2008年江苏卷理科第13题的两种解法

中学生数学 ? 2 0 0 9 年 6 月上 ? 第 3 7 1 期( 高中)  

2 0 0 8年江 苏 卷 理科 第 1 3题 的 两种 解 法 
浙江省 湖州 市双林 中学 高二 ( 6 ) 班( 3 1 3 0 1 2 )   於升 贤   仰 国飞  杨 伟伟  指导 教师  李建潮 

题目   满 足 条 件 AB一 2 , AC一√ 2 B C 的  AAB C的面积 的最 大值 为  .   《 数理 天地 > > 2 0 0 8 年第 1 0期 上 徐 勇老 师 给  出了三种 解 法 . 为 进 一 步 了解 这 道 考题 的 “ 性  能” , 本文利用 不等 式 ( “   一b   ) ( c 。 一d   ) ≤( n c —  
b d )  *( 当且 仅 当  — n  时取 “ 一” 号) 再 给 出 两 

③ ÷④ , 并利用 不 等式 ( *) 与⑤式 , 得 

S A a  ̄C

一  

2 4 2 s i n A  

种新解法 , 以较 完整地展现这类 题型 的面貌 .  

≤ _ 二 = — = 

= 二一

 

解法 4 令 B C=z, 贝 4   AC =√ 2 z .  
根据 面积 公式 , 得 
一  

√r l   一( 一  ) 。 ] ( c o s   B —c o s   A )  
一  



 ̄ — o s 2 A- - — c o s z B


、  
一 2  

百二  
,  

S A A B c — B C ? A C s i n C 一 去z   s i n C  ①  
厶 

一 I  

又 由余弦 定理 , 得 
2 。 一 A B 一 BC。   A C 一 2 BC ?A Cc os C 

 ̄ / 2 s i n   A— s i n 。 A  

当且仅 当

一√ 2? c o s B一1? c o s A  

⑥ 

一- z   +2 x   一2 x?  
’ . . 

c o s C,  
 

时, s   仙。 取 最 大值 2 √ 2 . 此时, 由⑤ 、 ⑥ 消 去 比 
② 

。一





 



例 系数√ 2 , 得s i n Ac o s A一一s i n B c o s B, 即s i n 2 A  
+s i n 2 B一 0 , 2 s i n ( A+ B) C O S ( A— B) 一0 , 易 知 
C O S ( A— B) 一0 ( A< B) , 得 B—A 一9 0 。 .  

3 —2   4 2 C O S C  

②代 入① , 并利 用不 等式 ( *) , 得 

2/ g s i n C  
△仙  

般地, 满足 条 件 BC—a , AB—A AC(   >  0 ,  ≠1 ) 的△AB C的面 积 s的最 大值 为 




 

2  ̄ / 2 s i n C  

s … 一 

⑦ 

其中, 当 > 1时 , 当且仅 当 C—B:9 0 。 时,  
≤ 

√F 3   z 一( 2   )   ] ( 1   -C O S   c )  
一2   ,  

S取 得 最 大 值 ;   当O <A < 1时 , 当且仅 当 B—C一9 0 。 时, S  

当且 仅 当 2√ 2?l 一 3?c o s C, 即 c o s C一 

取 得最 大值 .   以此 为 背景 , 我 们 自编 了如 下 一 道 试题 与  大 家共享 :   已知 满足 条件 BC =3 , AB=A AC( A >0 ) 的  △AB C的 面积 S 的最 大值 为 3 , 那 么  的值 是 



时, S △ A B   有 最大值 2 , / g .  
解法 5 令 B C一. 7 2 , 则 AC一√ 2 z . 根据 面 
积公 式 , 得  S 八   =   AB ? AC s i n A一  s i n A   ③ 

- 丰 斥显 然   ≠ 1 . 由 结 论 ⑦ 式 , 可 得  
Sm a x -  .  

又 由射影 定 理 f —a c o s B+ b c o s A, 和 正 弦 

定理 , 分别 得 

令 S m a x =3 , 即 

一3 ,  
.  

2 一 ̄ c o s B+√ 2 z c o s A  
s i n B—x / 2 - s i n A  

④ 
⑤ 

● 

得 一2或 一   1

( 责审   张 思 明)  

◇  ● 

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● 

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