3.2.2 最大值、最小值问题(同步教案)


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(北师大版选修 2-2 第三章)

2.2 最大值、最小值问题
一、教学准备
1.教学目标 (1)理解用函数思想解决优化问题的基本思路; (2)能运用函数并结合导数知识解决简单的实际问题。 2.学法指导 通过实际问题的应用举例,逐步掌握运用函数思想解决优化问题的建模过程:优化问题→用函 数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的结果。 3.重难点剖析 (1)重点:掌握优化问题的建模过程; (2)难点:将实际问题转化为数学中的函数问题,并根据实际意义正确确定函数的定义域; (3)剖析: 1 ○ 生活和生产实践中优化问题的常见类型:费用、用料最省问题;利润最大问题;面积、体积 最大问题等。 2 ○ 在运用函数解决实际问题的过程中,要注意恰当地选择自变量,从而简化函数的解析式,简 化问题解决的过程; 3 ○ 在解决实际问题时,不仅要在准确理解变量关系的基础上正确建立函数关系,而且要根据实 际意义正确确定函数的定义域; 4 ○ 在实际问题中,有时会遇到在定义域内只有一点满足 f ' ( x) ? 0 的情形,这时我们仍要确定它 是极大值还是极小值,不应认为它就一定是解。 4.教学安排 三课时 (1)第一课时教学目标是基本概念及题型介绍(题型一与题型二) ; (2)第二课时主要讨论实际问题中的最值问题,完成抽取函数模型,解决函数最值,整合求解 思路等问题(题型三) ; (3)介绍导数问题中的两类综合问题:恒成立与含参问题(题型四与题型五) 。

二、教学设计
1.知识要点 (1)最值的概念 函数 y=f(x)是定义在[a,b]上的函数,在[a,b]上 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么 它必有最大值与最小值。其最大(小)值点 x0 指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超
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过(不小于) f ( x0 ) 。 (2)最值与极值的区别与联系
1 ○函数的极值是从局部考察的,函数的最大值与最小值是从整体考察的。 2 ○最值唯一,极值可多个。

(3)求 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,可分为两步进行:
1 ○ 求 y=f(x)在(a,b)内的极值; 2 ○ 将 y=f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

2.例题讲解 题型一:求函数在区间上的最值 例 1. 求函数 f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]的最值. 解: f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3,

∵f′(x)在[-1,1]内恒大于 0, ∴f(x)在[-1,1]上为增函数. 故 x=-1 时,f(x)最小值=-12;x=1 时,f(x)最大值=2. 即 f(x)的最小值为-12,最大值为 2. 小结:函数 f(x)在给定闭区间上连续,必有最大值和最小值;当函数 f(x)在开区间(a,b)内只有 一个极值,这个极值就是最值.

? π 练习 1. 函数 f(x)=x+2cos x 在区间[- ,0]上的最小值是______. ? 2 2
练习 2.函数 f(x)=x-2 x在[0,4]上的最大值为__________.0 1 练习 3. 函数 f(x)=xex 的最小值为________.- e 练习 4. 函数 f(x)=ln x-x 在(0,e]上的最大值为 题型二:根据最值求参数 例 2. 已知函数 f(x)=2x3-6x2+a 在[-2,2]上有最小值-37,求 a 的值并求 f(x)在[-2,2]上的最 大值. 解: f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2, 当 x 变化时,f′(x)、f(x)变化情况如下: x f′(x) f(x) -40+a -2 (-2,0) + ? 0 0 极大值 a (0,2) - ? 2 0 -8+a ______. ?1

∴当 x=-2 时,f(x)min=-40+a=-37,得 a=3. 当 x=0 时,f(x)最大值为 3.

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练习 1.已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3 在 ? a, 2? 上的最大值为 15, a 的值为_______. a ? ? 则 ( 练习 2.若函数 f ( x) ? ? (a ? ?

1 ) 2

1 3 1 2 ?2 ? x ? x ? 2ax 在 ? , ?? ? 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围。 3 2 ?3 ?

1 ) 9

题型三:实际问题中的最值 例 3.如图所示,一边长为 48cm 的正方体铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后折 起,可以做成一个无盖长方体容器,所得容器的容积为 V(单位: cm )是关于截去的小正方形的 边长 x (单位: cm )的函数。 (1)随着 x 的变化,容积 V 是如何变化的? (2)截去的小正方形的边长为多少是,容器的容积最大?最大容积是多少? 解: (1)首先写出 V 关于 x 的函数解析式。根据题意可得
2

V ? f ( x) ? (48 ? 2 x)2 x
由实际情况可知函数的定义域为 0 ? x ? 24 .
60

根据导数公式表及求导法则,可得

V ? f ?( x) ? 12( x ? 24)( x ? 8)
解方程 得

f ?( x) ? 0

x1 ? 8

60

x2 ? 24

根据 x1 ? 8 , x2 ? 24 列表,分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点.

x
f ?( x )

? 0,8?
+ 单调递增 0

8

?8, 24?
— 单调递减

V ? f ( x)

极大值 8192

由上表可知,当 0 ? x ? 8 时,函数 V ? f ( x) 是增加的;当 8 ? x ? 24 时,函数 V ? f ( x) 是减 少的;当 x ? 8 时,函数有极大值 V ? f (8) ? 8192(cm ) .
3

(2) (1) 由 可知, 当截去的小正方形边长为 8cm 时, 得到的容器容积最大, 最大容积为 8192cm .

3

小结:解题时根据已知条件先设出未知量,寻求未知量之间的关系,写出函数,然后利用导数

法求函数的最值. 练习 1. 某集团为了获得更大的收益, 每年要投入一定的资金用于广告促销, 经调查, 每投入 广
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告费 t(百万元),可增加销售额约为-t +5t(百万元)(0≤t≤5). (1)若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内, 则应投入多少广告费, 才能使该公司由此获得 的收益最大? (2)现该公司准备共投入 3 百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费 x(百 1 万元),可增加的销售额约为- x3+x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得 3 的收益最大?(注:收益=销售额-投入) 解: (1)设投入 t(百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(百万元),则有 f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0<t≤3). ∴当 t=2 百万元时,f(t)取得最大值 4 百万元,即投入 2 百万元的广告费时,该公司由此获得的收 益最大. (2)设用于技术改造的资金为 x(百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元)(0≤x≤3),又设 由此而获得的收益是 g(x),则有 1 g (x)=(- x3+x2+3x)+[-(3-x)2+5(3-x)]-3 3 1 =- x3+4x+3(0≤x≤3). 3 ∴g′(x)=-x2+4, 令 g′(x)=0, 解得 x=-2(舍去)或 x=2, 又当 0≤x<2 时,g′(x)>0; 当 2<x≤3 时,g′(x)<0, 故 g(x)在[0,2]上是增函数,在[2,3]上是减函数. 所以当 x=2 时,g(x)取得最大值,即将 2 百万元用于技术改造,1 百万元用于广告促销时,该公 司由此获得的收益最大. 1 练习 2.已知某工厂生产 x 件产品的成本为 c=25 000+200x+ x2(元). 40 (1)要使平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多少件产品? 解 (1)设平均成本为 y 元, 则

1 25 000+200x+ x2 40 25 000 x y= = +200+ (x>0), x x 40 所以 25 000 x 25 000 1 y′=( +200+ )′=- 2 + . x 40 x 40

令 y′=0,得 x1=1 000,x2=-1 000(舍去),当在 x=1 000 附近左侧时,y′<0;当在 x=1 000 附 近右侧时,y′>0,故当 x=1 000 时,y 取得极小值.由于函数只有一个点使 y′=0,且函数在该点 有极小值,那么函数在该点取得最小值,因此,要使成本最低,应生产 1 000 件产品.
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x x (2)利润函数 L=500x-(25 000+200x+ )=300x-25 000- . 40 40 x2 x ∴L′=(300x-25 000- )′=300- . 40 20 令 L′=0,得 x=6 000,当 x 在 6 000 附近左侧时,L′>0; 当 x 在 6 000 附近右侧时,L′<0,故当 x=6 000 时,L 取得极大值. 由于函数只有一个使 L′=0 的点,且函数在该点有极大值,那么函数在该点取得最大 值.因此,要使利润最大,应生产 6 000 件产品. 题型四:恒成立问题 例 4. 已知 f(x)=x3-x2-x+3,x∈[-1,2],f(x)-m<0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:由 f(x)-m<0,即 m>f(x)恒成立,知 m>f(x)max, f′(x)=3x2-2x-1, 1 令 f′(x)=0,解得 x=- 或 x=1. 3 1 86 因为 f(- )= ,f(1)=2,f(-1)=2,f(2)=5. 3 27 所以 f(x)的最大值为 5,故 m 的取值范围为(5,+∞). 小结:“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,对于不能分离参数的恒成立问题,直 接求含参函数的最值即可. 1 练习 1. 已知函数 f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.若 a> ,且当 x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a 恒成立,试确 4 定 a 的取值范围. 解:f′(x)=3x2-6ax-9a2 的图像是一条开口向上的抛物线,关于直线 x=a 对称. 1 若 <a≤1,则 f′(x)在[1,4a]上是增函数,从而 f′(x)在[1,4a]上的最小值是 f′(1)=3-6a-9a2, 4 最大值是 f′(4a)=15a2. 由|f′(x)|≤12a 得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a, 于是有 f′(1)=3-6a-9a2≥-12a, 且 f′(4a)=15a2≤12a. 1 由 f′(1)≥-12a 得- ≤a≤1, 3 4 由 f′(4a)≤12a 得 0≤a≤ . 5 1 1 4 1 4 所以 a∈( ,1]∩[- ,1]∩[0, ],即 a∈( , ]. 4 3 5 4 5 若 a>1,则|f′(a)|=12a2>12a. 故当 x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a 不恒成立. 1 4 所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的 a 的取值范围是( , ]. 4 5 题型五:含参数的最值问题
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例 5.已知 a 是实数,函数 f(x)=x (x-a). (1)若 f′(1)=3,求 a 的值及曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值. 解:(1)f′(x)=3x2-2ax,因为 f′(1)=3-2a=3,所以 a=0. 又当 a=0 时,f(1)=1,f′(1)=3. 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 3x-y-2=0. 2a (2)令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2= . 3 2a 当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而 f(x)max=f(2)=8-4a. 3 2a 当 ≥2,即 a≥3 时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而 f(x)max=f(0)=0. 3 2a 2a 2a 当 0< <2,即 0<a<3 时,f(x)在[0, ]上单调递减,在[ ,2]上单调递增, 3 3 3
?8-4a, ? 从而 f(x)max=? ? ?0, ?8-4a, ? 综上所述,f(x)max=? ? ?0,

0<a≤2 2<a<3 . a≤2 a>2 .

小结:含参数的函数,已知最值可考虑使用待定系数法确定参数;求含参数的最值要分类讨论,注 意导数为 0 的点的大小及是否在函数定义域内. 练习 1. 函数 f(x)=x2+2ax+1 在[0,1]上的最小值为 f(1),则 a 的取值范围为_______.(-∞,-1] 3.课堂小结 (1)会求给定简单函数在闭区间上的最值; (2)利用数形结合正确区分极值与最值的概念; (3)能将恒成立的参数问题转化为最值问题; (4)对实际问题的数学建模,以及模型求解. 4.作业布置 (1)A 组第 2、4 题 (2)讨论 A 组第 3 题的图像. 三、教学反思

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