高中数学人教B版必修2同步测试:1.1.6-7《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积-柱、锥、台和球的体积》(含答案)

1.1.6 7《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 双基达标 柱、锥、台和球的体积》 ?限时20分钟? 1.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1∶2∶3,对角线的长是 2 14, 则这个长方体的体积是 A.6 C.24 B.12 D.48 ( ). 解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为 x、2x、3x,又对角线长为 2 14, 则 x2+(2x)2+(3x)2=(2 14)2,解得 x=2. ∴三条棱长分别为 2、4、6. ∴V 长方体=2×4×6=48. 答案 D 2.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm),则该几何体的表面积为 ( A.12π C.24π B.18π D.36π ). 解析 由三视图知该几何体为圆锥,底面半径 r=3,母线 l=5,∴S 表=πrl+πr2=24π.故 选 C. 答案 C 3.圆台上、下底面面积分别是 π、4π,侧面积是 6π,这个圆台的体积是( 2 3 A. 3 π 7 3 C. 6 π 解析 S1=π,S2=4π, ∴r=1,R=2,S=6π=π(r+R)l, ∴l=2,∴h= 3. B.2 3 7 3 D. 3 π ). 1 7 ∴V=3π(1+4+2)× 3=3 3π. 答案 D 4.把由曲线 y=|x|和 y=2 围成的图形绕 x 轴旋转 360° ,所得旋转体的体积为________. 解析 由题意,y=|x|和 y=2 围成图中阴影部分的图形,旋转体为一个圆柱挖去两个相同 的共顶点的圆锥. 1 16π ∵V 圆柱=π×22×4=16π,2V 圆锥=2×3π×22×2= 3 , 16π 32π ∴所求几何体体积为 16π- 3 = 3 . 答案 32π 3 5.已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为 120° ,底面圆的半径为 1,则 该圆锥的体积为________. 1 解析 因为扇形弧长为 2π, 所以圆锥母线长为 3, 高为 2 2, 所求体积 V=3×π×12×2 2 2 2π == 3 . 答案 2 2π 3 3 6.直角梯形的一个底角为 45° ,下底长为上底长的2,这个梯形绕下底所在直线旋转一周 所成的旋转体的表面积是(5+ 2)π,求这个旋转体的体积. 解 如图所示,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠A=90° ,∠B=45° ,绕 AB 边旋转一周后 形成一圆柱和一圆锥的组合体. 3 设 CD=x,AB=2x, x 2 则 AD=AB-CD=2,BC= 2 x. S 表=S 圆柱底+S 圆柱侧+S 圆锥侧 =π·AD2+2π·AD· CD+π·AD· BC x2 x x 2 =π· +2π· · x+π· × x 4 2 2 2 = 5+ 2 2 4 πx . 5+ 2 根据题设, 4 πx2=(5+ 2)π,则 x=2. π 所以旋转体体积 V=π·AD2· CD+3· AD2· (AB-CD) π =π×12×2+3×12×(3-2) 7 =3π. 综合提高 ?限时25分钟? 7.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 2 的正方形,俯视图是一个 直径为 2 的圆,则这个几何体的全面积为 A.2π C.6π B.4π D.8π ( ). 解析 由三视图知该空间几何体为圆柱, 所以其全面积为 π×12×2+2π×1×2=6π, 故选 C. 答案 C 8.设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为 m).则该几何体的体积为________ m3. 解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥, 由“长对正,宽相等,高平齐”的原则可知三棱锥的高为 2,底面三角形的底边长为 4, 高为 3, 1 1 则所求棱锥的体积为 V=3×2×3×4×2=4. 答案 4 9.如图,球 O 的半径为 5,一个内接圆台的两底面半径分别为 3 和 4(球心 O 在圆台的两 底面之间),则圆台的体积为________. 解析 作经过球心的截面(如图), O1A=3,O2B=4, OA=OB=5, 则 OO1=4,OO2=3,O1O2=7, π 259 V=3(32+ 32×42+42)×7= 3 π. 答案 259 3 π 10 .一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为 ________. 解析 如图,把四面体 ABCD 补成正方体,则正方体的棱长为 1,正方体的体对角线长等 于外接球的直径,球的直径 2R= 3,球的表面积 S=4πR2=3π. 答案 3π 11. 如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,AD=a,BC=2a,∠DCB=60° ,在平面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB,以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周,求旋转体的表面积和体积. 解 如图,在梯形 ABCD 中,∠ABC=90° ,AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60° , BC-AD ∴CD= cos 60°=2a,AB=CDsin 60° = 3a, ∴DD′=AA′-2AD=2BC-2AD=2a, 1 ∴DO=2DD′=a, 由于以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高 的圆锥. 由上述计算知,圆柱母线长 3a,底面半径 2a,圆锥的母线长 2a,底面半径 a, ∴圆柱的侧面积 S1=2π·2a· 3a· =4 3πa2, 圆锥的侧面积 S2=π·a· 2a=2πa2,圆柱的底面积 S3=π(2a)2=4πa2,圆锥的底面积 S4=πa2, ∴旋转体的表面积 S=S1+S2+2S3-S4 =4 3πa2+2πa2+4πa2×2-πa2=(4 3+9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积. V π(2a)2· 3a=4 3πa3. 柱 = Sh = 1 1 3 3 11 3 V 锥=3S′h=3π·a2· 3a= 3 πa3.∴V=V 柱-V 锥=4 3πa3- 3 πa

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