陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考数学(理)试题及解析


西安市远东第一中学 2018-2019 学年度第一学期 高三年级 10 月月考数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 A. 【答案】C 【解析】 由 得: ,故 ,故选 C. B. , C. D. ,则





点睛:合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研 究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一 元二次不等式,我们首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过 程中, 要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之 间是属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 2.下列命题中,真命题是( A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特值法,逐一进行判断即可. 【详解】对于 A,当 x=0 时,x ﹣x﹣1>0 不正确,所以 A 错误; 对于 B,?α,β∈R,sin(α+β)<sinα+sinβ ,例如 α =β =0,sin(α +β)=sinα+sinβ =0, 所以 B 不正确;
2

)

对于 C,?x∈R,x ﹣x+1=0,因为△ =﹣3<0,方程无解,所以不正确; 对于 D,?α,β∈R,sin(α+β)=cosα+cosβ ;因为 sin(α +β)=sinβcosα+sinα cosβ ,当 时,D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查特称命题与全称命题的真假判断,特例法是判断真假的一种解法,值得注 意. 3.设 是首项为正数的等比数列,公比为 则“ ”的 A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ”是“对任意的正整数

2

C. 必要而不充分条件 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得,

,故

是必要不充分条件,故选 C. 【考点】充要关系 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法: ①定义法: “若 q 则 p”的真假. q”为真, 直接判断“若 p 则 q”、 并注意和图示相结合, 例如“p? 则 p 是 q 的充分条件. ②等价法:利用 p? q 与非 q? p 与非 p? q 与非 q? 非 p,q? 非 q,p? 非 p 的等价关系,对于条 件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. ③集合法:若 A? B,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要 条件. 4.函数 A. 0 C. 【答案】C 【解析】 【分析】 B. D. 1 在区间 的最大值是( )

2 2 可令 t=x ﹣6x+10,函数 t 在[1,2]递减,且 y=logt 在(0,+∞)递减,可得 y=log(x ﹣

6x+10)在[1,2]递增,计算可得最大值.
2 【详解】y=log(x ﹣6x+10) , 2 可令 t=x ﹣6x+10,

对称轴为 x=3,函数 t 在[1,2]递减, 且 y=logt 在(0,+∞)递减,
2 可得 y=log(x ﹣6x+10)在[1,2]递增, 2 可得 x=2 时,函数 y 取得最大值 log(2 ﹣12+10)=﹣log32,

故选:C. 【点睛】本题考查复合函数的单调性和应用:求最值,考查二次函数的单调性,以及对数函 数的单调性,考查运算能力,属于中档题. 5.函数 的图象是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据对数函数的性质,求出函数的定义域,再很据复合函数的单调性求出 f(x)的单 调性,问题得以解决. 【详解】因为 x﹣ >0,解得 x>1 或﹣1<x<0, 所以函数 f(x)=ln(x﹣ )的定义域为: (﹣1,0)∪(1,+∞) . 所以选项 A、D 不正确. 当 x∈(﹣1,0)时,g(x)=x﹣ 是增函数, 因为 y=lnx 是增函数,所以函数 f(x)=ln(x+ )是增函数. 故选:B.

【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置; 从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3) 从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象. 6.已知函数 且当 A. -1 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性以及函数的周期性转化求解即可. 【详解】因为 f(x)是奇函数,且周期为 2,所以 f(﹣2 017)+f(2 018)=﹣f(2 017) +f(2 018)=﹣f(1)+f(0) . 当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1) , 所以 f(﹣2 017)+f(2 018)=﹣1+0=﹣1. 故选:A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性的应用,考查计算能力. 7.若函数 ( A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题先根据导函数在区间(1,2)上有零点,得到 b 的取值范围,再利用 b 的取值范围,求 出函数的单调增区间,结合 b 的取值范围,选择符合题意的选项. 【详解】∵函数 ∴ ∵函数 的导函数在区间(1,2)上有零点 ) B. D. 的导函数在区间 上有零点,则 在下列区间上单调递增的是 是定义在 时, B. -2 C. 2 上的奇函数,若对于任意的实数 ,则 D. 1 的值为( ) ,都有 ,

∴当

2 时,b=x ,x∈(1,2)

∴b∈(1,4) 令 f'(x)>0 得到 即 f(x)的单调增区间为(﹣∞, ∵b∈(1,4) ∴(﹣∞,﹣2)适合题意 故选:D. 【点睛】本题在研究了 b 的取值范围后,得到了函数 f(x)的单调增区间,在选择选项时, 要注意选择恒成立的选项. 8.已知 时,有( A. C. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数 h(x)=xf(x) ,根据函数的单调性判断即可. 【详解】不妨设 h(x)=xf(x) ,则 h′(x)=f(x)+xf′(x) . ∵当 x>0,有 , 为 ) B. D. 上的可导函数, 且有 , 则对于任意的 , 当 ) , ( )

∴当 x>0 时,xf′(x)+f(x)>0,即 h′(x)>0,此时函数 h(x)单调递增, 则对于任意的 a,b∈(0,+∞) ,当 a>b 时,则 g(a)>g(b) ,即 af(a)>bf(b) , 故选:B. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道基础题.

9.

(

)

A. 【答案】C 【解析】

B.

C.

D.

试题分析:

,故选 C.

考点:定积分. 10.已知函数 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两角差的正弦函数化简函数 f(x)= sinx﹣cosx 为一个角的一个三角函数的形式,根 据 f(x)≥1,求出 x 的范围即可. 【详解】函数 f(x)= sinx﹣cosx=2sin(x﹣ ) ,因为 f(x)≥1,所以 2sin(x﹣ )≥1, 所以, 所以 f(x)≥1,则 x 的取值范围为:{x|2kπ+ ≤x≤2kπ+π,k∈Z} 故选:B. 【点睛】本题是基础题,考查三角函数的化简,三角函数不等式的解法,考查计算能力,常 考题型. 11.已知 的内角 ) C. D. 对的边分别为 , ,当内角 最大时, ,若 ,则 的取值范围是( )

的面积等于 ( A. 【答案】A 【解析】 B.

分析:已知等式利用正弦定理化简,得到关系式,利用余弦定理表示出 整理后代入,利用基本不等式求出 的最小值即可求出三角形的面积.

,把得出关系式

详解:已知等式利用正弦定理化简得: , 所以

,两边平方得: , 所以

,即

,当且仅当 取等号,此时 ,则 A. ,则 的最小值为

,即



,此时 C 最大,且 ,故选

的面积

点睛:1.本题是一道求三角形面积的题目,回顾正余弦定理及三角函数的相关知识,想一想 如何进行求解;2.联系已知条件,分析出求面积的关键量是谁;3.由正弦定理及已知条件找 出关系,再依据余弦定理及不等式的相关性质即可求出相应的量;4.最后应用面积公式求得 结果. 12.已知函数 ,则 ( ) 的部分图象如图所示,如果 ,且

A.

B.

C.

D. 1

【答案】B

【解析】 【分析】 通过函数的图象求出函数的周期, 利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相, 得到函数 的解析式,利用函数的图象与函数的对称性求出 f(x1+x2)即可. 【详解】由图知,T=2× =π, ) ,0=sin(﹣ +?)

∴ω =2,因为函数的图象经过(﹣ ∵ ∴ 所以 故选:B. ,所以 ?= , , .



【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法,函数的图象的应用,函数的对称性,考查计算 能力.

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上)
13.已知命题 关于 的不等式 的定义域为 ,若 【答案】 【解析】 由题意得,命题 为真命题可解得 命题 中, 函数 因为 所以 位真命题, 或 , 时不成立, 则 , 解得 , 为真, 的解集为 ,命题 :函数

为假,求实数 的取值范围。

的定义域为 , 当

为假命题,额命题 和 必然一真一假, ,解得 或 ,

所以实数的取值范围是 14.已知函数 ________.



. 时, ,则

是定义在 上的周期为 2 的奇函数,当

【答案】-2 【解析】 【分析】 根据题意,由函数的周期性与奇偶性可得 f(﹣1)=f(1)且 f(﹣1)=﹣f(1) ,分析可得 f(1)的值,进而分析可得 f(﹣ )=﹣f( )=﹣f( ) ,由函数的解析式计算可得答案. 【详解】根据题意,函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数, 则有 f(﹣1)=f(1)且 f(﹣1)=﹣f(1) , 即 f(1)=﹣f(1) ,则 f(1)=0, f(﹣ )=﹣f( )=﹣f( )=﹣( )=﹣2, 则 f(﹣ )+f(1)=﹣2+0=﹣2; 故答案为:﹣2. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性,注意求出 f(1)的值,属于中档题. 15.已知函数 【答案】 【解析】 【分析】 利用参数分类法,转化求函数的最值问题,构造函数求函数的导数,利用导数法进行求解即 可.
2 【详解】若 f(x)<x 在(1,+∞)上恒成立,

,若



上恒成立,则实数的取值范围是________.

则等价为 lnx﹣a<x 在(1,+∞)上恒成立, 即 lnx﹣x <a 在(1,+∞)上恒成立, 设 h(x)=lnx﹣x , 则 h′(x)= ﹣2x= ,
2 2

2

当 x≥1 时,h′(x)<0,即 h(x)在[1,+∞)上为减函数, 则当 x>1 时,h(x)<h(1)=1﹣2=﹣1, 则 a≥﹣1, 故答案为: .

【点睛】 本题主要考查不等式恒成立问题, 利用参数分离法以及构造法是解决本题的关键. 综

合性较强. 16.设函数 则函数 【答案】 【解析】 【分析】 化简函数解析式可得 f(x)=2sin(ωx+φ+ ) ,由最小正周期为 π ,可求 ω ,由 f(﹣x) =f(x) ,且|φ|< ,可解得 φ ,由 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,可解得函数 f(x)的单调增区间. 【详解】∵f(x)=sin(ωx+φ)+ cos(ωx+φ)=2sin[(ωx+φ)+ ]=2sin(ωx+φ+ ) ,最小 正周期为 π , ∴ω= =2, ∵f(﹣x)=f(x) , ∴可得:φ + =kπ+ ,k∈Z, ∵|φ|< , ∴解得:φ = , ∴f(x)=2cos2x, ∴由 2kπ ﹣π ≤2x≤2kπ,k∈Z,可解得:kπ ﹣ ≤x≤kπ,k∈Z 故答案为:[kπ﹣ ,kπ],k∈Z. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,正弦函数的图象和性质,考查 了三角函数周期公式的应用,属于基本知识的考查. 的单调增区间为______________. 的最小正周期为 , 且满足 ,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)
17.已知函数 (1)若函数 (2)若函数 【答案】 (1) . 的图象与 轴无交点,求的取值范围; 在 上存在零点,求的取值范围. .

; (2)

【解析】 【分析】 (1)由题意可得方程 f(x)=0 的根的判别式△ <0,解不等式即可得到范围; (2)求出二次函数的对称轴方程,判断 f(x)在[﹣1,1]的单调性,再由零点的定义可得 f(1)≤0,f(﹣1)≥0,解不等式即可得到所求范围. 【详解】(1)若函数 y=f(x)的图象与 x 轴无交点, 则方程 f(x)=0 的根的判别式 Δ <0,即 16-4(a+3)<0, 解得 a>1. 故 a 的取值范围为 a>1. (2)因为函数 f(x)=x2-4x+a+3 图象的对称轴是 x=2, 所以 y=f(x)在[-1,1]上是减函数. 又 y=f(x)在[-1,1]上存在零点, 所以 ,即 ,

解得-8≤a≤0. 故实数 a 的取值范围为-8≤a≤0. 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质, 主要是单调性的判断和应用, 考查不等式的解法, 以及运算能力,属于中档题. 18.已知 (I)当 (II)若 . 时,判断 在 在定义域上的单调性;

(e 是自然对数的底)上的最小值为 ,求的值. 在定义域上单调递增.(Ⅱ)

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

试题分析: (Ⅰ)根据

时,

恒成立,作出结论:

在定义域上单调递增.

(Ⅱ)利用导数求函数的最值,往往遵循“求导数、求驻点、讨论极值、计算区间端点函数 值、比较大小”等步骤.本题中,要注意讨论 试题解析:由题意得 (Ⅰ)显然,当 时, ,所以定义域为 恒成立, , , ,且 , , .3分 ,等多种情况.

在定义域上单调递增. 5 分

(Ⅱ)当 所以 即 当 当 若 若 若 当 时, ,则 时, 时, 在

时,由(1),得 上的最小值为 (与 显然在

在定义域上单调递增, , 矛盾,舍). 7 分 上单调递增,最小值为 0,不合题意; 8 分 ,

,则 . ,则 ,

,

单调递减,

单调递增. (舍) ;



时,

(满足题意) ;

当 综上所述

时, . 13 分

(舍) ; 12 分

考点:1.应用导数研究函数的单调性、极(最)值;2.转化与化归思想. 19. 的内角 的对边分别为 ,已知 .

(1)求 ; (2)若 , 的面积为 (2) ,求 的周长.

【答案】 (1) 【解析】

分析: (1)利用正弦定理,化边为角,化简三角恒等式即可 (2)用余弦定理求解 的大小 , .

详解: : (1)由已知及正弦定理得, 即 可得 ,所以 .故 . .

(2)由已知,



,所以

. . . .

由已知及余弦定理得, 故 所以 ,从而 的周长为

点睛:化简三角恒等式的关键是“统一形式”, 正弦定理,余弦定理都能实现边角之间的转 换,这为解题提供了灵活性。在三角形中已知三角或三边的组合条件(至少已知三个量)解 三角形,要灵活应用正弦定理,余弦定理。 20.函数 的部分图象如图所示.

(1)求 (2)在

的解析式,并求函数 中, ; (2) .



上的值域; ,求 .

【答案】 (1) 【解析】 【分析】

(1)由函数图象可得周期,进而由周期公式可得 ω 值,代点( ,2)可得 φ 值,可得解 析式,再由 x∈[﹣ , ]和三角函数的值域可得; (2)由(1)的解析式和三角形的知识可得 A= ,由余弦定理可得 BC,再由余弦定理可得 cosB,进而可得 sinB,代入 sin2B=2sinBcosB,计算可得. 【详解】 (1)由函数图象可知函数的周期 T 满足 T= 解得 T=π ,∴ω= = =2,故 f(x)=2sin(2x+φ) , 又函数图象经过点( ,2) ,故 2sin(2× +φ)=2, 故 sin( +φ )=1,结合 0<φ<π 可得 φ = , 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ ) , 由 x∈[﹣ , ]可得 2x+ ∈[0, ], ﹣ = ,

∴sin(2x+ )∈[0,1],∴2sin(2x+ )∈[0,2], 故函数的值域为[0,2]; (2)∵在△ ABC 中,AB=3,AC=2,f(A)=1, ∴f(A)=2sin(2A+ )=1,即 sin(2A+ )= , 结合三角形内角的范围可得 2A+ = ,A= ,
2 2 2 3× 2× ,BC= , 由余弦定理可得 BC =3 +2 ﹣2×

∴cosB=

= ,故 sinB=

= ,

∴sin2B=2sinBcosB=2× × = 【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质,涉及正余弦定理解三角形以及三角函数的值域, 属于中档题. 21.已知函数 (1)若 (2)若 在 在 . 上单调递增,求的取值范围; 内有极小值 ,求的值. ; (2) .

【答案】 (1) 【解析】 【分析】

(1)由于 f(x)在(2,+∞)上单调递增,可得
2

在(2,+∞)恒成

立,即 x ﹣(a+1)x+a≥0 在(2,+∞)恒成立,通过分离参数即可得出; (2)f(x)定义域为(0,+∞) , 关系分类讨论,研究函数是否在(0,e)内有极小值 ,即可. 【详解】(1)∵f(x)在(2,+∞)上单调递增, 在(2,+∞)上恒成立, 即 x2-(a+1)x+a≥0 在(2,+∞)上恒成立, 即(1-x)a+x2-x≥0 在(2,+∞)上恒成立, 即(1-x)a≥x-x2 在(2,+∞)上恒成立, .通过对 a 与 1 的大小

即 a≤x 在(2,+∞)上恒成立. ∴实数 a 的取值范围是(-∞,2]. (2)f(x)的定义域为(0,+∞),

①当 a>1 时,令 f′(x)>0,结合 f(x)定义域解得 0<x<1 或 x>a, ∴f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增,在(1,a)上单调递减, 此时 f(x)极小值=f(a)=- a2-a+aln a, 若 f(x)在(0,e)内有极小值 ,则 1<a<e, 但此时- a -a+aln a<0 与 f(x)= 矛盾. ②当 a=1 时,此时 f′(x)恒大于等于 0,不可能有极小值. ③当 a<1 时,不论 a 是否大于 0,f(x)的极小值只能是 f(1)=- -a, 令 - -a= ,即 a=-1,满足 a<1. 综上所述,a=-1. 【点睛】 本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值, 属于中档题. 求函数 极值的步骤:(1) 确定函数的定义域;(2) 求导数 的所有根;(4) 列表检查 那么 在 ;(3) 解方程 求出函数定义域内
2

的根 左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减) , 在 处取极小值. (5)如果

在 处取极大值,如果左负右正(左减右增) ,那么

只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值. 22.在直角坐标系 中,以原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知直线的

参数方程为

(为参数) ,曲线 的极坐标方程为

,直线与曲线 交



两点,与 轴交于点 .

(1)求直线的普通方程和曲线 的直角坐标方程; (2)求 【答案】 (1) 【解析】 【试题分析】 (1)分别运用代入消元法消去参数和极坐标与直角坐标之间的互化公式求解; 的值. ; (2) 。

(2) 将直线的参数方程

(为参数)代入曲线 的直角坐标方程





,依据参数的几何意义直接求解:

解: (1)消去参数,把直线的参数方程

(为参数)化为普通方程得



曲线 的极坐标方程 ∴曲线 的直角坐标方程是 即 .

可化为 ,



(2)∵直线与曲线 交于

两点,与 轴交于点 ,

把直线的参数方程

(为参数)代入曲线 的直角坐标方程



得 ∴

, . .

依据参数的几何意义得


相关文档

陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考数学(理)试题 含解析
陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考数学(理)试题+Word版含解析
陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考数学(理)试题 含答案
陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考数学(理)----精校解析 Word版
陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考数学(理)试题及答案
陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考数学(理)试题Word版含答案
陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考数学(理)试题 Word版含答案
2019届陕西省西安市远东一中高三10月月考数学(理)试题含答案
陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考数学(理)试题
2019届陕西省西安市远东第一中学高三10月月考数学(理)试题(解析版)
电脑版