2011年 - 新疆 - 乌鲁木齐一中 - 高三 - 名校月考(9月) - 理科 - 数学


乌鲁木齐市第一中学 2011 届高三上学期第一次月考

数 学 试 题
注意: 本试卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟,请考生在答卷相应位置上作答,在试卷上答 题无效。 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,请将选项填在答卷相应的表格中)
x 1.若集合 M ? { y y ? 2 , x ? R } ,集合 S ? x y ? lg( x ? 1)?, 则下列各式中正确的是

?

( A. M ? S ? M 2.下列各式中,值为
0



B. M ? S ? S

C. M ? S

D. M ? S ? ? ( )

3 的是 2
0

A. 2 sin 15 cos15 C. 2 sin 15 ? 1
2 0

B. cos 15 ? sin 15
2 0 2 2 0 2

0

D. sin 15 ? cos 15

0

3.下列命题中,真命题是 A. ?x ? R, x 2 ? x ? ?1
x x C. ?x ? R, ( ) ? ( )

( B. ?x ? (0,



?
2

), tan x ? sin x

1 2

1 3

D. ?x ? R, sin( x ?

?
4

) ? cos x
( )

4.已知 | a |? 1, | b |? A.30°

2, 且a ? (a ? b),则向量a与向量b 的夹角是
B.45° C.90° D.135°

5 .把函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ( A. ( ? )

?
4

) 的图象按向量 a 平移后,在 x ?

?
4

处取得最大值,则 a =

?
4

,0)

B. (

?
4

,0 )

C. ( ?

?
8

,0)

D. (

?
8

,0 )

6.不等式(1+x) (1-|x|)>0 的解集是 A. {x|0≤x<1 } C. {x|-1<x<1 } B. {x|x<0 且 x≠-1 } D. {x|x<1 且 x≠-1 }





4 7.已知函数 f ( x) ? lg(5 x ? x ? m) 值域是 R ,则 m 的取值范围是 5
A. (?4,? ?) B. [?4,? ?) C. (??,? 4)

( D. (??,? 4] (



8.不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为



A. (??, ?1] ? [4, ??) C. [1, 2]

B. (??, ?2] ? [5, ??) D. (??,1] ? [2, ??)
?1

9.已知函数 f ( x) 满足 f ?x ? 1? ? 10x?1 ,则函数 y ? f

(1 ? x) 的图象是





A

B

C

D

10.已知 f ( x) ? ( x ? 2009 )(x ? 2010 ) 的图像与 x 轴、 y 轴有三个不同的交点,有一个圆 恰好经过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点是 A. (0,1) B. (0,2) C. (0, ( D. (0, )

2009 ) 2010

2010 ) 2009

11.已知平面区域 D 由以 A?1,3? 、 B?5,2? 、 C ?3,1? 为顶点的三角形内部和边界组成.若在 区域 D A. ? 2 上 有 无 穷 多 个 点 ? x, y ? 可 使 目 标 函 数 z ? x ? my 取 得 最 小 值 , 则 m ? ( ) B. ? 1

C. 1 D.4 1 n 12.已知 an=( ) ,把数列{an}的各项排列成如下的三角形状, 3 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10,12)= A. (

( D. (



1 92 ) 3

B. (

1 93 ) 3

C. (

1 94 ) 3

1 112 ) 3

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填写在答卷相应的横线上. ) 13.设 f ( x) ? ?

? ex , x ? 0 1 ,则 f ( f ( )) ? _ 2 ?ln x, x ? 0

×

_.

14.在极坐标系中,点 P ( 2, ?

?
6

) 到直线 l : ? sin(? ?

?
6

) ? 1 的距离是_ ×

_.

15.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? _____× ________ 16.给出下列四个命题: ①动点 M 到两定点 A、 B 的距离之比为常数 ? (? ? 0且? ? 1) , 则动点 M 的轨迹是圆;

x2 y2 2 ②椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则b ? c; 2 a b
③双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离是 b ; a2 b2

④已知抛物线 y 2 ? 2 px 上两点 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ), 且 OA ? OB ? 0( O 为原点), 则 y1 y2 ? ? p 2 . 其中的真命题是_____× ________. (把你认为是真命题的序号都填上) 三、解答题: (本大题共 6 题,共 70 分,将解答写在答卷相应位置上,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)

?x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 17. (本小题满分 10 分) 已知 p : 2 x 2 ? 9 x ? a ? 0, q : ? 2 ,且 ?p 是 ?q 的充分 ?x ? 6x ? 8 ? 0
条件,求实数 a 的取值范围。 18. (本小题满分 10 分)直线经过点 P (?3, ? ) 且被圆 x2 ? y 2 ? 25 截得的弦长为 8, 求此弦 所在直线方程

3 2

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin cos

x 4

x x 1 ? cos 2 ? 4 4 2

(1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C 求函数 f ( A) 的取值范围

20. (本题 12 分)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? n ? 1(n ? 1) 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设等差数列 {bn } 各项均为正数,满足 b1 ? b2 ? b3 ? 18 ,且

a1 ? b1 ? 2 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ? 3 成等比数列。求 {bn } 的通项公式。

21. (本小题满分 12 分)已知两定点 F 满足条件 | PF2 | ? | PF 1 |? 2 的点 P 1 (? 2,0), F2 ( 2,0), 的轨迹是曲线 E ,直线 y ? kx ? 1 与曲线 E 交于 A, B 两点 如果 | AB |? 6 3 ,求直线

AB 的方程。
22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) 是定义在 [?e, 0) ? (0, e] 上的奇函数,当 x ? (0, e] 时, 有 f ( x) ? ax ? ln x (其中 e 为自然对数的底, a ? R ) . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)试问:是否存在实数 a ,使得当 x ? [?e, 0) , f ( x) 的最小值是 3?如果存在,求 出实数 a 的值;如果不存在,请说明理由.

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1—5 ABDBD 6—10D D AAA 11—12CB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中的横线上. 13.

1 . 2

14. 3 ? 1

15.4

16.①②③;

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. a ? 9 18.解: (1)当斜率 k 不存在时, 过点 P 的直线方程为 x ? ?3 , 代入 x2 ? y 2 ? 25 ,得 y1 ? 4, y2 ? ?4 . ∴弦长为 y1 ? y2 ? 8 ,符合题意

(2)当斜率 k 存在时,设所求方程为 y ? 即 kx ? y ? 3k ?

3 ? k ( x ? 3) , 2

3 ?0 2

由已知,弦心距 OM ? 52 ? 42 ? 3 ,

3 | k ? 0 ? 0 ? 3k ? | 2 ? 3 ,解得 k ? ? 3 ? 2 4 k ?1

3 3 ? ? ( x ? 3) ,即 3x ? 4 y ? 15 ? 0 2 4 所以所求直线方程为 x ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 15 ? 0
所以此直线方程为

y?

19.解: (Ⅰ)由 f ( x) ?

3 x 1 x x ? sin ? cos ? 1 ? sin( ? ) ? 1 2 2 2 2 2 6

x ? ? ? ? 2 k? ? ( k ? Z ) 2 2 6 2 4? 2? 得4 k? ? ? x ? 4 k? ? (k ? Z ) 3 3 4? 2? , 4 k? ? ] (k ? Z ) ? f ( x) 的单调递增区间为 [4k? ? 3 3 由2k? ? ?
(Ⅱ)由 (2a ? c) cos B ? b cosC, 得 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC ,

?

? 2 sin A cos B ? cos B sin C ? sin B cosC, ? 2 sin A cos B ? sin(B ? C )

?A? B?C ?? ,
? cos B ?

? sin(B ? C ) ? sin A, 且 sin A ? 0,

1 ? 2? , B ? ,0 ? A ? . 2 3 3 ? A ? ? 1 A ? ? ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1, 6 2 6 2 2 2 6 A ? ? f ? A? ? sin( ? ) ? 1 , 2 6 3 ?函数 f ( A) 的取值范围是 ( , 2) . 2

20.解: (1) 由

an?1 ? 2Sn ? n ? 1 an ? 2Sn?1 ? n (n ? 2)

得 an?1 ? 3an ? 1 (n ? 2)

1 1 1 ? 3(an ? ) ,又 a2 ? 4 ? 3( a1 ? ) 也满足上式 2 2 2 1 3 ?数列 {an ? } 是首项为 公比为 3 的等比数列 2 2 ? an ?1 ?

? an ?

1 3 n ?1 3n 1 ? ? 3 ? ,? an ? (3n ? 1)(n ? N*) 2 2 2 2

(2)由 b1 ? b2 ? b3 ? 18 可得 b2 ? 6 ,设 {bn } 的公差为 d 且 d ? 0 ,依题意可得

9 ? d ,10,16 ? d 成等比数列,

?(9 ? d )(16 ? d ) ? 100 ,
解得 d ? 4 或 d ? ?11 (舍去) ,

?bn ? 4n ? 2(n ? N*)
21.解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2 且c ?

?

? ?

2, 0 为焦点的双曲线的左支,

?

2, a ? 1 ,易知 b ? 1 故曲线 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 1? x ? 0?

y
A C B

设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? y ? kx ? 1 由题意建立方程组 ? 2 2 ?x ? y ? 1
2 2 消去 y ,得 1 ? k x ? 2kx ? 2 ? 0

o

x

?

?

又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
解得 ? 2 ? k ? ?1 又∵ AB ? 1 ? k ? x1 ? x2
2

?2 ? ?2k ? ?2 ? 1? k ? ? ? 4? 2 ? 1? k 2 ? 1? k ?
2

2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2 2 2 2

依题意得 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3

整理后得 28k 4 ? 55k 2 ? 25 ? 0
2 ∴k ?

5 5 2 或k ? 7 4

但 ? 2 ? k ? ?1

∴k ? ?

5 2
5 x ? y ?1 ? 0 2

故直线 AB 的方程为

22.解: (1)当 x ? [?e, 0) 时, ? x ? (0, e] ,则 f (? x) ? a(? x) ? ln(? x) , 又 f ( x) 是奇函数,所以 f ( x) ? ? f (? x) ? ax ? ln(? x) , 因此, f ( x) ? ?

?ax ? ln(? x), ? e ? x ? 0 ; 0? x?e ? ax ? ln x,

(2)当 x ? [?e, 0) 时, f ( x) ? ax ? ln(? x) , 求导得 f ' ( x) ? a ?

1 ax ? 1 1 ? ,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? , x x a

① 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在区间 [?e, 0) 上是增函数, 故此时函数 f ( x) 在区间 [?e, 0) 上的最小值为 f (?e) ? ?ae ? 1 ? 0 ,不满足要求; ② 当

1 1 ? ? e ,即 ? ? a ? 0 时, a e 1 1 1 1 1 f ' ( x) ? a ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , x e x e e

所以 f ( x) 在区间 [?e, 0) 上是增函数, 此时函数 f ( x) 在区间 [?e, 0) 的最小值为 f (?e) ? ?ae ? 1 ,

4 1 ? ? ,也不满足要求; e e 1 1 ③ 当 a ? ? 时,可得 f ( x) 在区间 [ ? e, ] 上是减函数, e a
令 f (?e) ? 3 ,得 a ? ?

在区间 [ , 0) 上是增函数,

1 a

1 1 1 时, [ f ( x)] min ? f ( ) ? 1 ? ln( ? ) , a a a 1 1 2 令 f ( ) ? 3 ,得 a ? ?e ? ? ,满足要求. a e
所以当 x ? 综上可得,当 a ? ?e 时,函数 f ( x) 在区间 [?e, 0) 上的最小值是 3.
2


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