习题6-3不定积分的计算


⒈ 求下列不定积分:



6.3

⑴ ?

dx ( x ? 1)( x ? 1)
2



⑵ ?

2x ? 3 (x
2

? 1 )( x 2 ? 1 )
d x

dx



⑶ ? ⑸ ? ⑺ ? ⑼ ? ⑾ ?

x dx ( x ? 1 )( x ? 2 ) 2 ( x ? 3 ) 3
3 x3 ? 1 dx



⑷ ? ⑹ ? ⑻ ? ⑽ ?

( 2 ? x? ) x ? x? ) x 4 4( 2 4 52




dx ;

dx x4 ? x2 ?1 x3 ? 1 x 3 ? 5x ? 6


dx

x4 ? 5x ? 4 x2 ? 5x ? 4



x2 1? x
4

dx

; ;

dx x
4

? 1


dx

dx ( x 2 ? 1 )( x 2 ? x ? 1 )
x2 ? 2 ( x 2 ? x ? 1)2

⑿ ?

x2 ?1 x ( x 3 ? 1) 1? x7 x (1 ? x 7 )



⒀ ?

dx ;

⒁ ?

dx ;

⒂ ?

x9 (x10 ? 2x5 ? 2)2 dx ( x ? 1)( x ? 1)2
1 2 ( x ? 1)

dx ;

⒃ ?
? ? 1 ? 1 )( x ? 1 )

x 3 n ?1 ( x 2 n ? 1) 2
1

dx



解(1) ?
1 4

= ?? ? 2 (x 。

1

?

? ? dx 2 ? ( x ? 1) ?

=

ln

x ?1 x ?1

?

?C

(2) ? 设

2x ? 3 (x
2

? 1 )( x

2

? 1)

dx

2x ? 3 (x
2

? 1 )( x
2

2

? 1)

=

Ax ? B x
2

?1

+
2

Cx ? D x
2

?1

,则

( Ax ? B )( x

? 1) ? ( Cx ? D )( x

? 1) ? 2 x ? 3 ,于是

?A ? ?B ? ?A ?B ?

?C ? 0 ? D ? 0 ?C ? 2 ? D ? 3



186

解得

A ? 1, C ? ? 1 , B ?

3 2

,D ? ?

3 2

。所以
? x x
2

? (x
? 1 2

2x ? 3
2

? 1 )( x
2

2

? 1)

dx

=??

? ? x
2

x ?1

3 ? ?dx ? 2 ?1?

?? x ?

?

1
2

?1

? x

1
2

? ? dx ?1?

ln

x ?1 x ?1
2

?

3 4

ln

x ?1 x ?1

?

3 2

a rc ta n x ? C



(3) ?

x dx ( x ? 1 )( x ? 2 ) 2 ( x ? 3 ) 3
x ( x ? 1)( x ? 2 ) ( x ? 3 )
2 3



?

A x ?1

?

B x? 2
2

?

C ( x ? 2)
3

2

?

D x?3

?

E ( x ? 3)
3

2

?

F ( x ? 3)
3

,则

A ( x ? 2 ) ( x ? 3 ) ? B ( x ? 1)( x ? 2 )( x ? 3 ) ? C ( x ? 1)( x ? 3 )
2 2 2

3

? D ( x ? 1)( x ? 2 ) ( x ? 3 ) ? E ( x ? 1)( x ? 2 ) ( x ? 3 ) ? F ( x ? 1)( x ? 2 )

2

? x。
3 2

令x

? ? 1 ,得到 A ? ?

1 8

;令 x

? ? 2 ,得到 C ? 2

;令 x

? ? 3 ,得到 F ?

;再比较

等式两边 x 5 、 x 4 的系数与常数项,得到
?A? B ? D ? 0 ? ?1 3 A ? 1 2 B ? C ? 1 1 D ? E ? 0 ?1 0 8 A ? 5 4 B ? 2 7 C ? 3 6 D ? 1 2 E ? 4 F ? 0 ?



于是解得

A ? ?

1 8

, B ? ? 5, C ? 2, D ?

41 8

,E ?

13 4

,F ?

3 2

,即

x ( x ? 1)( x ? 2 ) ( x ? 3 )
2 3

? ?

1 8 ( x ? 1)

?

5 x? 2

?

41 8( x ? 3)

?

2 ( x ? 2)
2

?

13 4 ( x ? 3)
2

?

3 2 ( x ? 3)
3



所以
?
x dx ( x ? 1 )( x ? 2 ) 2 ( x ? 3 ) 3
1 8 ( x ? 3)
41 40

?

ln

( x ? 1)( x ? 2 )

?

2 x?2

?

13 4 ( x ? 3)

?

3 4 ( x ? 3)
2

?C



187

(4) ?

dx (x
2

? 4 x ? 4 )( x

2

? 4 x ? 5)

2

1 (x
2

? 4 x ? 4 )( x 1 x
2

2

? 4 x ? 5) 1 x
2

2

? (x

1
2

? 4 x ? 4 )( x 1

2

? 4 x ? 5)

? (x

1
2

? 4 x ? 5)

2

?

? 4x ? 4

?

? 4x ? 5

? (x

2

? 4 x ? 5)

2



所以

? (x

dx
2

? 4 x ? 4 )( x

2

? 4 x ? 5)

2

=?

1 x? 2

? arctan( x ? 2 ) ?

? [1 ? ( x ? 2 )

d ( x ? 2)
2

]

2

? ?

1 x?2

?

x?2 2( x ? 4 x ? 5)
2

?

3 2

a rc ta n ( x ? 2 ) ? C



(5) ?

3 x ?1
3

dx
x?2 x
2

=??

?

1

? x ?1

?

1 ? ? dx ? ln x ? 1 ? 2 ? x ?1?
l n ( ?x ? 1 ) x ?
2

?

d (x x
2

2

? x ? 1) ? x ?1

?

3

? 2

dx x
2

? x ?1

1 ? lnx ? 1 ? 2

2x ? 1 3 a rc ta n C ? 。 3
3 3

(6)解一: ? = ? 2 = ? 4
? 1 4
1
1

dx x4 ? x2 ?1
? 1

= ? 2
2

1

( x ? 1) ? ( x ? 1) (x
2

? x ? 1)( x

2

? x ? 1)

dx

( x ? 1) dx x
2

? x ?1
2

? 2
?

( x ? 1 ) dx x ? x ?1

d (x x
2

? x ? 1) ? x ?1

1

? 4
1

dx x
2

? x ?1

?

1

? 4

d (x x
2

2

? x ? 1) ? x ?1

?

1

? 4


dx x
2

? x ?1

ln

x ? x? 1
2

x ? x ?1
2

?

x? 2 [a rc ta n 2 3 3
1 2 (1 ? x ) dx
2

1 ?

x? 2 1 a rc ta nC ? 3
(1 ? x ) dx
2

]

解二: ?
?

dx x
4

? x

2

?1

?

?

x
?1

4

? x

2

?1

?

1 2
?1 ?1

?

x

4

? x

2

?1

1 2 3 1 4

a rc ta n

x? x 3

?

1 4

ln

x? x x? x
2

?1 ?1

?C

?

ln

x ? x ?1
2

x ? x ?1
2

?

1 2 3

a rc ta n

x ?1 3x

?C



188

注:本题的答案也可以写成
4 2

1 4

ln

x ? x ?1
2

x ? x ?1
2

?

1 2 3

a rc ta n

3x 1? x
2

?C



(7) ?
x x
4 2

x x

? 5x ? 4 ? 5x ? 4

dx

? 5x ? 4 ? 5x ? 4

=x2

? 5 x ? 21 ?

80 x? 4



所以

?
(8) ?

x x

4 2

? 5x ? 4 ? 5x ? 4

dx ?

1 3

x ?
3

5 2

x ? 2 1 x ? 8 0 ln x ? 4 ? C
2



x ?1
3

x ? 5x ? 6
3

dx

x ?1
3

x ? 5x ? 6
3

?1?

5x ? 7 ( x ? 1)( x
2

? x ? 6)

?1?

1 4 ( x ? 1)

?

1 4 x

x ? 22
2

? x?6



所以

?
(9) ?

x ?1
3

x ? 5x ? 6
3

dx ? x ?

1 8

ln

( x ? 1)
2

2

x ? x?6
1

? 4

43 23

a rc ta n

2x ?1 23

?C



x2 1? x
4

dx ?

1

?? 2 ?1? x

?

1

2

?

1 1? x 1 ? ? a rc ta n x ? C ? d x ? ln 1? x ? 4 1? x 2
2



(10) ?

dx x
4

? 1

?

? 2 1 2 1 ? ? ? x? x? dx 4 2 4 2 ? ? = ? dx x 4 ? 1 ?? x2 ? 2x ?1 x2 ? 2x ?1? ? ? ? ?
2x ?1 2x ?1 ? 1

?

2 8

ln

x x

2 2

? ?

?? x 4
?

?

1
2

?

2x ?1

? x

1
2

?

? ? dx 2x ?1?

?

2 8

ln

x ?
2

x ?
2

2x ? 1 2 ? (a rc ta n ? x( 4 2x ?1

2?

1)

a rc ta n ( 。 x? ?C 2

1))

(11) ?
1 2

dx (x
2

? 1 )( x

2

? x ? 1)
1

?

?? x ?

?

x ?1
2

? x ?1

? x

x
2

? ? dx ?1?

?

ln

x ? x ?1
2

x ?1
2

?

? 2

dx x ? x ?1
2

?

1 2

ln

x ? x ?1
2

x ?1
2

?

1 3

a rc ta n

2x ?1 3

?C



189

(12) ?

x2 ?1 x ( x ? 1)
3

dx ?

?
3

x

2

? x ? ( x ? 1)
3 3

x ( x ? 1)
3

dx ?

?

x? x
3

2

x ?1

dx ?

?

dx x
3

?

?
1 3 1 3
2 3

x x ?1
3

dx ?

1 3

ln

x ?1 x
3

x ?1 1 x ?1 ? 1 ? ? ?? ? 2 ? dx ? ln 3 3 ? x ?1 x ? x ?1? 3 x 1 1 2 1 ?1 ) 3 dx x
2

?

ln x ? 1 ?

1 6 1 6
1 6

?

d (x x
2

2

? x ? 1) ? x ?1

?

?

? x ?1

?

1 3

ln

x ?1
3

x
3

3

?

lnx? 1 ?

l x (? x ? n
2

x? 2 1 1x ? a rc ta ? n 3 3 x 3
1 3 x? 2 1 a rc ta n ?C 3

1 l?nC

?

lnx? 1 ?

l x (? x ? n
2

?1 ) x ?n l



(13) ?
? ?

x2 ? 2 ( x ? x ? 1)
2 2

dx = ?

x

2

? x ?1? x ?1
2

(x

? x ? 1)

2

dx

?

?? x ?
2 3

1
2

? x ?1

?

1 2 (x
2

2x ? 1 ? x ? 1)
2

?

3 2 (x
2

? ? dx ? ? x ? 1) ? 1
2

=

arctan

2x ?1 3

1 ? ? x? 3?2 4 2x ?1? 2 ? ? ? ? arctan ??C 2 2 2 ( x ? x ? 1) 2 ? 3 x ? x ? 1 3 3 3 ? ? ? 1

?

4

2x ? 1 x? 1 a rc ta n ? 2 ?C x ? x ?1 3 3


6 7 7 7

(14) ?

1? x7 x (1 ? x 7 )
2 7

dx ?

?

1? x

7 7

x (1 ? x )

dx ?

?1?

2x

dx ?

x

?

1 x

dx ?

2 7

?1?

dx

x

? lnx ?

l n 1x ?

7

?C。

(15) ?

x9 (x10 ? 2x5 ? 2)2
1 10( x
10

dx ?

1 10

?

d (x (x
5

10

? 2 x ? 2)
5 5 2

10

? 2 x ? 2)

?

1 5

? [1 ? ( x
5

d ( x ? 1)
5 5

? 1) ]
2

2

? ?

? 2 x ? 2)
5 5

? 10( x 1 10

x ?1
10

? 2 x ? 2)
5

?

1 10

a rc ta n ( x ? 1) ? C

? ? 10( x

x ?2
10

? 2 x ? 2)
5

?

a rc ta n ( x ? 1) ? C
5



190

(16) ?

x 3 n ?1 (x
1 2n x
2n

? 1)
x
2n n

2

dx

=

? 2n (x
d x ? x 1
n

1

x
2n

n

? 1)

2

dx

2n

? ?

?x 2n

1

n

d x

1
2n

?1

? ?

? 1

?

? 2 n

1

? ? 2n

1 n 2x

x
2n

n

?

?

1 n a r c t a n? C x 1 n 2



⒉ 在什么条件下,

f (x) ?

ax2 ? bx ? c x(x ?1 2 )

的原函数仍是有理函数?



f (x) ?

ax2 ? bx ? c x(x ?1 )
2

2

可化为部分分式
2

A x

?

B x ?1

?

C ( x ? 1)
2

,于是

A ( x ? 1) ? Bx ( x ? 1) ? Cx ? ax

? bx ? c


? 0 , B ? 0 ,由此可得

要使

f (x) ?

ax2 ? bx ? c x(x ?1 2 )

的原函数为有理函数,必须 A

a ? 0, c ? 0 。

⒊ 设 p n ( x ) 是一个 n 次多项式,求

? (x ? a)
解 由于 p n ( x ) = ?
k ?0 n

pn (x)
n ?1

dx



pn

(k )

(a )

(x ? a)

k

,所以

k!
n

? (x ? a)
? ??
n ?1

pn (x)
n ?1

dx ?

?
k ?0

pn

(k )

(a )

k!

? (x ? a)
pn
n(

dx

n ? k ?1

pn

(k )

(a )

1
n?k

k ?0

k !( n ? k ) ( x ? a )

?

a (

)

) ln x ? a ? C



n!

⒋ 求下列不定积分: ⑴ ?
x 2 ? 4x
x
2

dx



⑵ ?

dx ( x ? a )( b ? x )



⑶ ?

dx
2



1? x ? x

⑷ ?

x2 ?1 x x4 ?1
x ?1 x ?1

dx



⑸ ?

x ?1 ? x ?1 ?

x ?1 x ?1

dx ;

⑹ ?

dx



191

⑺ ?

dx x (1 ? x )
dx x ?
4



⑻ ?

dx x
4

1? x2
2 8



⑼ ?


x

⑽ ?3 ;

( x ? 4) ( x ? 1)

dx



⑾ ?3

dx ( x ? 2)( x ? 1)2
x 2 ? 4x
2 ? 4x ? 1

⑿ ?
x 2
3

dx x4 1 ? x4
1 2



解(1) ?
? ? x 2 1 6

dx
1 12

= ? xd 2

2 ? 4x ?

2 ? 4x ?

?

2 ? 4 x dx

(2 ? 4 x) ? C

( x ? 1) 2 ? 4 x ? C



(2)不妨设 a

? b,

?

dx ( x ? a )( b ? x )

?

?
(

dx b?a 2 ) ? (x ?
2

a ?b 2

? a rc s in

2x ? a ? b b?a

?C



)

2

注:本题也可令 x

? a cos

2

t ? b sin

2

t

,解得 。
d (1 ? x ? x )
2

?

dx ( x ? a )( b ? x )
x
2

? 2 a rc sin

x?a b? x

?C

(3) ?
1 4

1? x ? x

2

dx ? ? ?

1? x ? x

2

dx ?
2

1

1? x ? x

? 2

?

3

1? x ? x

2

? 2

dx 1? x ? x
2

? ?

( 2x ? 3 ) ?1x ? x ?
2

7 8

2? 1 x a rc s in ?C 5


?1

(4) ?

x2 ?1 x
2

x4 ?1

dx

=?

x x
2

2

?1
2

x

? x

?2

dx ?

?

d (x ? x (x ? x
?1

)

) ? 2
2

? ln

x ?1? x

x ?1
4

?C



注:这里假设 x (5) ?
x ?1 ? x ?1 ?

? 0 ,当 x ? 0 时可得到相同的答案。

x ?1 x ?1

dx = ?

2 ( x ?1 ? x ? 1)
2

dx ?

?

dx x? x
2

?1

192

?

? (x

?

x

2

1 ?1 ) d x ? 2

2

1 x ? 2

x

2

x ? 1

1 ? ln 2

x?

2

x ? 1

? 。C

注:本题也可通过作变换 t
x ?1 x ?1
x ?1 x ?1
2

?

x ?1 x ?1

来求解。

(6) ?

dx

=?

dx ?

x ? 1 ? ln x ?
2

x ?1 ? C
2



注:本题也可通过作变换 t
dx x (1 ? x )
dx (x ? 1 2
? 2 ln ( 1 ? x ? x)? C

?

x ?1 x ?1

来求解。
1 2

(7) ?

=?

? ln x ? ) ?
2

?

x (1 ? x ) ? c

1 4



(8)设
?
dx

x ? tan t

,则
sec
4 2

x4 1? x2
1 3 s in t
3

?

? tan
1

tdt

?

t sec t
2

?

cos sin

3

tdt
4

?

t

?

1 ? sin sin
4

2

t

d sin t

t

? ?

?

?c ?

2x ?1 3x
4
3

1? x ? C
2



s in t

(9)设 t
?

?

4

x,则 x ? t , dx ? 4 t dt
3

,于是
1 t ?1 ) dt

dx x ?
2

4

?

x

?t

4 t dt
2

3

?t

? 4? t ? 1 ? (

? 2 t ? 4 t ? 4 ln t ? 1 ? c ? 2
x?4 x ?1
2 8

x ? 4 4 x ? 4 ln 4 x ? 1) C ( ?
3 3



(10)设 t

?

3

,则 x ?

4?t 1? t
3 2

, dx ?

15 t

2 3 2

(1 ? t )

dt

,于是

?

( x ? 4)
3

( x ? 1) 3 25

dx

=?t2
3

(1 ? t ) 25
5

15 t

2 3 2

(1 ? t )

dx ?

?t 5

3

4

dt

?

t ?c ?
5

3

25

? x?4? ? ? ?C ? x ?1 ?


9t
2 3 2

(11)设 t

?

3

x?2 x ?1

,则 x ?

2?t 1? t

3 3

, dx ?

(1 ? t )

dt

,于是

193

?3

dx ( x ? 2)( x ? 1)
2

?

1 1? t ?t? 3

3

?

9t

2 3 2

(1 ? t )

dt ? 3 ?

tdt 1? t
3

1 t ?1 ? ? 1 2 ? ?? ? ? 2 ? dt ? ? ln t ? 1 ? ln( t ? t ? 1) ? 2 ? t ?1 t ? t ?1?

3 arctan

2t ? 1 3

?c

? ?

1 2

ln
3

? x?2 ? ?3 ? 1? ? x ?1 ? ? ? ? x?2? ? ? ? x ?1?
2

2

23 ? ?1 3 arctan

x?2 x ?1 3

?1 ?c

?

3

x?2 x ?1

? ?

3 2

3

ln (

3

x ?1 ?

3

x ? 2) ?

3 a rc ta n

x ?1 ? 2 3?
3

3

x?2

x ?1

?C



(12)设 t

?

4

1? x ,x
4

4

? t

4

? 1 ,于是
1 ? 1
2

?
?

dx x 1? x
4 4

?

? (t
1 2

t dt
4

3

? 1) t

?

?? 2 ?t

?1
4

? t

1
2

? ? dt ?1?

1 4

ln

t? 1 t? 1

?

a r c tt a n ? ?c

1 4

4

?1x ? 1 ln ? 4 1? x ?1
4

1 2

a r ? tx a ? C 1 c n 。
4 4

⒌ 设 R ( u , v , w ) 是 u, v, w的有理函数,给出
( x ?, ? ) x ?R , a x b xd

的求法。 解 设t
? a ? x

,则
? a, t,
2

2 ( x ?, ? ) x ?R , a x b xd= 2 ? R ( t

t

2

? a ? b ) tdt

再令

t

2

?a?b ? t?u

,则 t

?

b? a ?u 2u

,从而

( x ?, ? ) x ?R , a x b xd
b?a ?u 2u
2

?

? R ((

) ? a,
2

b?a ?u 2u

2

,

b?a ?u 2u

2

)

b?a ?u 2u

2

?

a ? b ? 2u 2u
2

2

du

为有理函数的积分。 ⒍ 求下列不定积分:

194

⑴ ? ⑶ ? ⑸ ?

dx 4 ? 5 cos x
dx 3 ? sin
2



⑵ ? ⑷ ? ; ⑹ ?

dx 2 ? sin x dx

; ; ;


x dx

1 ? sin x ? c o s x

dx ( 2 ? c o s x ) sin x dx

2 sin x ? c o s x ? 5
dx tan x ? sin x

⑺ ?

; ;

⑻ ? ⑽ ? ⑿ ?
cos x ? 1? u 1? u
2 2

sin ( x ? a ) c o s( x ? b )



⑼ ? tan ⑾ ?

x tan( x ? a ) dx

sin x cos x sin x ? cos x
sin 2 x 1 ? sin 2 x dx

dx ;

dx sin 2 x cos 2 x
? tan x 2 ,

; 则


2 du

解(1)设 u

, x ? 2 arctan u , dx ?

1? u

2

,于是

?

dx 4 ? 5 cos x
x 2

=?

2du 9?u
2

?

1 3

ln

3?u 3?u

?c ?

1 3

3 ? tan ln 3 ? tan

x 2 ?C x 2
2 du 1? u
2



(2)设 u
?

? tan

,



sin x ?

2u 1? u
2

, x ? 2 arctan u , dx ?

,于是

dx 2 ? sin x

=?

du 1? u ? u
2

?

2 3

arctan

2u ? 1 3

?c

?

2 3

2 ta n a rc ta n

x 2 3

?1 ?C



(3) ?

dx 3 ? sin
2

?

x

? 3 c sc

c sc x d x
2

2

x ?1

? ??
x 2

d cot x 4 ? 3 cot x
2

? ?

1 2 3

a rc ta n

3 2

cot x ? C



注:本题也可通过作变换 t
?
dx 3 ? sin
2

? tan

,解得
3 6 x 2 )?C

?

3 6

a rc ta n (

1 3

ta n

x 2

)?

a rc ta n ( 3 ta n


x 2 dx

x

(4) ?

dx 1 ? sin x ? c o s x

?

?
2 sin

dx x 2 cos x 2 ? 2 cos
2

sec x 2 ?

2

?
2 (tan

x 2

? 1)

195

?

?
ta n

1 x 2 ?1

x d ta n ? 2

x l n t a ? ? C1。 n 2

(5)设 u 于是
?

? tan

x 2

,

则 sin

x ?

2u 1? u
2

, cos x ?

1? u 1? u

2 2

, x ? 2 arctan u , dx ?

2 du 1? u
2



dx 2 sin x ? c o s x ? 5

=?

du 3u
2

? 2u ? 2

?

1

? 3

du (u ? 1 3 ) ?
2

5 9

?

1 5

a rc ta n

3u ? 1 5

?c ?

1 5

3 ta n a rc ta n

x 2 5

?1 ?C



(6) ?

dx ( 2 ? c o s x ) sin x
1

?

? ( 2 ? cos
2

sin xdx x ) sin
2

x

? ??

d cos x ( 2 ? cos x )( 1 ? cos
2

x)

? ?

? 3 ( 2 ? cos

2 ? cos x ? 1 ? cos x x )( 1 ? c o s x ) 1 ? 1

d c o sx

? ?

1

? 3 1? cos

d c o sx
2

?
x

?? 3 ? 1 ? c o sx
1 ? 1 ln 3 ? 2
cos xdx

?

? ? d c o sx 2 ? c o sx ? 1

?

1 6

ln

1? c ox s 1? c ox s

?

c o s x ?c ? xc o s

1 ? ln 6

( 1x ?

c o s ? (x 1
3

) x( 2 c o s ?C 。 c o s )

2

)

(7) ?

dx tan x ? sin x

=?

sin x (1 ? cos x )

? ??

cos xd cos x (1 ? cos 1
2

x )( 1 ? cos x ) d c o sx
2

? ?

1

? 2

(1 ? cos x ) ? (1 ? cos x ) (1 ? cos 1? c ox s
2

x )( 1 ? c o sx ) 1 2 (1 ? c o s x )

d c o sx ? ?

? 2 1? cos
x 2 ? 1 4

? x x 2

1

? 2 (1 ? c o sx )


d c o sx

2

?

1 4

ln

1 ? cos x

?

?C ?

1 2

ln ta n

ta n

2

?C

(8) ?

dx sin ( x ? a ) c o s( x ? b )
1

=
cos(
)

? a ? b)

1

cos[( x ? a ) ? ( x ? b )] sin( x ? a ) cos( x ? b )

dx

?

? ? s in ( x ? a ) cos(a ? b )
?

? c o s ( a x?

?

s i? n ( ? x b ) 1 x?ain ( s ln ?C ? dx ? cos( x ? b ) ? cos(a ? b ) cos( x ? b )



)

196

(9) ? tan 当a 当a

x tan( x ? a ) dx

? ?

k? 2 k? 2

时, 原积分容易求得。 时, =??
? ? ta n ( x ? a ) ? ta n x ta n a ? ? 1? dx ?

? tan
? 1

x tan( x ? a ) dx

ln

cos x c o s( x ? a )

? x?C


2

ta n a

(10) ?
1 2
1 2

sin x cos x sin x ? cos x

dx ?

1 2 1

?

(sin x ? cos x ) ? 1 sin x ? cos x

dx

?

(sin x ? cos x ) ? 2

2
1

? csc(

x?

?
4

)d ( x ?

?
4

)

?

(s in x ? c o s x ) ? 2

ln ta n ( 2
2

x 2

?

?
8

) ?C



(11) ?

dx sin x cos x
2 2

?

?

(sin

x ? cos
2

2 2

x ) dx x

?

sin

x cos

? cos

dx
2

? x

? sin

dx
2

x

? t a n ? c ox t ? C? ? 2 c o t x 2 C x ?



(12) ?

sin 2 x 1 ? sin
1 2
2

x

dx ?

?

1 ? s in x ? 1
2

1 ? s in x
2

dx ? x ?

? 1 ? 2 ta n

d ta n x
2

x

? x ?

a rc ta n (

2 xt a ?n C ) 。

⒎ 求下列不定积分: ⑴ ?
x ex (1 ? x )
2

dx

; ;

⑵ ⑷ ⑹ ⑻

?

ln x (1 ? x 2 )
3 2

dx



⑶ ? ln 2 ( x

?

1 ? x 2 )dx

? x ln2 xdx ; ? ln(1? x2)dx

x ⑸ ? x2 ex sinxd ;
x 2 arcsin x 1 ? x2

⑺ ?

dx



?

1 x x
2

dx



? 2x ? 3

197

⑼ ? arc ⑾ ? ⒀ ? ⒂ ? ⒄ ?

tan

x dx

; ;

⑽ ⑿ ⒁ ⒃ ; ⒅

x ? x sin x d
1 ? sin x cos x

x ? sin x 1 ? cos x

dx

?

dx


dx

sin 2 x cos 3 x

dx



? e sin x

x c o s 3 x ? sin x cos 2 x dx
2


? 0

dx e ? e?x
x
3



?a

2

sin

x ? b cos
2

2

( ab
x

) ;

x
3

x( x ?

dx x)

? x ln

1? x 1? x

dx ;

⒆ ?

1 x aci x x ? 2 r sn d ;


x

?

dx (1 ? e x ) 2
1 x


x

解(1) ? (2) ?

x ex (1 ? x ) 2 ln x (1 ? x )
2

dx

=? ?

xe d

x

1 1? x

? ?

xe

1? x

?

?1?
2
1 2

(e

x

? xe ) dx ?
x

e

1? x

?C



3 2

dx

= ? ln

xd

x (1 ? x )
2
1 2

?

x (1 ? x )

ln x ?

?

dx 1? x
2

?

x 1? x
2

ln x ? ln( x ?

1? x )? C
2



(3) ? ln 2 ( x

?

1 ? x 2 )dx

= x ln 2 ( x ?

1 ? x ) ? 2 ? ln( x ?
2

1? x )
2

x 1? x
2

dx

? xl n

2

(x ?

1? x

2

)? 2

1x ?

2

lx ( n ?

?1 x
2

? ?)

2

2 1 ?x1 2 1? x

d x

? x ln ( x ?
2

1? x )? 2 1? x
2

2

ln( ? x
3

1 ? x ) ? 2x ? C
2



(4) ?

x ln2 xd = x

2 3

3

?

ln

2

x dx

2

?

2 3

x 2 ln

2

x?

4 3

1

?

x 2 ln xdx

?

2 9

3

x 2 ( 3 ln

2

x ? 4 ln x ) ?

8 9

1

?
x

x 2 dx ?

2 27

3

x 2 ( 9 ln

2

x ? 12 ln x ? 8 ) ? C



x (5) ? x2 ex sinxd = ? x 2 sin
x 2

xd e
2

? x e sin x ?
2 x

?e

x

( 2 x sin x ? x cos x ) dx
2
2

? e ( x sin x ? 2 x sin x ? x cos x ) ?

?e

x

( 2 sin x ? 4 x cos x ? x sin x ) dx



于是

198

x ? x2 ex sinxd ?

1 2

e ( x sin x ? 2 x sin x ? x cos x ) ?
x 2 2

1 2

?e

x

( 2 sin x ? 4 x cos x ) dx



由于

?e
?e

x

sin xdx ?

1 2

e (sin x ? cos x ) ? C
x



x

x cos xdx ?
x

? x cos ?e
x

xde

x

? e x cos x ?
x

?e

x

(cos x ? x sin x ) dx

? e x c o sx ?
x

c o sx d x?

? x s i nx d e

x

? e x (cos x ? sin x ) ?

?e

x

cos xdx ?

?e
1 2

x

(sin x ? x cos x ) dx



从而

?e

x

x cos xdx ?

1 2

e x (cos x ? sin x ) ?
x

?e

x

(cos x ? sin x ) dx

?

1 2

e x ( c o s ? s i nx ) ? x
x

1 2

e s i nx ? C
x



所以
x ? x2 ex sinxd =
1 2 e [( x
x 2

? 1 ) sin x ? ( x ? 1 ) cos x ] ? C
2

。 。

(6) ? ln(1? x2)dx = x ln( 1 ?
x 2 arcsin x 1 ? x2

x )?
2

?1?
xd

2x

2 2

dx ? x ln( 1 ? x ) ? 2 x ? 2 arctan x ? C
2

x

(7) ?

dx = ?

? x arcsin

1? x

2

=?

x 1? x

2

arcsin x ?

?
1 2
1 2

1 ? x (arcsin
2

x?

x 1? x
2

) dx

=?

x 1? x

2

arcsin x ?

x

2

?

?

1? x

2

arcsin xdx
2

1? x

=? 所以
?

x 1? x

2

arcsin x ?

x

2

?

? arcsin xd arcsin x ?

?

x 2 arcsin x 1 ? x2

dx



x 2 arcsin x 1? x
1 x x
2

2

dx = ?

1 2

x 1 ? x arcsin x ?
2

1 4

x ?
2

1 4

(arcsin

x) ? C
2



(8) ?

dx

? 2x ? 3

=? ?

1 1? 2x
?1

? 3x

?2

dx

?1

199

? ?? 3

1 4 9 ? (x
?1

d (x ? 1 3 )
2

?1

?

1 3

) ? ?

1

3? x arcsin ?C 2x 3



注:本题也可通过作变换 t
dx x x
2

?

x ?1 x?3

,解得
3x ? 3 x ?3

?
(9) ? arc

? ?

2 3

arctan

?C



? 2x ? 3

tan

x dx

= x arctan

x ?

?1?

x x

d

x ? x arctan

x ?

x ?

? 1?

d

x x

? ( x ? 1) a r c t a n x ?

x ?C
2



(10)令 t

?

x,则 x ? t

,于是
tdt ? ? 2 t cos t ? 4 ? t cos tdt
2
2

2 x ? x sin x d = 2 ? t sin

? ? 2 t cos t ? 4 t sin t ? 4 ? sin tdt ? 4 ? 2 t ) ( cos t ? 4 t sin t ? c
2

? 4 ? 2 x) ( cos

x ? 4
x 2 cos
x

x sin

x ?C



(11) ?

x ? sin x 1 ? cos x

dx

=?

2

x 2

dx ?

?

d (1 ? cos x ) 1 ? cos x

x ? xtan ? 2

? t a n2 dx
dx

? l n 1 ? c o sx ) ? x t a n (
1 ? sin x 1

x 2

?C


? 1 ? sin x ? ? d sin x 1 ? sin x ? ?

(12) ?

1 ? sin x cos x

=?

1 ? sin

2

d sin x ?

x

?? 2 ?

?

1 ? sin x

? 1 ? sin x

?

1

? 2

1 ? s i nx 1 ? s i nx

d s i nx ?

1 ? s i nx


1 ? sin x

在等式右边的积分中,令 t

?

,则
dt 2?t
2

?
所以
?

1 ? sin x 1 ? sin x

d sin x ?

?

2 t dt 2 ?t
2

2

? ?2t ? 4 ?

? ?2t ?

2 ln

2 ? t 2 ?t

?C



1 ? sin x cos x

dx ?

2 2

ln

2 ? 2 ?

1 ? sin x 1 ? sin x

?C



200

(13) ? 所以

sin 2 x cos 3 x

dx

=?

sin

2

x

d tan x ? tan

2

x sin x ?

cos x

? tan

x (sin x ? tan x sec x ) dx



?

sin 2 x cos x
1 2
? ? 1 2 1 2 tan
3

dx ?

1 2

tan

2

x sin x ?

1 2

? tan
x dx

x sin xdx

?

tan

2

x sin x ?

1

? 2
1 2

1 ? cos

2

cos x
1 2 s i nx ? C

2

x sin x ? 1 2

ln t a nx ? s e cx ?

sec x tan x ?

ln t a nx ? s e cx ? C


sin x

(14) ? e sin x

x c o s 3 x ? sin x cos 2 x
sin x

dx

= ? e sin x
sin x

xd sin x ?

?e

d sec x

? e

( x ? sec x ) ?

?e

dx ?

? sec

xe

sin x

cos x d x

? e

s i x n

( x ? s e cx ) ? C


ln e ?1
x

(15) ? (16) ?

dx e x ? e?x

=?
dx

de e
2x

x

?1

?

1 2

e ?1
x

?C


? 1 ab a b tan x ) ? C

a sin

2

2

x ? b cos
2

2

x
6

=?

d tan x a tan
2 2

x ?b

2

arctan(



(17)令 t
?

?
3

6

x

,则 x

? t

,于是
6 dx ? 6 ln t t?1
1 1? x 1 2
2
2 2

x
3

6

x( x ?

dx ? x)
1 2

? t ( t ? 1)
x ln
2

? c ? 6 ln

x

6

x ?1

?C



(18) ? x ln
? 1 2

1? x 1? x
2

dx =

1? x 1? x 1 x
2

?

?x

2

dx 1? x 1? x

x ln

1? x 1? x

? x ?

?1?

dx ?

( x ? 1 ) ln
? ?

? x ?C
x



(19) ?

1 x aci x x x 1 ? x ? 2 r sn d =

arcsin x ?

? x?1 ? ?

1? x

2

? arcsin x ? dx ? ?

? x 1? x

2

a r c s ix ? n

1 2

x

2

?

?
?

1? x

2

?1
2

a r c s ix d x n

1? x
1? x
2

? x 1? x

2

arcsin x ?

1 2

x

2

?

arcsin xdx ?

? arcsin

xd arcsin x ,

201

所以
? 2 r sn d ? 1 x aci x x?
? 1 2 x 1? x
? e
x

1 2

x 1? x 1 4 x
2

2

arcsin x ? (arcsin
2

1 4

x

2

?

1 2

? arcsin

xd arcsin x

2

arcsin

x ?

?

1 4

x) ? C



(20)令 t
?
dx

,则
dt t (1 ? t )
2

(1 ? e )
x

2

=?

?

? ? t (1 ? t ) ? ?
?

?

1

? ? dt ? (1 ? t ) ? 1
2

? ln

t 1? t

?

1 1? t

? c ? ln

e

x x

1? e

?

1 1? e
x

?C



202


相关文档

习题7-3定积分的计算
6.3 定积分的计算方法
6.3定积分的计算方法
§6.3(1) 定积分的计算
第三节(计算定积分的补充例题)
6.3定积分的计算
6[1][1].3定积分的计算方法
习题6-1不定积分的计算
定积分计算习题课(11)
6.3 定积分的计算
电脑版