江苏省无锡市第一中学2018-2019学年第二学期期中试卷高二数学(理)(解析版)

江苏省无锡市第一中学 2018-2019 学年第二学期期中试卷 高二数学(理) 一、填空题(本大题共 14 小题,共 70.0 分) 1. 复数 z=1-2i 的模为______. 2. =______. 3. 复数 的实部为______. 4. 若正整数 x 满足方程 ,则 x=______. 5. 如果用反证法证明命题“设 a,b∈R,则方程 x2+ax+a-1=0 至少有一个实根”,那么首 先假设______ 6. 从甲、乙、丙、丁这 4 名学生中随机选派 2 人参加植树活动,则甲、乙两人中恰有 一人被选中,共有______中不同的方案.(用数字作答) 7. (x-2y)5 的展开式中第四项的二项系数为______.(用数字作答) 8. 甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影,排成一排,甲老师在正中间且甲乙教 师相邻的排法共有______种.(用数字作答) 9. 已知复数 z 满足|z-2i|≤1,则|z|的最大值为______. 10. 观察下列算式,猜想第 n(n∈N*)行的表达式为______. 11. 二项式 > , > , ∈ 展开式中,设“所有二项式系数和”为 A,“所 有项的系数和”为 B,“常数项”的值为 C,若 A=B=256,C=70,则展开式中含 x-2 的 项为______. 12. 如果有关三位正整数形如“a1a2a3”,满足 a1>a2 且 a2<a3,则称这样的三位数为凹 数(102,312,989 等),那么在三位正整数中,所有的凹数个数为______.(用 数字作答) 13. 设椭圆 > > 的两个焦点为 F1,F2,P 为椭圆上异于长轴端点的任意 一点,在△PF1F2 中,记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ,则有______. 14. 已知非空集合 M 满足 M?{0,1,2,…n}(n≥2,n∈N+).若存在非负整数 k(k≤n), 使得当 a∈M 时,均有 2k-a∈M,则称集合 M 具有性质 P.设具有性质 P 的集合 M 的个数为 f(n),求 f(9)-f(8)的值为______. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90.0 分) 15. 设复数 z1=1-ai(a∈R),复数 z2=3+4i. (1)若 ∈ ,求实数 a 的值; (2)若 是纯虚数,求|z1|. 第 1 页,共 13 页 16. (1)设 a,b 是两个不相等的正数,且 2a+b=1,试用分析法证明: ; (2)若 a,b 都是有理数,且 ,求 a,b 的值. 17. 二项式 (1)当 a=b=1,n=6 时, 求①a1+a2+a3+…+an 的值; ②a1+2a2+3a3+…+nan 的值; (2)当 , , 的值. 时,求 ,∈ ,∈ . 18. 现有 4 个不同的球,和 4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种不同的方法? (2)若没个盒子不空,共有多少种不同的方法? (3)若恰有一个盒子不放球,共有多少种放法? (4)若恰有两个盒子不放球,共有多少种放法? 19. 在杨辉三角形中,从第 3 行考试,除 1 以外,其它没一个数值是它肩上的两个数之 和,这三角形数阵开头几行如右图所示. (1)证明: ; (2)求证:第 m 斜列中(从右上到左下)的前 K 个数之和一定等于第 m+1 斜列中 的第 K 个数,即 ,,∈ (3)在杨辉三角形中是否存在某一行,该行中三个相邻的数之比为 3:8:14?若 存在,试求出这三个数;若不存在,请说明理由. 第 2 页,共 13 页 20. 正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 对于任意的 n∈N*均为成立. (1)求 a1,a2,a3; (2)猜想数列{an}的通项公式并证明; (3)比较 与 的大小并给出证明. 第 3 页,共 13 页 1.【答案】 【解析】 解:∵z=1-2i, ∴|z|= . 答案和解析 故答案为: . 直接利用复数模的计算公式求解. 本题考查复数模的求法,是基础题. 2.【答案】195 【解析】 解: =7×6×5-C =210- =210-15=195, 故答案为:195 根据排列数和组合数公式进行计算即可. 本题主要考查排列组合数公式的计算,结合排列组合数公式是解决本题的关 键. 3.【答案】 【解析】 解:∵ = , ∴复数 的实部为 , 故答案为: . 直接利用复数代数形式的乘除运算得答案. 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 4.【答案】2 【解析】 解:由 ,得 x=2x+3 或 x+2x+3=9, 得 x=-3(舍),或 x=2, 故答案为:2 根据组合数公式建立方程进行求解即可. 第 4 页,共 13 页 本题主要考查组合数公式的应用,结合组合数的性质建立方程是解决本题的 关键. 5.【答案】方程 x2+ax+a-1=0 没有实数根 【解析】 解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定, ∴用反证法证明命题“设 a,b∈R,则方程 x2+ax+a-1=0 至少有一个实根”时,要 做的假设是方程 x2+ax+a-1=0 没有实数根. 故答案为:方程 x2+ax+a-1=0 没有实数根 直接利用命题的否定写出假设即可. 本题考查反证法证明问题的步骤,基本知识的考查. 6.【答案】4 【解析】 解:甲、乙两人中恰有 1 人,则从甲乙两人中选 1 人,再从丙、丁两人中选 1 人, 故有 C21C21=4 种, 故答案为:4. 甲、乙两人中恰有 1 人,则从甲乙两人中选 1 人,再从丙、丁两人中选 1 人,问 题得以解决. 本题考查了组合问题,属于基础题. 7.【答案】10 【解析】 解:第四项的二项式系数为 C53=10, 故答案为:10. 根据二项式系

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