2015-2016学年浙江省杭州高级中学高一新生分班模拟考试数学试题

2015-2016 学年浙江省杭州高级中学高一新生分班模拟考试数学试题
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.下列结论正确的是( A. 3a b ? a b ? 2
2 2


2

B.单项式 ? x 的系数是-1

C.使式子 x ? 2 有意义的 x 的取值范围是 x ? ?2

a2 ?1 D.若分式 的值等于 0,则 a ? ?1 . a ?1
2.在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

3.如图所示,将正方形纸片三次对折后,沿图中 AB 线剪掉一个等腰直角三角形,展开铺平得到的图形是 ( )

4.今年,我省启动了“关爱留守儿童工程”.某村小为了了解各年级留守儿童的数量,对一到六年级留守儿 童数量进行了统计,得到每个年级的留守儿童人数分别为 10,15,10,17,18,20,对于这组数据,下列说法 错误的是( A.平均数是 15 ) B.众数是 10 C.中位数是 17 D.方差是

44 3
' '
'

5.如图, A, B, C 三点在正方形网格线的交点处,若将 ?ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到 ?AC B ,则 tan B 的值为( A. ) B.

1 2

1 3

C.

1 4

D.

2 4



1第

6.如图是自行车骑车训练场地的一部分,半圆 O 的直径 AB ? 100 ,在半圆弧上有一运动员 C 从 B 点沿半 圆周匀速运动到 M (最高点) ,此时由于自行车故障原地停留了一段时间,修理好继续以相同的速度运动 到 A 点停止,设运动时间为 t ,点 B 到直线 OC 的距离为 d ,则下列图象能大致刻画 d 与 t 之间的关系是 ( )

7.如图,在平面直角坐标系中,直线 y ? ?3x ? 3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A, B 两点,以 AB 为边在第一象 限作正方形 ABCD , 点 D 在双曲线 y ? 好落在该双曲线上,则 a 的值是( A.1 B.2 C.3 D.4

k (k ? 0) 上, 将正方形沿 x 轴负方向平移 a 个单位长度后, 点C 恰 x



8.如图,分别过点 P i (i,0)(i ? 1, 2,?, n) 作 x 轴的垂线,交 y ?

1 2 1 x 的图象于点 Ai ,交直线 y ? ? x 于点 2 2

Bi ,则

1 1 1 ? ??? 的值为( A1B1 A2 B2 An Bn
B.2 C.



A.

2n n ?1

2 n(n ? 1)

D.

2 n ?1



2第

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
? 9.如图, AB ? AC , ?BAC ? 120 , AB 的垂直平分线交 BC 于点 D ,那么 ?ADC ?



10.对实数 a , b 定义新运算 “*” 如下:a * b ? ? 的两根为 x1 , x2 ,则 x1 * x2 ? .

? a, a ? b 3 ,(? 5)* 2 ? 2 ,若 x2 ? x ? 1 ? 0 , 如 3*2 ? ?b, a ? b

11.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示,对称轴为 x ? 1 ,给出下列结论:① abc ? 0 ;②

b 2 ? 4ac ;③ 4a ? 2b ? c ? 0 ;④ 3a ? c ? 0 ,其中正确的结论是

. (写出正确命题的序号)

12.已知两个正数 a , b , 可按规则 c ? ab ? a ? b 扩充为一个新数 c 在 a, b, c 三个数中取两个较大的数, 按上 述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次操作, (1)若 a ? 1, b ? 3 ,按 上述规则操作三次,扩充所得的数是 ; (2)若 p ? q ? 0 ,经过 6 次操作后扩充所得的数为 .

,则 m ? n 的值为 (q ? 1)m ( p ? 1)n ?1 ( m, n 为正整数)

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
13.(本小题共两小题,满分 12 分,每小题 6 分) (1)先化简,再求值: (

2 a?2 a ? 2 )? ,其中 a ? 2 ? 1. a ?1 a ?1 a ?1
3第



(2)已知关于 x, y 的二元一次方程 ? 14.(本小题满分 10 分)

? 2 x ? y ? 2m 的解满足 x ? y ,求 m 的取值范围. ? x ? 3 y ? m ?1

2015 年 1 月,市教育局在全市中小学中选取了 63 所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心 发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价,评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名 学生进行问卷调查,了解他们每天在课外用于学习的时间,并绘制成如下不完整的统计图.

根据上述信息,解答下列问题: (1)本次抽取的学生人数是 ;扇形统计图中的圆心角 ? 等于 ;补全统计直方图;

(2)被抽取的学生还要进行一次 50 米跑测试,每 5 人一组进行,在随机分组时,小红、小花两名女生被 分到同一个小组,请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率. 15.(本小题满分 12 分) 已知,如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 为圆 O 上一点, OF ? BC 于点 F ,交圆 O 于点 E , AE 与 BC 交 于点 H ,点 D 为 OE 的延长线上一点,且 ?ODB ? ?AEC . (1)求证: BD 是圆 O 的切线; (2)求证: CE ? EH ? EA ;
2

(3)若圆 O 的半径为 5, sin A ?

3 ,求 BH 的长. 5



4第

16. (本小题满分 12 分) 大学毕业生小王相应国家“自主创业”的号召,利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店,该店购进一种 今年新上市的饰品进行销售,饰品的进价为每件 40 元,售价为每件 60 元,每月可卖出 300 件,市场调查 反映:调整价格时,售价每涨 1 元每月要少卖 10 件;售价每下降 1 元每月多卖 20 件,为获得更大的利润, 现将饰品售价调整为 60 ? x (元/件) ( x ? 0 即售价上涨, x ? 0 即售价下降) ,每月饰品销售为 y (件) , 月利润为 w (元). (1)直接写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)如何确定销售价格才能使月利润最大?求最大月利润; (3)为了使每月利润不少于 6000 元,应如何控制销售价格? 17. (本小题满分 14 分) 如图,把两个全等的 Rt ?AOB 和 Rt ?COD 分别置于平面直角坐标系中,使直角边 OB, OD 在 x 轴上,已 知点 A(1, 2) ,过 A, C 两点的直线分别交 x 轴、 y 轴于点 E , F . 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过 O, A, C 三点. (1)求该抛物线的函数解析式; (2)点 P 为线段 OC 上的一个动点,过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M ,交 x 轴于点 N ,问是否 存在这样的点 P ,使得四边形 ABPM 为等腰梯形?若存在,求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理 由; (3)若 ?AOB 沿 AC 方向平移(点 A 始终在线段 AC 上,且不与点 C 重合) , ?AOB 在平移的过程中与

?COD 重叠部分的面积记为 S ,试探究 S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说
明理由.



5第

参考答案 BDACBCBA 9.

60?

10.

5 ?1 2

11. ①④

12.255

21

1 ? x ? m? ? ? 2 x ? y ? 2m ? 7 (2)解二元一次方程组 ? ,得 ? , 2 ? x ? 3 y ? m ?1 ? y?? ? 7 ?
∵x? y,



6第

1 2 ?? , 7 7 1 ∴n ? ? , 7
∴n? 所以 n 的取值范围是 n ? ?

1 . 7

14. (1) 6 ? 20% ? 30 , (30 ? 3 ? 7 ? 6 ? 2) ? 30 ? 360 ? 12 ? 30 ? 26 ? 1440 , 答:本次抽取的学生人数是 30 人;扇形统计图中的圆心角 ? 等于 144 ;
?

故答案为: 30,1440 ; 补全统计图如图所示:

(2)根据题意列表如下:设竖列为小红抽取的跑道,横排为小花抽取的跑道, 小红 小花 1 2 3 4 5 (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5) 1 2 (2,1) 3 (3,1) (3,2) 4 (4,1) (4,2) (4,3) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)

记小红和小花抽在相邻两道这个事件为 A , ∴ P ( A) ?

8 2 ? . 20 5

15. (1)证明:∵ ?ODB ? ?AEC , ?AEC ? ?ABC , ∴ ?ODB ? ?ABC , ∵ OF ? BC , ∴ ?BFD ? 90 ,
?



7第

∴ ?ODB ? ?DBF ? 90 ,
?

∴ ?ABC ? ?DBF ? 90 ,
?

即 ?OBD ? 90 ,
?

∴ BD ? OB , ∴ BD 是圆 O 的切线. (2)证明:连接 AC ,如图 1 所示:

∵ OF ? BC , ∴弧 BE ? 弧 CE , ∴ ?CAE ? ?ECB , ∵ ?CEA ? ?HEC , ∴ ?CEH ∽ ?AEC , ∴

CE EA ? , EH CE
2

∴ CE ? EH ? EA . (3)连接 BE ,如图 2 所示,

∵ AB 是圆 O 的直径, ∴ ?AEB ? 90 ,
?

∵圆 O 的半径为 5, sin ?BAE ?

3 , 5



8第

∴ AB ? 10, BE ? AB ? sin ?BAE ? 10 ? ∴ EA ?

3 ?6, 5

AB2 ? BE2 ? 102 ? 62 ? 8 ,

∵弧 BE ? 弧 CE , ∴ BE ? CE ? 6 , ∵ CE ? EH ? EA ,
2

62 9 ? , ∴ EH ? 8 2
在 Rt ?BEH 中, BH ?

9 15 BE 2 ? EH 2 ? 62 ? ( )2 ? . 2 2

16. (1)由题意可得, y ? ?

? 300 ? 10 x,0 ? x ? 30 , ?300 ? 20 x, ?20 ? x ? 0

(2)由题意可得: w ? ?

? (20 ? x)(300 ? 10 x),0 ? x ? 30 , (20 ? x )(300 ? 20 x ), ? 20 ? x ? 0 ?


化简得: w ? ?

? ?10 x 2 ? 100 x ? 6000, 0 ? x ? 30
2 ??20 x ? 100 x ? 6000, ?20 ? x ? 0

? ?10( x ? 5)2 ? 6250, 0 ? x ? 30 ? 即w?? , 5 2 ??20( x ? ) ? 6125, ?20 ? x ? 0 ? 2
由题意可知 x 应取整数,故当 x ? ?2 或 x ? ?3 时, w ? 6125 ? 6250 , 故当销售价格为 66 元时,利润最大,最大利润为 6250 元. (3)由题意 w ? 6000 ,如图,令 w ? 6000 ,



9第

即 6000 ? ?10( x ? 5)2 ? 6250 , 6000 ? ?20( x ? ) ? 6125 ,
2

5 2

解得: x1 ? ?5 , x2 ? 0 , x3 ? 10 ,

?5 ? x ? 10 ,
故将销售价格控制在 55 元到 70 元之间(含 55 元和 70 元)才能使每月利润不少于 6000 元. 17. (1)将 A(1, 2), O(0,0), C (2,1) 分别代入 y ? ax2 ? bx ? c ,

? a?b?c ? 2 3 7 3 2 7 ? c?0 得? ,解得: a ? ? , b ? , c ? 0 ,所以 y ? ? x ? x . 2 2 2 2 ? 4a ? 2b ? c ? 1 ?
(2)如图 2,过点 P, M 分别作梯形 ABPM 的高 PP' , MM ' ,如果梯形 ABPM 是等腰梯形,那么

AM ' ? BP ' 因此, yA ? yM ' ? yP' ? yB ,

1 1 3 7 x ,设点 P 的坐标为 ( x, x) ,那么 M ( x, ? x 2 ? x) . 2 2 2 2 3 2 7 1 2 解方程 2 ? ( ? x ? x) ? x ,得 x1 ? , x2 ? 2 , 2 2 2 3 2 1 x ? 2 的几何意义是 P 与 C 重合,此时梯形不存在,所以 P ( , ) . 3 3
直线 OC 的解析式为 y ?



10 第

(3)如图 3, ?AOB 与 ?COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH ,作 EK ? OD 于 k , 设点 A 移动的水平距离为 m ,那么 OG ? 1 ? m , GB ? m ,
'

'

1 1 1 OG ? (1 ? m) ,所以 S ?OFG ? (1 ? m) 2 . 2 2 4 1 ' 1 1 ' ' 在 Rt ?A HG 中, AG ? 2 ? m ,所以 HG ? A G ? (2 ? m) ? 1 ? m , 2 2 2 1 3 所以 OH ? OG ? HG ? (1 ? m) ? (1 ? m) ? m , 2 2
在 Rt ?OFG 中, FG ? 在 Rt ?OEK 中, OK ? 2 EK ; 在 Rt ?EHK 中, EK ? 2 HK ; 所以 OK ? 4 HK .

4 4 3 1 OH ? ? m ? 2m ,所以 EK ? OK ? m , 3 3 2 2 1 1 3 3 2 所以 S ?OEH ? OH ? EK ? ? m ? m ? m . 2 2 2 4 1 3 1 2 1 1 1 1 2 3 2 2 于是 S ? S ?OFG ? S ?OEH ? (1 ? m) ? m ? ? m ? m ? ? ? (m ? ) ? , 4 4 2 2 4 2 2 8 1 3 因为 0 ? m ? 1 ,所以当 m ? 时, S 取得最大值,最大值为 . 8 2
因此 OK ?



11 第


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