高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 第9课时 复数的几何意义课件 新人教B版选修12_图文

目标导航 (1)了解复数的几何意义; (2)理解复数的模的概念,会求复数的模.

1 新知识·预习探究 知识点一 复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实 轴,y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的 点都表示纯虚数.如图,点 A(-2,0)表示实数-2,点 B(0,1)表示纯 虚数 i,点 C(1,2)表示复数 z=1+2i 等.

讲重点 对虚轴及原点的理解 ①y 轴是虚轴,则原点 O(0,0)必然在虚轴上.但此点表示的复 数为实数,即 z=0,因此虚轴上的点并不都表示纯虚数,同时认为 “原点不在虚轴上”的观点是错误的.②复平面内的纵坐标轴上的 单位长度是 1,而非 i.

知识点二 复数的几何意义 每一个复数,在复平面内都有唯一的点和它对应;反过来,复 平面内的每一个点,都有唯一的一个复数和它对应.即复数集 C 和 复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的.这是复数的一种几 何意义. 复平面内的点 Z 表示复数 z=a+bi(a,b∈R),连结 OZ,向量 O→Z由点 Z 唯一确定;反过来,点 Z 也可以由向量O→Z唯一确定.这 样,复数集 C 和复平面内的向量O→Z所组成的集合也是一一对应的 (实数 0 与零向量对应),这是复数的另一种几何意义. 我们常把复数 z=a+bi(a,b∈R)说成点 Z 或向量O→Z,并规定 相等的向量表示同一个复数.

复数 z=a+bi(a,b∈R)(复数的代数形式)、点 Z(a,b)(复数的 几何形式)及向量O→Z(复数的向量形式)三者的关系如下:
这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复 数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决 (即数形结合),增加了解决复数问题的途径.

知识点三 复数的模 向量O→Z的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+ bi|.特别地,如果 b=0,那么 z=a+bi 是实数 a,它的模等于|a|(即 实数 a 的绝对值).由模的定义知:|z|=|a+bi|=r= a2+b2(r≥0, r∈R). 模的几何意义:复数的模表示向量O→Z的长度|O→Z|,也就是复平 面内的点 Z 到原点的距离.

2 新视点·名师博客 类型一 复平面内的点与复数的关系 【例 1】 当实数 m 为何值时,复数 z=(m2-8m+15)+(m2+ 3m-28)i 在复平面内的对应点(1)位于第四象限;(2)位于 x 轴负半 轴上;(3)在上半平面(含实轴).

解析:(1)要使点位于第四象限,需

??m2-8m+15>0 ???m2+3m-28<0,

∴?????m-<7<3或mm<>4,5

∴-7<m<3.

(2)要使点位于 x 轴负半轴上,

需?????mm22- +83mm+ -1258< =00, ∴?????3m<=m-<75或m=4,

∴m=4.

(3)要使点位于上半平面(含实轴),即 m2+3m-28≥0,

解得 m≥4 或 m≤-7.

点评 确定复数对应的点在复平面内的位置时,关键是理解好复数与 该点的对应关系,复数的实部就是该点的横坐标,复数的虚部就是 该点的纵坐标,据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过 解方程或不等式求解.

变式训练 1 (1)复数 z=i2sinπ3+icos43π对应的点在复平面内的
(C) A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限 (2)若复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 在复平面内对应的点 位于虚轴上,则实数 m 的取值集合为_{_-__1_,2_}.

解析:(1)z=i2sinπ3+icos43π=- 23-12i,

?
在复平面内对应的点为?-
?

23,-12???,在第三象限.

(2)因为复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 在复平面内对应的

点位于虚轴上,所以 m2-m-2=0,解得 m=2 或 m=-1.

类型二 复平面内复数与向量的关系 【例 2】 在复平面内,复数 i,1,4+2i 对应的点分别为 A,B, C.求平行四边形 ABCD 的 D 点所对应的复数.

解析:方法一:由已知 A(0,1),B(1,0),C(4,2),则 AC 的中点

坐标为 E???2,23???.由平行四边形的性质可知,E 也是 BD 的中点.

设 D(x,y),则?????xy+ +22 10= =232,

∴?????xy= =33. 即 D(3,3).

∴D 点对应的复数为 3+3i.

方法二:由已知可得:O→A=(0,1),O→B=(1,0),O→C=(4,2),

∴B→A=(-1,1),B→C=(3,2),∴B→D=B→A+B→C=(2,3),

∴O→D=O→B+B→D=(3,3),∴点 D 对应的复数为 3+3i.

点评 根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原 点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应 的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的 向量.

变式训练 2 (1)向量O→A对应的复数为 1+4i,向量O→B对应的 复数为-3+6i,则向量O→A+O→B对应的复数为( B )
A.-3+2i B.-2+10i C.4-2i D.-12i (2)复数 4+3i 与-2-5i 分别表示向量O→A与O→B,则向量A→B表 示的复数是__-__6_-__8_i__.

解析:(1)向量O→A对应的复数为 1+4i,向量O→B对应的复数为 -3+6i,
所以O→A=(1,4),O→B=(-3,6), 所以O→A+O→B=(1,4)+(-3,6)=(-2,10), 所以向量O→A+O→B对应的复数为-2+10i. (2)因为复数 4+3i 与-2-5i 分别表示向量O→A与O→B,所以O→A= (4,3),O→B=(-2,-5),又A→B=O→B-O→A=(-2,-5)-(4,3)=(-6, -8),所以向量A→B表示的复数是-6-8i.

类型三 复数模的计算与几何意义的应用

【例 3】 (1)设复数 z=(x+1)+(x-3)i,x∈R,则|z|的最小值

为( )

A.1

B.2

C.2 2

D.4

(2)已知复数 z1=x2+ x2+1i,z2=(x2+a)i,对于任意 x∈R 均 有|z1|>|z2|成立,试求实数 a 的取值范围.

解析:(1)据条件可得 |z|= ?x+1?2+?x-3?2= 2x2-4x+10 = 2?x2-2x+1?+8= 2?x-1?2+8≥2 2, 即|z|的最小值为 2 2. (2)因为|z1|>|z2|,所以 x4+x2+1>(x2+a)2, 所以(1-2a)x2+(1-a2)>0 对 x∈R 恒成立. 当 1-2a=0,即 a=12时,不等式成立;
当 1-2a≠0,即 a≠12时,需?????1--42?1a->20a??1-a2?<0,
所以-1<a<12,综上,a∈???-1,12???.

点评 求解关于复数模最值问题的两种方法 (1)将 z=x+yi(x,y∈R)直接代入所要求的式子中去,把所要求 的模用 x,y 的函数表示出来,转化为函数最值问题. (2)因为复数和图形有着密切的关系,可以利用这种关系把所给 条件转化为图形直观地求出最大值和最小值.

变式训练 3 图形?
(1)|z|=4. (2)2<|z|<4.

设 z∈C,满足下列条件的点的集合分别是什么

解析:(1)复数 z 的模等于 4,就是说,向量O→Z的模等于 4,所 以满足条件|z|=4 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 4 为半径的 圆.

(2)2<|z|<4 可化为不等式组?????||zz||<>42,. 不等式|z|<4 的解集是圆|z|=4 内部所有的点组成的集合, 不等式|z|>2 的解集是圆|z|=2 外部所有的点组成的集合,
这两个集合的交集就是不等式组?????||zz||<>42 所表示的集合.容易 看出,点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 2 及 4 为半径的圆所夹的 圆环,但不包括圆环的边界.


相关文档

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入第9课时复数的几何意义课件新人教b选修1_2
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入第9课时复数的几何意义检测新人教B版选修12
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入第9课时复数的几何意义课件新人教A版选修1-2
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 第2课时 复数的几何意义课件 新人教B版选修12
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义课件 新人教A版选修12
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 1.2 复数的几何意义课件 新人教B版选修12
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.13.1.2 复数的几何意义课件 新人教A版选修12
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2复数的几何意义同步课件 新人教A版选修12
电脑版