【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)练习:3.2 数 学 证 明]


第三章

§2

一、选择题 1.“∵四边形 ABCD 为矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等”,以上推理省略的大前 提为( )

A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B π π - , ?是三角函数, 2. (2013· 华池一中高二期中)“三角函数是周期函数, y=tanx, x∈? ? 2 2? π π - , ?是周期函数”.在以上演绎推理中,下列说法正确的是( 所以 y=tanx,x∈? ? 2 2? A.推理完全正确 C.小前提不正确 [答案] D [解析] 大前提和小前提中的三角函数不是同一概念,犯了偷换概念的错误,即推理形 式不正确. 3.“凡是自然数都是整数,4 是自然数,所以 4 是整数.”以上三段论推理( A.完全正确 B.推理形式不正确 C.不正确,两个“自然数”概念不一致 D.不正确,两个“整数”概念不一致 [答案] A [解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确. 小前提“4 是自然数”也正确,推理形式符合演绎推理规则,所以结论正确. 4. 《论语· 学路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐 不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手 足.”上述推理用的是( A.类比推理 C.演绎推理 [答案] C [解析] 这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三 ) B.归纳推理 D.一次三段论 ) B.大前提不正确 D.推理形式不正确 )

段论,属演绎推理形式. 5.(2014· 洛阳市高二期中)观察下面的演绎推理过程,判断正确的是( 大前提:若直线 a⊥直线 l,且直线 b⊥直线 l,则 a∥b. 小前提:正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B1⊥AA1,且 AD⊥AA1. 结论:A1B1∥AD. A.推理正确 C.小前提出错导致推理错误 [答案] B [解析] 由 l⊥a,l⊥b 得出 a∥b 只在平面内成立,在空间中不成立,故大前提错误. 6.有这样一段演绎推理:“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数” 结论显然是错误的,这是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 [答案] C [解析] 用小前提“S 是 M”,判断得到结论“S 是 P”时,大前提“M 是 P”必须是 所有的 M,而不是部分,因此此推理不符合演绎推理规则. 二、填空题 7.已知推理:“因为△ABC 的三边长依次为 3、4、5,所以△ABC 是直角三角形”, 若将其恢复成完整的三段论,则大前提是________. [答案] 一条边的平方等于其它两边平方和的三角形是直角三角形. 8.函数 y=2x+5 的图像是一条直线,用三段论表示为: 大前提___________________________________________________. 小前提____________________________________________________. 结论______________________________________________________. [答案] 所有一次函数的图像都是一条直线 函数 y=2x+5 是一次函数 函数 y=2x+ 5 的图像是一条直线 9.对于“求证函数 f(x)=-x3 在 R 上是减函数”,用“三段论”可表示为:大前提是 “对于定义域为 D 的函数 f(x),若对任意 x1,x2∈D 且 x2-x1>0,有 f(x2)-f(x1)<0,则函数 f(x) 在 D 上 是 减 函 数 ” , 小 前 提 是 “_______________________________________ ______________________________________”,结论是“f(x)=-x3 在 R 上是减函数”.
3 2 [答案] 对于任意 x1,x2∈R 且 x2-x1>0,有 f(x2)-f(x1)=-x3 2+x1=-(x2-x1)(x2+x1x2 2 ??x2+x1?2+3x2 ? +x1 )=-(x2-x1)· 2 ? 4 1 <0 ?

)

B.大前提出错导致推理错误 D.仅结论错误

) B.小前提错误 D.非以上错误

?

?

三、解答题 10.将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)菱形的对角线互相平分. (2)奇数不能被 2 整除,75 是奇数,所以 75 不能被 2 整除. [答案] (1)平行四边形的对角线互相平分大前提 菱形是平行四边形小前提 菱形的对角线互相平分结论 (2)一切奇数都不能被 2 整除大前提 75 是奇数小前提 75 不能被 2 整除结论

一、选择题 11. 有如下一段演绎推理: “有些有理数是真分数, 整数是有理数, 则整数是真分数”, 这个推理的结论显然是错误的,是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 [答案] C [解析] 推理形式不完全符合三段论推理的要求,故推出的结论是错误的. 12.(2014· 淄博市临淄区学分认定考试)下面是一段演绎推理: 大前提:如果直线平行于平面,则这条直线平行于平面内的所有直线; 小前提:已知直线 b∥平面 α,直线 a?平面 α; 结论:所以直线 b∥直线 a. 在这个推理中( ) B.小前提与结论都是错误的 D.大前提错误,结论错误 ) B.小前提错误 D.非以上错误

A.大前提正确,结论错误 C.大、小前提正确,只有结论错误 [答案] D

[解析] 如果直线平行于平面,则这条直线只是与平面内的部分直线平行,而不是所有 直线,所以大前提错误,当直线 b∥平面 α,直线 a?平面 α 时,直线 b 与直线 a 可能平行, 也可能异面,故结论错误,选 D. 13.(2014· 淄博市临淄区学分认定考试)观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y) 的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个 数为 12,??,则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( A.76 B.80 )

C.86 [答案] B [解析]

D.92

记|x|+|y|=n(n∈N*)的不同整数解(x,y)的个数为 f(n),则依题意有 f(1)=4=

4×1,f(2)=8=4×2,f(3)=12=4×3,??,由此可得 f(n)=4n,所以|x|+|y|=20 的不同整 数解(x,y)的个数为 f(20)=4×20=80,选 B. 14.下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A.因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,所以∠A+∠B= 180° B.我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似,而中亚细亚有 丰富的石油,由此,他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油 C.由 6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=7+7,?,得出结论:一个偶数(大于 4)可以写成两个素数的和 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= ?an-1+a ?(n≥2),通过计算 a2,a3,a4,a5 的值归纳 2? n-1? 出{an}的通项公式 [答案] A [解析] 选项 A 中“两条直线平行,同旁内角互补”是大前提,是真命题,该推理为三 段论推理,选项 B 为类比推理,选项 C、D 都是归纳推理. 二、填空题 15 .“∵ α∩β = l, AB ? α, AB ⊥ l ,∴AB⊥ β”,在上述推理过程中,省略的命题为 ________. [答案] 如果两个平面相交,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 三、解答题 16.三段论“平面内到两定点 F1、F2 的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提),平 面内动点 M 到两定点 F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为 4(小前提),则 M 点的轨迹是椭圆(结 论)”中的错误是________. [答案] 大前提 [解析] 大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,概念出错,不严密. 而因为 F1(-2,0)、F2(2,0)间距离为|F1F2|=4, 所平平面内动点 M 到两定点 F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为 4 的点的轨迹应为线段而 不是椭圆. 17.先解答下题,然后分析说明你的解题过程符合演绎推理规则.设 m 为实数,求证: 方程 x2-2mx+m2+1=0 没有实数根. [解析] 已知方程 x2-2mx+m2+1=0 的判别式 Δ=(-2m)2-4(m2+1)=-4<0,所以

方程 x2-2mx+m2+1=0 没有实数根. 说明:此推理过程用三段论表述为: 大前提:如果一元二次方程的判别式 Δ<0,那么这个方程没有实数根; 小前提:一元二次方程 x2-2mx+m2+1=0 的判别式 Δ<0; 结论:一元二次方程 x2-2mx+m2+1=0 没有实数根. 解题过程就是验证小前提成立后,得出结论. 18.下面给出判断函数 f(x)= f?x? 解:由于 x∈R,且 f?-x? = 1+x2+x-1 1+x2-x+1 · 1+x2+x+1 1+x2-x-1 ?1+x2?-?x-1?2 2x = =-1. ?1+x2?-?x+1?2 -2x 1+x2+x-1 的奇偶性的解题过程: 1+x2+x+1



∴f(-x)=-f(x),故函数 f(x)为奇函数. 试用三段论加以分析. [解析] 判断奇偶性的大前提“若 x∈R,且 f(-x)=-f(x),则函数 f(x)是奇函数;若 x ∈R,且 f(-x)=f(x),则函数 f(x)是偶函数”.在解题过程中往往不用写出来,上述证明过 程就省略了大前提.解答过程就是验证小前提成立,即所给的具体函数 f(x)满足 f(-x)=- f(x).


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