北京市届高理科数学轮复习试题选编:函数的性质(单调性最值奇偶性与周期性)

北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 函数的性质(单调性、最值、奇偶性与周期性)
一、选择题 1 .(2013 北京高考数学(文))下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 A. y ? ( )

1 x

B. y ? e ? x

C y ? ? x2 ? 1


D. y ? lg | x |

【答案】C 1 -x 【解析】对于 A,y= 是奇函数,排除.对于 B,y=e 既不是奇函数,也不是偶函数,排除.对

x

于 D,y=lg |x|是偶函数,但在(0,+∞)上有 y=lgx,此时单调递增,排除.只有 C 符合题意. 2 . (北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理) )下列函数中,在其定义域内既是 奇函数又是减函数的是 A. y ? e x 【答案】C 3 .(2012 年高考(陕西文))下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A. y ? x ? 1 【答案】D 解析:运用排除法,奇函数有 y ? B. y ? ? x
2

( C. y ? ? x 3 D. y ? log 1 x
2



B. y ? sin 2 x





C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

1 和 y ? x | x | ,又是增函数的只有选项 D 正确. x
满足 ( )

4 . (北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题)定义在 R 上的函数 ,当 时, ,则

A. C. 【答案】D 【解析】由题意可知,函数 象,如图所示:∵ 是减函数, ∴

B. D.

的图象关于 y 轴对称,且周期为 2,故可画出它的大致图 且 ,选 D . 1/9 ,而函数 在

5

. (2013 湖 南 高 考 数 学 ( 文 )) 已 知 f ( x ) 是 奇 函 数 , g ( x) 是 偶 函 数 , 且

f (?1)+g(1)=2 , f (1)+g(? 1)=4 ,则 g(1)等于____
A.4 【答案】B 解: 由题知 f(-1)+g(1)= - f(1)+g(1)= 2, f(1)+g(-1)= f(1)+ g(1)= 4,上式相加,解得 g(1) = 3 . B.3 C .2 D.1





6 .(2012 年高考(天津文))下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为





A. y ? cos 2 x 【答案】B

B. y ? log 2 | x |

C. y ?

e x ? e? x 2

D. y ? x ? 1
3

【解析】函数 y ? log2 x 为偶函数,且当 x ? 0 时,函数 y ? log2 x ? log2 x 为增函数, 所以在 (1,2) 上也为增函数,选 B. 7 .(2012 年高考(广东理))(函数)下列函数中,在区间 ? 0, ?? ? 上为增函数的是 A. y ? ln ? x ? 2? 【答案】A B. y ? ? x ? 1 ( )

?1? C. y ? ? ? ?2?

x

D. y ? x ?

1 x

y ? ln ? x ? 2? 在 ? ?2, ?? ? 上是增函数.

8 . (北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理)试题)下列函数中,在定义域内 是减函数的是 A. f ( x ) ? ? 【答案】C ( )

1 x

B. f ( x) ?

x

C. f ( x ) ?

1 2x

D. f ( x) ? tan x

2/9

9

.( 北 京 北 师 特 学 校

203

届 高 三 第 二 次 月 考 理 科 数 学 ) 若

n x ? R, n ? N*, 定义Ex ? x( x ? 1)( x ? 2)
4 E? 4 ?(

( x ? n ?1)
)

,





?4

)?

(?

5 3 ? 则 ) f? () ? x ?2 ? ) (? 1 (x ? Ex ?2 的奇偶性为

2

4(



A.偶函数不是奇函数; C.既是奇函数又是偶函数; 【答案】A

B.奇函数不是偶函数; D.非奇非偶函数

5 2 2 2 【解析】由题意知 f ( x) ? xEx ?2 ? x( x ? 2)( x ?1) x( x ? 1)( x ? 2) ? x ( x ? 4)( x ?1) ,

所以函数为偶函数,不是奇函数,选 A. 10.下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是 A. y ? cos x C. y ? ln 【答案】D 11.(2012 年高考(广东文))(函数)下列函数为偶函数的是 A. y ? sin x 【答案】D B . y ? x3 C. y ? e x D. y ? ln x2 ? 1 ( ) B. y ? ? x ? 1 D. y ? e x ? e ? x ( )

2? x 2? x

f ? ? x ? ? ln

??x?

2

? 1 ? ln x 2 ? 1 ? f ? x ? .

12. (北京东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理科数学)已知函数 f ( x) 在 [0,??) 上是增 函数, g ( x) ? ? f ( x ) ,若 g (lg x) ? g (1) ,则 x 的取值范围是 A. (10,??) 【答案】B 【解析】因为 g ( x) ? ? f ( x ) , 所以函数 g ( x) ? ? f ( x ) 为偶函数 , 因为函数 f ( x) 在 B. ( ( D. (0, )

1 ,10) 10

C. (0,10)

1 ) ? (10,?? ) 10

[0,??) 上是增函数 ,所以当 x ? 0 时, g ( x) ? ? f ( x ) ? ? f ( x) , 此时为减函数 ,所以当

x ? 0 , 函数 g ( x) ? ? f ( x ) 单调递增 . 因为 g (lg x ) ? g (1), 所以有 ?1 ? lg x ? 1 , 解得
1 1 ? x ? 10 ,即 ( ,10) ,选 B. 10 10

3/9

13. (2013 北京房山二模数学理科试题及答案)下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上 单调递增的是 A. y ? x ? 1 【答案】C 14 . ( 2013 重 庆 高 考 数 学 ( 文 ) ) 已 知 函 数 ( ) B. y ? tan x C. y ? x
3

( D. y ? log2 x



f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ?
A. ? 5 【答案】C 【解析】 因为 f(lg(log210))=f?lg? B. ? 1 C. 3 D. 4

? ? 1 ??=f(-lg(lg 2))=5, ?? ? ?lg 2??

又因为 f(x)+f(-x)=8,所以 f(-lg(lg2))+f(lg(lg2))=5+f(lg(lg2))=8,所以 f(lg(lg 2))=3,故选 C. 15 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 偶 函 数 , 且 y ? f ( x ? 2) 在 [0, 2] 上 是 单 调 减 函 数 , 则

f (0), f (?1), f (2) 由小到大排列为
A. f (0) ? f (?1) ? f (2) C. f (?1) ? f (2) ? f (0) 【答案】A 16.(2013 山东高考数学(文))已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? B. f (?1) ? f (0) ? f (2) D. f (2) ? f (?1) ? f (0)





1 ,则 x
( )

f (?1) ?
A.2 【答案】D 解析:∵ 当 x ? 0 时, f ( x ) ? x 2 ? ∴ f (? 1) ? ? f (1) ? ? 2 . 17 . 对 于 任 意 两 个 实 数 a 、 b , 定 义 运 算 “*” 如 下 : a * b ? ?
1 1 ,∴ f (1) ? 12 ? ? 2 ,又∵ f ( x ) 为奇函数, x 1

B.1

C .0

D.-2

?a ?b

a?b a?b

,则函数

f ( x) ? x 2 *[(6 ? x) * (2x ? 15)] 的最大值为
A.25 B.16 C .9 D.4





4/9

【答案】C 18.(湖北省黄冈市 2012 年高考模拟试题)已知函数 f ( x) ? ? A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增 【答案】C 二、填空题 19.(2012 年高考(浙江文))设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1] 时,f(x)=x+1,则 f( ) =_______________. 【答案】

?1 ? 2 ? x ( x ? 0) , 则该函数是 x ? 2 ? 1( x ? 0)





B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减

3 2

3 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 3 ?1 ? . 2 2

【解析】 f ( ) ? f ( ? 2) ? f (? ) ? f ( ) ?

20.(2012 年高考(重庆文))函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实数 a ? ________ 【答案】4 【解析】由函数 f ( x ) 为偶函数得 f (a) ? f (?a) 即 (a ? a)(a ? 4) ? (?a ? a)(?a ? 4)

? a ? 4.
【考点定位】 本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关 于原点对称,且对定义域内的一切 a 都有 f (a) ? f (?a) 成立. 21. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )奇函数 f ? x ? 的定义域为

??2, 2? ,若 f ? x ? 在 ?0, 2? 上单调递减,且
f ?1 ? m? ? f ? m? ? 0 ,则实数 m 的取值范围是
【答案】 [ ? .

1 ,1] 2

【 解析】因为奇函数在 ? 0, 2? 上单调递减,所以函数 f ( x ) 在 ? ?2, 2? 上单调递减。 由 f ?1 ? m? ? f ? m? ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (m) ? f (?m) ,

5/9

? ? ?2 ? m ? 2 ? 2 ? m ? 2 ? ? 1 ? 所以由 ? ?2 ? 1 ? m ? 2 ,得 ? ?3 ? m ? 1 ,所以 ? ? m ? 1 ,即实数 m 的取值范围是 2 ?1 ? m ? ? m ? 1 ? ?m ? ? ? 2
1 [ ? ,1] 。 2

| 单 调 递 增 区 间 是 [ 3,?? ), 则 22 . (2012 年 高 考 ( 安 徽 文 )) 若 函 数 f ( x) ? | 2x? a 的
a ? _____
【解析】 ?6 由对称性: ?

a ? 3 ? a ? ?6 2

23.(2012 年高考(上海春))函数 y ? log 2 x ? 【答案】 5

4 ( x ? [2, 4]) 的最大值是______. log 2 x

24. (北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)已知 f ( x ) 在 R 上是奇函数,且满足

f ( x ? 4) ? f ( x) ,当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? 2 x2 ,则 f (7) ? _______________
【答案】 ?2 【解析】 由 f ( x ? 4) ? f ( x) 可知函数的周期是 4,所以 f (7)=f (7 ? 8)= f ( ?1) ,又因为函 数是奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ?2 ,所以 f (7)= ? 2 25. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) )已知定义域为 R 的偶函 数 f ? x ? 在 ?? ?,0? 上 是 减 函 数 , 且 f ? _____________. 【答案】 ?? 1,?? ? 因 为 函 数 为 你 偶 函 数 , 所 以 f (? ) ? f ( ) ? 2 , 且 函 数 在 ( 0,?? )上 递 增 . 所 以 由

?1? x ?? 2 ,则不等式 f 2 ? 2 的解集为 2 ? ?

? ?

1 2

1 2

f ( 2x )? 2得 2 x ?

1 x ,即 x ? ?1 ,所以不等式 f 2 ? 2 的解集为 ?? 1,?? ? . 2

? ?

26.(2012 年高考(上海文))已知 y ? f ( x) 是奇函数. 若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1 .,则

6/9

g (?1) ? _______ .
【 答 案 】

y ? f ( x)









,



f (?1) ? ? f (1) , g (1) ? g (?1) ? f (1) ? f (?1) ? 4 ? 4 ,
所以 g (?1) ? 4 ? g (1) ? 3 . 27 . 若 不 等 式 ax ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 对 任 意 实 数 x 均 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
2 2

________________________.
2 【答案】 (a ? 2) x ? 4x ? a ? 1 ? 0 恒成立,当 a ? ?2 时, x ?

3 不恒成立,不满足 4

当 a ? ?2 时,要使不等式 (a ? 2) x 2 ? 4x ? a ? 1 ? 0 恒成立,则须

?a ? ?2 ?a ? ?2 ?a ? 2 ? 0 ?? 2 ?? ?a?2 ? ?16 ? 4(a ? 2)(a ? 1) ? 0 ?a ? a ? 6 ? 0 ?a ? 2或a ? ?3
28 . (2013 大 纲 卷 高 考 数 学 ( 文 )) 设 f ? x ? 是 以 2 为 周 期 的 函 数 , 且 当 x ??1, 3 ? 时,

f ? x ? =x ? 2 ,则 f (?1) ? ____________.
【答案】

?1

【解析】∵ f ? x ? 是以 2 为周期的函数,且 x ??1,3? 时, f ? x ? =x ? 2 , 则 f ? ?1? ? f (?1 ? 2) ? f (1) ? 1 ? 2 ? ?1

( x ? 1)2 ? sin x 29.(2012 年高考(课标文))设函数 f ( x) ? 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 x2 ? 1
M ? m ? ________.
【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.

2 x ? sin x , x2 ? 1 2 x ? sin x 设 g ( x ) = f ( x) ? 1 = ,则 g ( x) 是奇函数, x2 ? 1
【解析】 f ( x ) = 1 ? ∵ f ( x ) 最大值为 M,最小值为 m ,∴ g ( x) 的最大值为 M-1,最小值为 m -1, ∴ M ? 1 ? m ? 1 ? 0 , M ? m =2. 30 .( 北 京 四 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

7/9

______.

5 【答案】 2
【解析】 令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? f (2) ,即

f (2) ? f (1) ? f (?1) ? 2 f (1) ? 2 ? 1 3 ?1 ? 2 2

1 ?1 2 .



x ?1

f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ?


.



x?3



f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ?
三、解答题

3 5 ? 1= 2 2

31 . ( 北 京 市 朝 阳 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2ax2 ? 4x ? 3 ? a , a ? R .
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 ??1,1? 上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上存在零点,求 a 的取值范围.

2 【答案】解:(Ⅰ)当 a ? 1 时,则 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 4

? 2( x2 ? 2 x) ? 4 ? 2( x ? 1)2 ? 6 .
因为 x ?? ?1,1? ,所以 x ? 1 时, f ( x ) 的最大值 f (1) ? 2 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 4 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上有零点, 所以 a ? 0 时成立 当 a ? 0 时,令 ? ? 16 ? 8a(3 ? a) ? 8(a ? 1)(a ? 2) ? 0 , 解得 a ? ?1, a ? ?2 (1) 当 a ? ?1 时,

f ( x) ? ?2x2 ? 4x ? 2 ? ?2( x ?1)2

由 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1? [ ? 1,1] ;

8/9

2 2 当 a ? ?2 时, f ( x) ? ?4 x ? 4 x ? 1 ? ?4( x ? ) .

1 2

由 f ( x) ? 0 ,得 x ?

1 ? [ ? 1,1] , 2

所以当 a ? 0, ?1, ?2 时, y ? f ( x) 均恰有一个零点在 ??1,1? 上 (2)当 f (?1) f (1) ? (a ? 7)(a ? 1) ? 0 ,即 ?1 ? a ? 7 时,

y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上必有零点.
(3)若 y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上有两个零点, 则

?a ? 0, ?a ? 0, ?? ? 8(a ? 1)( a ? 2) ? 0, ?? ? 8(a ? 1)( a ? 2) ? 0, ? ? ? ? 1 1 或 ? ?1 ? ? ? 1, ??1 ? ? ? 1, a a ? ? ? f (?1) ? 0, ? f (?1) ? 0, ? ? ? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0.
解得 a ? 7 或 a ? ?2 . 综上所述,函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上存在极值点,实数 a 的取值范围是

a ? ?1 或 a ? ?2

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