【全国百强校】山东省潍坊第一中学2015届高三数学必修四《第二章+平面向量》单元测试题


一、 选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.下列说法正确的是( ) A. 数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B. 方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小 C. 向量的大小与方向有关 D. 向量的模可以比较大小 2. 若 α ,β 是一组基底,向量 γ =xα +yβ (x,y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基底 α ,β 下的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐 标为(-2,2),则 a 在另一组基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( ) A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2) 3.已知四边形 ABCD 是一菱形,则下列等式中成立的是( ) A. → AB+→ BC=→ CA B. → AB+→ AC=→ BC C. → AC+→ BA=→ AD D. → AC+→ AD=→ DC 4.已知向量 a,b,设→ AB=a+2b,→ BC=-5a+6b,→ CD=7a-2b,那么下列各组中 三点一定共线的是( ) A. A,B,C B. A,C,D C. A,B,D D. B,C,D 1 5.在△ABC 中,→ AD= → AB,DE∥BC,且 DE 与 AC 相交于点 E,M 是 BC 的中点,AM 4 →+yAC →(x,y∈R),则 x+y 等于( 与 DE 相交于点 N,若→ AN=xAB ) 1 1 1 C. D. 2 4 8 6.已知向量集 M={a|a=(1 ,2)+λ (3,4),λ ∈R},N={a|a=(-2,-2)+ μ (4,5),μ ∈R},则 M∩N 等于 ( ) A. {(1,1)} B. {(1,1),(-2,-2)} C. {(-2,-2)} D. ? →|=3,|BC →|=4,|CA →|=5,则→ 7.已知平面上三点 A,B,C 满足|AB AB?→ BC+→ BC?→ CA A. 1 B. +→ CA?→ AB的值等于 ( ) A. -25 B. -20 C. -15 D. -10 8.已知向量→ OA=(2,2),→ OB=(4,1),在 x 轴上有一 点 P 使→ AP?→ BP有最小值, 则点 P 的坐标是( ) A. (-3,0) B. (2,0) C. (3,0) D. (4,0) 9. a, b 为非零向量.“a⊥b”是“函数 f(x)=(xa+b)?(xb-a)为一次函数” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 →|=1,|OB → |= 3,→ → 10.在平面内,已知|OA OA?→ OB=0,∠AOC=30°,设→ OC=mOA
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→(m,n∈R),则m等于( +nOB n A. ± 3 B. ±3

) 1 3 D. ± 3 3

C. ±

二、 填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知△ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P 满足 PA + PB + PC = AB ,则点 P
与△ABC 的关系为 。

→|= __ 12.已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,则|BD 13.若 P 为△ABC 的外心,且→ PA+→ PB=→ PC,则∠ACB=__ __.

__.

14.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k= . 15.定义平面向量的一种运算:a?b=|a|?|b|sin〈a,b〉 ,则下列命题: ①a?b=b?a;②λ (a ?b)=(λ a)?b;③(a+b)?c=(a?c)+(b?c);④若 a =(x1,y1),b=(x2,y2),则 a?b=|x1y2-x2y1|. 其中真命题是__ __(写出所有真命题的序号). 三、 解答题(共 75 分) 16.已知向量→ OA=(3,-4),→ OB=(6,-3),→ OC=(5-x,-3-y). (1)若点 A,B,C 不能构成三角形,求 x,y 应满足的条件; →,求 x,y 的值. (2)若→ AC=2BC
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17.已知向量 m=(sin A,cos A),n=(cos B,sin B),m?n=sin 2C,且 A,B, C 分别为△ABC 的三边 a,b,c 所对的角. (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A, sin C, sin B 成等比数列, 且→ CA?(→ AB-→ AC)=18, 求 c 的值.

18.已知 O 为坐标原点,向量 → OA=(sin α ,1),→ OB=(cos α ,0), → OC=(-sin α ,2),点 P 满足→ AB=→ BP. (1)记函数 f(α )=→ PB?→ CA,求函数 f(α )的最小正周期; →+→ (2)若 O,P,C 三点共线,求|OA OB|的值.

19.已知在等边三角形 ABC 中,点 P 为线段 AB 上一点,且→ AP=λ → AB(0≤λ ≤1). 1 →|; (1)若等边三角形边长为 6,且 λ = ,求|CP 3 → → → → (2)若CP?AB≥PA?PB,求实数 λ 的取值范围.

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20.在钝角三角形 ABC 中, a, b,c 分别是角 A, B,C 的对边, m=(2b-c,cos C), n=(a,cos A),且 m∥n. (1)求角 A 的大小; ?π ? (2)求函数 2sin2 B+cos? -2B?的值域. 3 ? ?

21.已知二次函数 f(x)对任意 x∈R, 都有 f(1-x)=f(1+x)成立, 设向量 a=(sin 1? ? x,2),b=?2sin x, ?,c=(cos 2x,1),d=(1,2),当 x∈[0,π ]时,求不 2? ? 等式 f(a?b)> f(c?d)的解集.

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《平 面 向 量》练习题参考答案
一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. A 中不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,∴A 不正确;由 A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小,∴B 不正确;C 中向量的大小 即向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,∴C 不正确;D 中向量的模 是一个数量,可以比较大小,∴D 正确. 2. 解析:选 D 由题意,a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4). 设 a 在基底 m,n 下的坐标为(λ ,μ ),则 a=λ (-1,1)+μ (1,2)=(-λ +μ ,λ +2μ )=(2,4). ?-λ +μ =2, ?λ =0, 故? 解得? 即坐标为(0,2). ?λ +2μ =4, ?μ =2, 3. C 对于 A,→ AB+→ BC=→ AC≠→ CA;对于 B,→ AB+→ AC≠→ BC;对于 C,→ AC+→ BA=→ BA+ → AC=→ BC,又→ AD=→ BC,∴→ AC+→ BA=→ AD;对于 D,→ AC+→ AD≠→ DC. 4. C 由向量的加法法则知 → BD = → BC + → CD =- 5a + 6b + 7a - 2 b = 2(a + 2b) = →,又两线段均过点 B,故 A,B,D 三点一定共线. 2AB 5. C 1?1→ 1→? 1 1 1 1 1 1 → AN= ? AB+ AC?= → AB+ → AC,∴x=y= ,即 x+y= + = . 4 ? 8 2?4 8 8 8 8 4 6. C 设 a=(x,y),对于 M,(x,y)=(1,2)+λ (3,4),(x-1,y-2)= ?x-1=3λ , x-1 y-2 λ (3,4),? ∴ = .对于 N,(x,y)=(-2,-2)+μ (4, 3 4 ?y-2=4λ , ?x+2=4μ , x+2 y+2 5),(x+2,y+2)=μ (4,5),? ∴ = ,解得 x=-2,y= 4 5 ?y+2=5μ , -2. 7. A →+→ →|2+|BC →|2+|CA →|2+2AB → ?→ ∵→ AB+→ BC+→ CA=0,∴|AB BC+→ CA|2=|AB BC →?→ →?→ →?→ +2BC CA+2AB CA=9+16+25+2(AB BC+→ BC?→ CA+→ AB?→ CA)=0, ∴→ AB?→ BC+→ BC?→ CA+→ CA?→ AB=-25. 8. C → →?→ 设点 P 的坐标为(x, 0), 则→ AP=(x-2, -2), BP=(x-4, -1).AP BP =(x-2)(x-4)+(-2)?(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当 x=3 时,→ AP?→ BP 有最小值 1,∴点 P 的坐标为(3,0). 9. B 若 a⊥b,则 a?b=0,f(x)=(xa+b)?(xb-a)=(a?b)x2+(b2-a2)x -(a?b)=(b2-a2)x, 若|a|=|b|, 则 f(x)是常数, 不是一次函数; 若函数 f(x) =(xa+b)?(xb-a)为一次函数,则 a?b=0,即 a⊥b,∴ “a⊥b”是“函数

f(x)=(xa+b)?(xb-a)为一次函数”的必要不充分条件. 10. B →+nOB →,→ ∵∠AOC=30°,∴〈→ OA,→ OC〉=30°.∵→ OC=mOA OA?→ OB=0, →|2=(mOA →+nOB →)2=m2|OA →|2+n2|OB →|2=m2+3n2,即|OC →|= m2+3n2.OA →?→ ∴|OC OC= → →+nOB →)=mOA →2=m.又→ →|?|OC →|cos 30°=m,即 m2+3n2?1? OA(mOA OA?→ OC=|OA 3 m2 m =m,平方得 m2=9n2,即 2=9,∴ =±3. 2 n n 二、 填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 解析: ∵ PA + PB + PC = AB , ∴ PA + PB + PC = PB - PA ,∴ PC =-2 PA =2 AP ,
∴P 是 AC 边的一个三等分点.

1 易知 AC⊥BD,且∠ABD=30°,设 AC 与 BD 交于点 O,则 AO= AB=1. 2 →|= 3,∴|BD →|=2|BO →|=2 3. 在 Rt△ABO 中,易得|BO 12. 13. 由→ PA+→ PB=→ PC知四边形 ACBP 为平行四边形, 又 P 为外心, ∴四边形 ACBP 为菱形,且 PA=PC=AC,∠ACP=60°,易得∠ACB=120°. 14.解析: ∵a 与 b 是不共线的单位向量, ∴|a|=|b|=1.又 ka-b 与 a+b 垂直, 2 ∴(a+b)?(ka-b)=0,即 ka +ka?b-a?b-b2=0.∴k-1+ka?b-a?b =0,即 k-1+kcos θ -cos θ =0(θ 为 a 与 b 的夹角).∴(k-1) (1+ cos θ )=0.又 a 与 b 不共线,∴cos θ ≠-1.∴k=1. 15. 由定义可知 b?a=|b|?|a|sin〈a,b〉=a?b, ∴①正确;②当 λ <0 时, 〈λ a, b〉 =π - 〈a, b〉 , ∴(λ a)?b=|λ a|?|b|sin 〈a, b〉 =-λ |a|?|b|sin 〈a,b〉 ,∴②不成立;③∵|a+b|的长度不一定等于|a|+|b|,∴③不成立; ④(a?b)2=|a|2?|b|2sin2〈a,b〉=|a|2?|b|2(1-cos2〈a,b〉)=|a|2?|b|2 2 2 2 2 2 -|a|2? |b|2cos〈 a, b〉 =|a|2? |b|2-(a?b)2=(x2 1+y1)?(x2+y2)-(x1x2+y1y2) =(x1y2-x2y1)2,∴a?b=|x1y2-x2y1|,∴④成立.∴真命题是①④. 三、 解答题(共 75 分) 16. (1) 若点 A,B,C 不能构成三角形,则这三点共线. 由→ OA=(3,-4),→ OB=(6,-3),→ OC=(5-x,-3-y)得 → AB=(3,1),→ AC=(2-x,1-y),(2 分) ∴3(1-y)=2-x. ∴x,y 满足的条件为 x-3y+1=0.(6 分) →=(-x-1,-y), (2)BC →得 由→ AC=2BC (2-x,1-y)=2(-x-1,-y),(8 分) ?2-x=-2x-2, ?x=-4, ∴? 解得? (10 分) ?1-y=-2y, ?y=-1. 17. (1)∵m=(sin A,cos A),n=(c os B,sin B),m?n =sin 2C, ∴sin Acos B+cos Asin B=sin 2C 即 sin C=sin 2C.(2 分)

1 π ∴cos C= ,又角 C 为三角形的内角,∴C= .(6 分) 2 3 (2)∵sin A,sin C,sin B 成等比数列,∴c2=ab.(8 分) 又→ CA?(→ AB-→ AC)=18,即→ CA?→ CB=18,(10 分) ∴abcos C=18.即 ab=36. ∴c2 =ab=36,即 c=6.(12 分) →=(cos α -sin α ,-1),设→ 18. (1)AB OP=(x,y), 则→ BP=(x-cos α ,y), 由→ AB=→ BP得 x=2cos α -sin α ,y=-1, 故→ OP=(2cos α -sin α ,-1).(4 分) 则→ PB=(sin α -cos α ,1),→ CA=(2sin α ,-1),(5 分) ∴f(α )=(sin α -cos α ,1)?(2sin α ,-1) =2sin2α -2sin α cos α -1 =-(sin 2α +c os 2α ) π? ? =- 2sin?2α + ?. 4? ? ∴f(α )的最小正周期 T=π .(8 分) (2)由 O,P,C 三点共线可得 4 (-1)?(-sin α )=2?(2cos α -sin α ),得 tan α = .(10 分) 3 2sin α cos α 2tan α 24 sin 2α = = = , 2 2 2 sin α +cos α 1+tan α 25 →+→ |OA OB|= (sin α +cos α )2+1 = 2+sin 2α = 19. 74 .(12 分) 5 1 1 (1)当 λ = 时,→ AP= → AB, 3 3

1 → →+→ →?→ CP2=(CA AP)2=→ CA2+2CA AP +→ AP2=62-2?6?2? +22=28. 2 →|=2 7.(5 分) ∴|CP (2)设等边三角形的边长为 a,则 1 → →+→ →+λ → CP?→ AB=(CA AP)?→ AB=(CA AB)?→ AB=- a2+λ a2,(7 分) 2 → →-λ → PA?→ PB=→ PA?(→ AB-→ AP)=-λ → AB(AB AB)=-λ a2+λ 2a2.(9 分) 1 1 即- a2+λ a2≥-λ a2+λ 2a2,∴λ 2-2λ + ≤0, 2 2 ∴ 2- 2 2+ 2 ≤λ ≤ . 2 2
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?2- 2 ? 又 0≤λ ≤1,∴实数 λ 的取值范围为? ,1?.(12 分) ? 2 ?

20. (1)由 m∥n,得(2b-c)cos A-acos C=0, 由正弦定理得 2sin Bcos A-sin CcosA-sin Acos C=0.(2 分) 1 ∴2sin Bcos A-sin B=0,∵B,A∈(0,π ),sin B≠0,得 cos A= ,即 A 2 π = .(5 分) 3 π? 1 3 ?π ? ? (2)令 y=2sin2B+cos? -2B?=1- cos 2B+ sin 2B=sin?2B- ?+1, 6? 2 2 ?3 ? ? π ? ? 2 <B<π , π 2π 当角 B 为钝角时,角 C 为锐角,则? ? <B< . 3 2π π 2 ? ?0< 3 -B< 2 π ? ? 1 1? 5π π 7π ? ?1 3? ∴ <2B- < ,∴sin?2B- ?∈?- , ?,∴y∈? , ?,(10 分) 6 ? ? 2 2? 6 6 6 ? ?2 2? π ? 0<B< , ? 2 π 当角 B 为锐角时,角 C 为钝角,则? ?0<B< . 6 π 2π < -B<π ? ?2 3 π ? ? 1 1? π π π ? ?1 3? ∴- <2B- < ,∴sin?2B- ?∈?- , ?,∴y∈? , ?.(12 分) 6 ? ? 2 2? 6 6 6 ? ?2 2? ?1 3? 综上所述,所求函数的值域为? , ?.(13 分) ?2 2? 21. 设 f(x)的二次项系数为 m,其图像上两点为(1-x,y1),B(1+x,y2). (1-x)+(1+x) ∵ =1,f(1-x)=f(1+x),∴y1=y2,(3 分) 2 由 x 的任意性得 f(x)的图像关于直线 x=1 对称, 若 m>0,则 x≥1 时, f(x)是增函数;若 m<0,则 x≥1 时, f(x)是减函 数. 1? ? ∵a?b=(sin x,2)??2sin x, ?=2sin2x+1≥1,c?d=(cos 2x,1)?(1, 2? ? 2)=cos 2x+2≥1,(6 分) ∴当 m>0 时,f(a?b)>f(c?d)?f(2sin2x+1)>f(cos 2x+2)?2sin2x +1>cos 2x+2?1-cos 2x+1>cos 2x+2?2cos 2x<0?cos 2x<0?2kπ π 3π + <2x<2kπ + ,k∈Z. 2 2 π 3π ∵0≤x≤π ,∴ <x< .(10 分) 4 4 π 3π 当 m<0 时,同理可得 0≤x< 或 <x≤π .(12 分) 4 4 ? ?π ? 3π ? ? 综上所述,f(a?b)>f(c?d)的解集是当 m>0 时,为?x? <x< ?; 4 ? ? ? ?4 ?

? ? π 3π ? ? ? <x≤π ?.(14 分) 当 m<0 时,为?x?0≤x< 或 4 4 ? ? ? ? ?

附件 1:律师事务所反盗版维权声明

附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校 名录参 见:h ttp://w ww.zxxk.com/wxt/list. aspx ? ClassID=3060


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