广东省13大市2013届高三上学期期末数学(文)试题分类汇编--平面向量 Word版含答案

广东省 13 大市 2013 届高三上期末考数学文试题分类汇编
平面向量
一、选择、填空题 1 、 潮 州 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 平 面 四 边 形 ABCD 中 AB ? CD ? 0 , (

??? ??? ? ?

?

??? ???? ???? ? ( AB ? AD ) ? AC ? 0 ,则四边形 ABCD 是
B.菱形

A.矩形 答案:B

C.正方形

D.梯形

2、 (东莞市 2013 届高三上学期期末)已知平面向量 a ? (2, 4) ,3a ? 2b ? (4,8) ,则 a ? b ? A.-10 答案:A B.10 C.-20 D.20

?

?

?

? ?

b c 2) 3、佛山市 2013 届高三上学期期末) ( 已知 a ? (1, 2) , ? (0,1) , ? (k , ?2) , (a ? b ? c , 若
则k ? A. 2 答案:C B. ?2 C. 8 D. ?8

b 4、 广州市 2013 届高三上学期期末) ( 已知向量 a , 都是单位向量, a ?b ? 且
的值为 答案: 3 .

1 , 2a ? b 则 2

5、 (惠州市 2013 届高三上学期期末)已知向量 p ? ? 2 , 3? , q ? ? x ,? ,且 p / / q ,则 ? 6

p ? q 的值为(
A. 5

) B. 13 C. 5 D. 13

答案:B 6、 (江门市 2013 届高三上学期期末)如图 2,平行四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, F 是

AE 的中点,若 AB ? a , AD ? b ,则 AF ?

1 1 a ? b 2 4 1 1 C. a ? b 2 4
A. 答案:A 是( )

1 1 a ? b 4 2 1 1 D. a ? b 4 2
B.

7、 (茂名市 2013 届高三上学期期末)已知向量 a ? ( x ?1, 2), b ? (2,1) ,则 a ? b 的充要条件 A. x ? ?

?

?

?

?

1 2

B. x ? ?1

C. x ? 5

D. x =0

答案:D 8、 (汕头市 2013 届高三上学期期末)若向量 a ? (2,0), b ? (1,1) ,则下列结论正确的是( ). A. a ? b ? 1 B. | a |?| b | C. (a ? b) ? b D. a // b

答案:C 9、 (增城市 2013 届高三上学期期末)设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点, O 为任 意一点,则 OA ? OB ? OC ? OD ? A. OM B. 2OM C.

3OM

D.

4OM

答案:D 10、 (湛江市 2013 届高三上学期期末)已知向量 m=(x,1) ,n=(1,2) ,且 m∥n,则 x =___ 答案:

11、 (肇庆市 2013 届高三上学期期末)已知平面向量 a ? ? ?1, 2? , b ? ? 2, y ? , 且 a // b , 则

1 2

3a ? 2b ? (
答案:D

A. ? ?1,7 ?

)

B. ? ?1, 2?

C. ?1, 2 ?

D. ?1, ?2?

解析: a // b ? y ? ?4 ,∴ 3a ? 2b ? (?3,6) ? (4, ?8) ? (1, ?2) 12、 (中山市 2013 届高三上学期期末) 已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x ? y ? 1 相交于
2 2

A , B 两点,且 AB ? 3 , 则 OA ? OB 的值是(
A. ? 答案:A
1 2

) D.0

B.

1 2

C. ?

3 4

13、 (珠海市 2013 届高三上学期期末) 已知 a 、 均为单位向量, (2a ? b) ? (a ? 2b) = ? b

?

3 3 , 2

? a 与 b 的夹角为
A.30° 答案:A 14、 (茂名市 2013 届高三上学期期末)设向量 a ? (a1, a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,定义一运算: B.45° C.135° D.150°

?

?

? ? a ? b ? (a1, a2 ) ? (b1, b2 ) ? (a1b1, a2b2 )
已知 m ? ( , 2) , ? ( x1 ,sin x1 ) 。 Q 在 y ? f ( x) 的图像上运动, 点 且满足 OQ ? m ? n n (其中 O 为坐标原点) ,则 y ? f ( x) 的最大值及最小正周期分别是( )

??

1 2

?

????

??

?

A.

1 ,? 2

B. , 4?

1 2

C. 2, ?

D. 2, 4?

答案:C 二、解答题 1、 (东莞市 2013 届高三上学期期末)在 ?ABC 中 a、b、c 分别内角 A、B、C 的对边,已知 向量 m ? (c, b) , n ? (sin 2 B,sin C ) ,且 m ? n 。 (l)求角 B 的度数; (2)若△ABC 的面积为

??

?

??

?

3 3 ,求 b 的最小值. 4
……………2 分 ……………4 分

解:(1)由 m ? n ,得 m ? n = c sin 2 B ? b sin C ? 0 , 由正弦定理得 sin C ? 2 sin B cos B ? sin B sin C ? 0 , 因为 0 ? B ? ? , 0 ? C ? ? , 所以 sin B ? 0 , sin C ? 0 ,从而有 2 cos B ? 1 ? 0 , cos B ? ? 故 B ? 120 ? .

1 , 2
……………6 分

(2)由 S ?ABC =

1 3 3 ,得 ac ? 3 . ac sin B ? 2 4

……………8 分

又由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac(? ) ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 2ac ? 3=9 , 2
当且仅当 a ? c ?

………10 分 ……………11 分 ……………12 分

3 时等号成立,

所以, b 的最小值为 3 .

2、 (江门市 2013 届高三上学期期末)已知向量 m ? (?1 , sin x) , n ? (?2 , cos x) ,函数

f ( x) ? 2 m ? n .
⑴求函数 f (x) 在区间 [ 0 ,

?
2

] 上的最大值; A 2 24 B ? 64 , f( ? )? , 5 2 4 13

⑵若 ?ABC 的角 A 、 B 所对的边分别为 a 、 b , f ( ) ?

a ? b ? 11 ,求 a 的值.

解:⑴依题意, f ( x) ? 2(2 ? sin x cos x) ……2 分, ? 4 ? sin 2 x ……3 分,

x ?[ 0 ,

?
2

] ,则 2 x ? [ 0 , ? ] , sin 2 x ? [ 0 , 1] ……4 分,

所以,函数 f (x) 在区间 [ 0 , ⑵由 f ( ) ?

?
2

] 上的最大值为 5 ……5 分

24 4 得 sin A ? ……6 分, 5 5 B ? 64 ? 12 12 由 f( ? )? 得 sin( B ? ) ? ……7 分,从而 cos B ? ……8 分, 2 4 13 2 13 13 5 因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? ……9 分, 13 a sin A 52 a 52 52 ? ? 由正弦定理得 ? ……11 分,所以 ,a ? ……12 分. b sin B 25 a ? b 77 7
3、 (珠海市 2013 届高三上学期期末)设向量 a= (2, sin ? ) ,b= (1, cos ? ) ,θ 为锐角. 13 (1)若 a·b= 6 ,求 sinθ+cosθ 的值; π (2)若 a∥b,求 sin(2θ+3)的值. 13 1 解: (1) 因为 a·b=2+sinθcosθ= 6 ,所以 sinθcosθ=6. 4 所以 (sinθ+cosθ)2=1+2 sinθcosθ=3. 2 3 又因为 θ 为锐角,所以 sinθ+cosθ= 3 . (2) 解法一 因为 a∥b,所以 tanθ=2. 2 sinθcosθ 2 tanθ 4 所以 sin2θ=2 sinθcosθ= =5, 2 2 = 2 sin θ+cos θ tan θ+1 cos2θ=cos2θ-sin2θ= ……………… 6 分 ……………… 8 分 ……………… 3 分

A 2

cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 =-5.……………… 10 分 2 2 = 2 sin θ+cos θ tan θ+1

π 1 3 所以 sin(2θ+3 )=2sin2θ+ 2 cos2θ 4-3 3 1 4 3 3 =2×5+ 2 ×(-5 )= 10 . 解法二 因为 a∥b,所以 tanθ=2. 2 5 5 所以 sinθ= 5 ,cosθ= 5 . 4 3 因此 sin2θ=2 sinθcosθ=5, cos2θ=cos2θ-sin2θ=-5. π 1 3 所以 sin(2θ+3 )=2sin2θ+ 2 cos2θ 4-3 3 1 4 3 3 =2×5+ 2 ×(-5 )= 10 . ……………… 12 分 ……………… 10 分 ……………… 12 分 ……………… 8 分


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