg(t)dt ,并计算 f ??(1) 和 f ???(1) 。

0

0

0

? ? ? ? 解

f (x) ? 1

x (x2 ? 2xt ? t 2 )g(t)dt ? 1 x2

x
g(t)dt ? x

x tg(t)dt ? 1

x t 2 g(t)dt ,

20

20

0

20

等式两边求导,得到

? ? f ?(x) ? x x g(t)dt ? 1 x2 g(x) ? ( x tg(t)dt ? x2 g(x)) ? 1 x2 g(x)

0

2

0

2

? ? ? x

x
g(t)dt ?

x tg(t)dt 。

0

0

? 再求导,得到 f ??(x) ?

x
g (t )dt,

f

???( x)

?

g(x) ,所以

0

f ??(1) ? 2 , f ???(1) ? 5 。

? ? 15.设 (0,??) 上的连续函数 f (x) 满足 f (x) ? ln x ? e f (x)dx ,求 e f (x)dx 。

1

1

? 解 记 e f (x)dx ? a ,则 f (x) ? ln x ? a ,于是 1

所以

? ? a ?

e
f (x)dx ?

e ln xdx ? a(e ?1) ,

1

1

224

? a ? 1 e ln xdx ? 1 ?x ln x ? x?e ? 1 。

e1

e

1e

? ? 16.

设函数 f (x) 连续,且

1
tf

(2x

?

t)dt

?

1

arctan(x2 ) ,

f

(1)

? 1。求

2 f (x)dx 。

0

2

1

? 解 在 1tf (2x ? t)dt 中,令 u ? 2x ? t ,则 0

? ? 1
tf (2x ? t)dt

??

2x?1(2x ? u) f (u)du ,

0

2x

于是

? ? 2x
2x

f (u)du ?

2x uf (u)du ? 1 arctan(x2 ) ,

2 x?1

2 x?1

2

两边求导,得到

?2x
2 f (u)du ? 4x( f (2x) ? f (2x ?1)) ? 2(2xf (2x) ? (2x ?1) f (2x ?1)) ?

x



2 x?1

1? x4

将 x ? 1, f (1) ? 1代入上式,得到

?2 f (x)dx ? 5 。

1

4

? 17. 求 n? x | sin x | dx ,其中 n 为正整数。 0
解 首先有

? ? (2k?1)? x | sin x | dx ?

(2k?1)? x sin xdx ? (4k ? 1)? ,

2k?

2k?

? ? 2k?

2k?

x sin x dx ? ?

xsin xdx ? (4k ?1)? 。

)2k ?1)?

(2k ?1)?

当 n ? 2m 时,

? ? ? ? n? 0

x

|

sin

x

|

dx

?

m?1 k ?0

???

(2k ?1)?
x sin x dx ?
2k?

2(k ?1)? (2k ?1)?

x

sin

x

dx

???

m?1
? ?[(4k ? 1) ? (4k ? 3)? ] ? 4m2? ; k ?0
当 n ? 2m ?1时,

? ? ? ? ? n? x | sin x | dx ? m?1??

(2k ?1)?
x sin x dx ?

2(k ?1)?
x

sin

x

dx ??

?

( 2 m ?1)?
x sin x dx

0

? 2k?
k ?0

(2k ?1)?

? 2m?

? 4m2? ? (4m ? 1)? ? (2m ? 1)2? 。

所以

?n? x | sin x | dx ? n2? 。 0

? 18. 设函数 S(x) ?

x
| cost | dt ,

求 lim

S(x) 。

0

x??? x

225

解 设 n? ? x ? (n ?1)? , n 为正整数,则 x ? ? (x ? ??) 。由于 n

? ? ? n? cos x dx ? n ? cos x dx ? 2n , 0 ? x cos x dx ? ? ,

0

0

n?

可知

所以

2n ? S(x) ? 2n ? ? ,

xx

x

lim S(x) ? 2 。

x??? x

?

19. 设 f (x) 在 (0,??) 上连续,且对于任何 a ? 0 有

? g(x) ? ax f (t)dt ? 常数, x ? (0,??) 。 x
证明: f (x) ? c , x ? (0,??) ,其中 c 为常数。 x
? 证 在 g(x) ? ax f (t)dt 两边关于 x 求导,得到 x
g?(x) ? af (ax) ? f (x) ? 0 。

取 x ? 1,则 f (a) ? f (1) ,此式对任何 a ? 0 都成立。记 c ? f (1) ,就得到 a
f (x) ? c , x ? (0,??) 。 x
20. 设 f (x) 在 (0,??) 上连续,证明

? ? 4 f ?? x ? 2 ?? ln x dx ? (ln 2) 4 f ?? x ? 2 ?? 1 dx 。

1 ?2 x? x

1 ?2 x?x

证 令 t ? 4 ,则 x ? 4 , dx ? ? 4 dt ,于是

x

t

t2

? ? 4 f ?? x ? 2 ?? ln x dx ?
1 ?2 x? x

1 4

f

?? ?

t 2

?

2 t

?? ?

t(ln

4? 4

ln

t)

(?

4 t2

)dt

所以

?? 4 f ?? x ? 2 ?? ln 4 ? ln x dx ,
1 ?2 x? x

? ? 4 f ?? x ? 2 ?? ln x dx ? (ln 2) 4 f ?? x ? 2 ?? 1 dx 。

1 ?2 x? x

1 ?2 x?x

21.设 f ?(x) 在[a,b] 上连续。证明

226

? ? max | f (x) |?

1

b
f (x)dx ?

b
|

f

?(x) |

dx 。

a? x?b

b?a a

a

证 由于 f (x) 在[a,b] 上连续,可设 f (? ) ? max f (x) ,? ?[a,b] 及 a? x?b

f (?) ? min f (x) ,? ?[a,b] 。于是 a? x?b

max f (x) ? min f (x)

a? x?b

a? x?b

?

f (? ) ?

f (?)

?

f (?) ? f (?)

?

?
??

f

' ( x)dx

?

b
?a

f

'(x) dx。

? 另一方面,由积分中值定理, ?? ?[a,b] ,使 f (? ) ? 1 b f (x)dx ,于是
b?a a

min
a? x?b

f (x) ?

f (? )

?

b

1 ?

a

b
?a

f

(x)dx



所以

? ? max f (x) ? min f (x) ? (max f (x) ? min f (x) ) ?

1

b
f (x)dx ?

b
|

f

?(x) | dx 。

a? x?b

a? x?b

a? x?b

a? x?b

b?a a

a

22.设 f (x) 在 (??,??) 上连续,证明

? ? ? ? ?x
0

f

(u)( x

?

u) du

?

x 0

u f (x)dx du 。
0

证 利用分部积分法,

? ? ? ? ? ? ? ? x 0

u
f (x)dx du ?
0

u
u f (x)dx 0

x 0

?

x 0

uf

(u)du

=

?x
0

f (u)(x ? u) du 。

? ? ? ? ? 注:本题也可令 F(x) ?

x

x

f (u)(x ? u)du ?

u f (x)dx du ,证明 F '(x) ? 0 。

0

00

23. 设 f (x) 在[0, a] 上二阶可导( a ? 0 ),且 f ??(x) ? 0 ,证明:

?a f (x)dx ? af ?? a ?? 。

0

?2?

证 将 f (x) 在 x ? a 展开成 1 阶的 Taylor 公式,有 2

f (x) ? f ( a ) ? f ?( a )(x ? a ) ? 1 f ??(? )(x ? a )2 , (0 ? ? ? a) 。

2

2 22

2

由 f ??(x) ? 0 ,得到

f (x) ? f ( a ) ? f ?( a )(x ? a ) 。

2

22

? 对上述不等式两边从 0 到 a 积分,由于 a (x ? a )dx ? 0 ,就得到

0

2

?a f (x)dx ? af ?? a ?? 。

0

?2?

227

24. 设函数 f (x) 在[0,1]上二阶可导,且 f ??(x) ? 0 , x ?[0,1] , 证明:

?1 f (x2 )dx ? f ?? 1 ?? 。

0

?3?

证 将 f (x) 在 x ? 1 展开成 1 阶的 Taylor 公式,有 3

f (x) ? f (1) ? f ?(1)(x ? 1) ? 1 f ??(? )(x ? 1)2 , (0 ? ? ? 1) 。

3

3 32

3

由 f ??(x) ? 0 ,得到 f (x) ? f (1) ? f ?(1)(x ? 1) , x ?[0,1] ,再用 x 2 替换 x ,即得

3

33



f (x2 ) ? f (1) ? f ?(1)(x2 ? 1) 。

3

3

3

? 对上述不等式两边从 0 到1积分,由于 1(x2 ? 1)dx ? 0 ,就得到

0

3

?1 f (x2 )dx ? f ?? 1 ?? 。

0

?3?

25.设 f (x) 为[0,2? ] 上的单调减少函数, 证明:对任何正整数 n 成立

?2? f (x) sin nxdx ? 0 。 0



? ? ? ? 2? 0

f (x)sin nxdx ?

n?1 k ?0

????

(2k ?1)? n
2k? n

f (x) sin nxdx ?

(2k ?2)? n
(2k ?1)? n

f (x) sin nxdx???? ,

? ? 在

(2k ?1)? n
2k? n

f (x)sin nxdx 与

(2k ?2)? n
(2k ?1)? n

f (x)sin nxdx 中,分别令 x ? 2k? ? t 与 n

x ? (2k ?1)? ? t ,得到 n

? ? (2k?1)? n 2k? n

f (x)sin nxdx ? 1 n

? f (2k? ? t )sin tdt ,

0

n

? ? (2k?2)? n (2k ?1)? n

f (x)sin nxdx ? ? 1 n

? f ((2k ?1)? ? t )sin tdt 。

0

n

由于 f (x) 在[0,2? ] 上单调减少, sin t 在[0, ? ]上非负,所以

?2? 0

f (x) sin nxdx

?

1 n

n??1?0?
k ?0

????

f ?? 2k? ? t ?? ? ?n?

f ?? (2k ?

? 1)? n

? t ???????sin tdt

?0。

? ? 26. 设函数 f (x) 在[0,? ]上连续,且 ? f (x)dx ? 0 , ? f (x) cos xdx ? 0 。证明:在

0

0

(0,? ) 内至少存在两个不同的点?1 ,? 2 ,使得 f (?1) ? f (?2 ) ? 0。

? 证

证明一:

设 g(x) ?

x 0

f

(t)dt,

, h(x)

?

?0xg(x) sin

xdx ,则

228

g(0) ? g(? ) ? 0 ,

? ? h(0) ? 0 , h(? ) ?

?

?

g(x)sin xdx ? ? g(x)d cos x

0

0

? ? ? ?g(x) cos x ? ?

?
f (x) cos xdx ?

? f (x) cos xdx ? 0 ,

00

0

对 h(x) 在 [0,? ] 上 应 用 Rolle 定 理 , 可 知 存 在 ? ? (0,? ) ,

使得

h'(?) ? g(?)sin? ? 0 , 即 g(?) ? 0 ,再在[0,?] 和[?,? ]上对 g(x) 分别运用 Rolle 定

理,可知 ??1,?2 ? (0,? ) ,使得 f (?1) ? f (?2 ) ? 0。
证明二:用反证法。若不然,只有一个点? ? (0,? ) ,使得 f (? ) ? 0 ,由

于 f (x) 在[0,? ]上连续,所以 f (x) 在 (0,? ) 和 (? ,? ) 上异号,不妨设在 (0,? )

中 f (x) ? 0 ,在 (? ,? ) 中 f (x) ? 0 。

? 设 g(x) ? x f (t)dt ,则 0

g(0) ? g(? ) ? 0, g?(x) ? f (x) ,可知 g(x) 在 (0,? ) 中

单调减少,而在 (? ,? ) 中单调增加,从而 g(x) ? 0, x ?[0,? ]。

另一方面, g(x) 在[0,? ]上不恒等于零(否则 f (x) 恒为零与反证法假

设矛盾),于是

? ? ? ? ? f (x) cos xdx ?

? cos xdg(x) ? g(x) cos x ? ?

?
g(x) sin xdx ?

? g(x) sin xdx ? 0 ,

0

0

00

0

与题设矛盾。

229


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