陕西省咸阳市2014届高考模拟考试(二)数学文试题(WORD版)

陕西省咸阳市 2014 届高考模拟考试(二) 数学文试题 第 I 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小 题,每小题 5 分,共 50 分) . 1.已知全集 U=R,集合 A={x| 2 x >1} ,B={x|-4<x<1} ,则 A∩B 等于( ) A.(0,1) B.(1,+ ? ) C.(一 4,1) D.(一 ? ,一 4) 2.已知 i 为虚数单位,复数 z=i(2 一 i)的模|z|=( ) A. 1 B.

3

C. 5

D.3

3、在等差数列{ an }中,已知 a1+a7=10,则 a3+a5= A、7 B、8 C、9 D、10 )

? ? ? ? ? ? b >0"是“ a, b 夹角为锐角”的( 4.设 a, b 是两个非零向量,则“ a?
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在“魅力咸阳中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图,去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均数和方差分别为( ) A.5 和 1.6 B、85 和 1.6 C. 85 和 0.4 D. 5 和 0.4

6.设 l,m 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题中正确的是( ) A.若 l// ? , ? ∩ ? =m,则 l// m C.若 l// ? ,m// ? ,则 l// m B.若 l⊥ ? ,l// ? ,则 ? ⊥ ? D.若 l// ? ,m⊥l,则 m⊥ ?

7.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=2+f( 则 f(-2)=( ) A. 1 B. 3 C.一 1 8.定义一种运算符号“ ”,两个实数 a,b 的“a 示,若输人 a=2cos A.-2 B .0 C 、2 D.、4 ,b=2, 则输出 P=(

1 )log2x, 2

D.一 3 b”运 算原理如图所 )

9.已知一只蚂蚁在圆:x2+y2=1 的内部任意随机爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该 蚂蚁爬行在区域|x|+| y|≤1 内的概率是( ) A、

2 ?

B、

? 2

C、 )

4 ? 1 4

D、

? 4

0.若正数 a,b 满足 a+b=1,则( A.

1 1 ? 有最大值 4 a b

B.ab 有最小值

C. a ? b 有最大值 2

D、a2 + b2 有最小值

2 2

第 II 卷(非选择题,100 分)
二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分) 11.函数 f 12.观察下列等式: =___

则第 6 个等式为______ 13.如图为函数 f(x) =tan(

?
4

x?

?
2

)的部分图象,点 A 为函数 f(x)在 y 轴右侧的第一个

零点,点 B 在函数 f(x)图象上,它的纵坐标为 1,直线 AB 的倾斜角等于____.

14.已知双曲线 kx2-y2=1 的任一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,则 k=____

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选讲选做题)若对任意实数 x,都有|x-a|+|x-1|≥3 成立,则实数 a 的取值范围是____ B.(几何证明选讲选做题)如图,已知 P 是圆 O 外一点,PA 为 圆 O 的切线.A 为切 点.割线 PBC 经过圆心 O,若 PA=3 3 ,PC = 9,则∠ACP =___

C. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 圆

? = 4cos ? 的 圆 心 到 直 线

??

?
6

(? ? R) 的距离是____

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) . 16.(本小题满分 12 分) 已知△ ABC 的三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且△ ABC 的面积为 S= (1)若 c=2a,求角 A,B,C 的大小; (2)若 a=2,且 A ?

3 accosB 2

?
3

,求△ ABC 的面积.

17.(本小题满分 12 分) 已知差数列 的前 n 项和为 Sn,且 为等比数列; ,求数列 的通项公式

(1)证明:数列 (2)若数列

18.(本小题满分 12 分) 如图,梯形 ABCD 中,AB//CD,∠B=∠C=90° ,AB=2BC=2CD=2 .E 为 AB 中点.现将该梯形沿 DE 析叠.使四劝形 BCDE 所在的平面与平面 ADE 垂直。 (1)求多面体 ABCDE 的体积; (2)求证:BD⊥平面 ACE; (2)求平面 BAC 与平面 EAC 夹角的大小.

19.(本小题满分 13) 2014 年春节期间,高速公路车辆剧增.高管局侧控中心在一特定位置从七座以下 小型汽车中按先后顺序,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 辆进行电子测速调查, 将它们的车速(km/h)分成六段 「80,85) , [85, 90) , [90, 95) , 「95, 100) , [ 100 , 105) . [105,110) 后得到如下图的频率分布直图。 (1)测控中心在采样中,用到的是什么抽样方法?并估计这 40 辆车车速的中位数; (2)从车速在[80,90)的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的车辆 数为 0 的概率

20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C::

x2 y 2 3 ,直线 l:y=x+2 和圆 O: ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 2 3 a b

x2+y2=b2 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的左顶点,作直线 m,与 O 相交于两点 R,S,已知△ORS 的面积为 求直线 m 的方程.

3 2

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=lnx 一 x+1,x ? (0,+ ? ) ,g(x)=x3 一 ax. (1)求曲线 f(x)在点(l ,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的最大值; (3)若对任意 x ? (0,+ ? ) ,总存在 x2 ? [1,2」使得 f(x1)≤g(x2)成立,求 a 的取 值 范围.

文科数学参考答案
一、选择题

二、填空题:

1 11. 9

12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 13 ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 3 12.
B. 30
?

13. 1

1 14 . 4

15. A. (??, ?2] ? [4, ??) 三、16.(本小题满分 12 分)

C. 1

S?
解: 由已知及三角形面积公式得 即 tan B ? 3 ,又 0 ? B ? ? , 所以

1 3 ac sin B ? ac cos B, 2 2 化简得 sin B ? 3 cos B,

B?

?
3. A? B ? 2? 3 ,所以

(1)解法 1:由 c ? 2a 及正弦定理得, sin C ? 2sin A ,又因为

sin(

3 2? 2? tan A ? , 0? A? ? A) ? 2sin A 3 而 3 3 , ,化简可得

A?


?

C ?? ?( ? ) ? 6, 3 6 2.
2 2 2

?

?

?

………………………………………6 分
2 2 2 2

解法 2:由余弦定理得, b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? 4a ? 2a ? 3a , ∴ b ? 3a.



a : b : c ? 1: 3 : 2

A?
, 知

?
6


C ?? ?( ? ) ? 3 6 2 .………………………………………6 分 ∴ B?
(2)由

?

?

?

?
3,

A?

?

, 3 知 ?ABC 为正三角形,又 a ? 2 ,

所以

S?ABC ?

3 ac cos B ? 3. 2

………………………………………12

分 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)证明:当 n ? 1 时,由 当 n ? 2 时,由

S1 ? 4a1 ? 3

得:

a1 ? 4a1 ? 3

,即

a1 ? 1

; ,

Sn ? 4an ? 3



Sn ?1 ? 4an ?1 ? 3

,相减得:

Sn ? Sn?1 ? 4(an ? an?1 )

an 4 ? a ? 4(an ? an?1 ) n ? 2 a 3 (n ? 2) 即 n ( ) ,即 n ?1 ,
{an }

知数列 分

4 是以 1 为首项,以 3 为公比的等比数列;………………………………………6

4 4 an ? ( ) n ?1 bn?1 ? bn ? ( )n?1 3 3 (2)由(1)知: ,得 ,所以
bn ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? (b4 ? b3 ) ? ? ? (bn ? bn ?1 ) ? b1

4 4 4 4 ? ( )0 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n?2 ? b1 3 3 3 3
4 ? ? 1? ?1 ? ( ) n ?1 ? 4 3 ? ? ? ? 2 ? ?1 ? 3 ? ( ) n ?1 4 3 1? 3 ………………………………………12 分
18. (本小题满分 12 分) 解: (1)解:易知, AE ? 平面 BCDE , 所 以

1 VA? BCDE ? S BCDE ? AE ? ?1?1 ? 3 3 3 ………………………………6 分
(2)证明:∵平面 BCDE ? 平面 ADE , AE ? BE , ∴ AE ? 平面 BCDE ,而 BD 平面 BCDE , ∴ BD ? AE ,又 BD ? CE, AE ? CE ? E , ∴ BD ? 平面 ACE ……………………………12 分

1

19.(本小题满分 13) 解:(1)根据“某段高速公路的车速( km / h )分成六段”,符合系统抽样的原理,故此调查公司在 采样中,用到的是系统抽样方法.( 注意每间隔 50 辆就抽取一辆这一条件)…………3 分

? 5? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? x (? 设中位数的估计值为为 x ,则 0.01

95) ?

0.5 ,解得

x ? 97.5 ,即中位数的估计值为 97.5 .
(注意中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值)…………6 分 (2)从图中可知,车速在

B ,B ?80,85 ? 的车辆数为 m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆) ,分别记为 1 2 ;

车速在 [85,90) 车辆数为

m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4

(辆) ,分别记为

A1 , A2 , A3 , A4


,从这 6 辆 ,

( A1 , A2 ) ,A ( 1 车 中 随 机 抽 取 两 辆 共 有 15 种 情 况 :

(A A , )1 , A4 ) 3

( A1 , B1 ),( A1 , B2 ),( A2 , A3 ),( A2 , A4 ),
( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A3 , A4 ),( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A4 , B1 ), ( A4 , B2 ), ( B1 , B1 )
可能结果) , 注意穷举所有的

(B , B ) 抽 出 的 2 辆 车 中 车 速 在 [85,90) 的 车 辆 数 为 0 的 只 有 1 2 一 种 , 故 所 求 的 概 率

P?

1 15 .…12 分
0?0?2

20. (本小题满分 13 分) 解: (1)由直线 l : y ? x ? 2 和圆 O : x ? y ? b 相切得:
2 2 2

2

?b

,解得 b ? 2 ,

e?


c 3 a2 ? 2 1 ? ? a 3 ,即 a 2 3 ,得 a 2 ? 3

x2 y2 ? ?1 2 故椭圆 C 的方程为: 3 ……………………………5 分
(2)解法 1:由(1)知: A(? 3, 0) ,依题意知,直线 m 的斜率存在且不为 0 ,设直线 m

( 的 方 程 为 : y? k

x ? 3 ) (k? , 0 ) 所 以 圆 心 O(0,0) 到 直 线 m 的 距 离

d?


0 ? 0 ? 3k k 2 ?1


?

3k

3k

2 k 2 ?1 , 因为直线 m 与圆 O 相交, 所以 d ? r ? 2 , 即 k ?1

? 2
, 弦 长

k 2 ? 2且k ? 0

.



线

m





O







RS ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 2 ?

3k 2 2 2 ? k2 ? k 2 ?1 k 2 ?1 ,

S?ORS =
所以

3k 1 1 2 2 ? k2 3 RS ? d ? ? ? ? 2 2 k 2 ?1 k 2 ?1 2 ,
5 1 k ? ?1或k ? ? 2 5 , 5 ,均适合 k ? 2且k ? 0 ,所以
y ? ?( x ? 3)或y ? ? 5 ( x ? 3) 5 .……………………………13 分

k 2 ? 1或k 2 ?
解得

故直线 m 的方程为

解法 2:由直线 m 过点 A(? 3, 0) ,设直线 m : x ? ty ? 3 ,即 x ? ty ? 3 ? 0

原点 O 到直线 m 的距离为

d?

3 1? t2 ,

RS ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 2 ?


3 1 t2 ? 2 1 ? t ,其中 2

S ?ORS ?
于是

1 3 3 3 3 RS ? d ? ? 2? ? (2 ? ) 2 2 2 2 1? t 1? t 1? t2 1? t

3 3 3 (2 ? )? 2 2 1? t 4 ,解得 t 2 ? 1 或 t 2 ? 5 依题意得 1 ? t
于是直线 m : x ? ? y ? 3 或 m : x ? ? 5 y ? 3 即直线 m 的方程为 x ? y ? 3 ? 0, x ? 5 y ? 3 ? 0. …………………………13 分 21.(本小题满分 14 分) 解: (1)? f ( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 0) ,∴

f ?( x) ?

1 1? x ?1 ? x x ,

? ∴ f (1)=0 ,由导数的几何意义知:曲线 f ( x) 在点 (1, 0) 处的切线的斜率为 0,故所求切线
方程为 y ? 0 . ……………………………4 分

f ?( x) ?
(2)由(1)知:

1 1? x ?1 ? x x ,?当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;

? 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 .? f ( x) ? f (1) ? 0 ,? f ( x) 的最大值为 0 . …………………8 分
(3)解法 1:依题意

f ( x1 )max ? g ( x2 )max

其中

x1 ? (0, ??)



x2 ? [1, 2]

由(2)知

f ( x1 )max ? f (1) ? 0
x3 ? ax ? 0 ? a ? ( x 2 ) max ? 4
,其中 x ? [1, 2]

问题转化为:存在 x ? [1, 2] ,使得 所以 a ? 4 解法 2:对任意

……………………………14 分

x1 ? (0, ??)
,其中

,总存在

x2 ? [1, 2]


使得

f ( x1 ) ? g ( x2 )

成立,等价于

f ( x1 )max ? g ( x2 )max
由(2)知

x1 ? (0, ??)

x2 ? [1, 2]

f ( x) max ? 0

,因此只要对任意 x ? [1, 2] 恒有

g ( x) max ? 0

x ? [1, 2] 当 a ? 0 时, g ( x) ? x ? ax 在 2 时恒为正,满足题意.
3

当 a ? 0 时,

g ?( x) ? 3x 2 ? a ? 3( x ?

a a a a (??, ? ) ( , ??) )(3 ? ) 3 和 3 3 3 ,知 g ( x) 在

(?
上单调递增,在

a a , ) 3 3 上单调递减.

a ?1 g ( x)max ? g (2) ? 8 ? 2a ? 0 a ? 4 若 3 即 0 ? a ? 3 时, 由 ,得 ,即 0 ? a ? 3 ; 1?


a a a ?2 [1, ] [ , 2] 3 3 上递减,在 3 即 3 ? a ? 12 时 , g ( x) 在 上递增,而

g (1) ? 1 ? a ? 0 , g (2) ? 8 ? 2a 在 (3, 4] 为正,在 (4,12] 为负,可得 3 ? a ? 4 ;
a ?2 若 3 即 a ? 12 时 g (1) ? 0, g (2) ? 0 不合题意.
综上知 a 的取值范围为 a ? 4 . ……………………………14 分


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