江苏省2017届高考数学模拟试卷(十)


江苏省 2017 届高考数学模拟试卷(十)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1.已知集合 M={x|﹣1<x<1},N={x| ≤0},则 M∩N= . 象限.

2.复数 z=i?(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于第 3.执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值为 .

4. 在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处, 现随机抽取其中的 200 辆进行车速统 计, 统计结果如下面的频率分布直方图所示. 若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h~ 120km/h,试估计 2000 辆车中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆.

5.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a3+a9=a10﹣a8.若 an=0,则 n= . 6.“a>1”是“函数 f(x)=a?x+cosx 在 R 上单调递增”的 条件. (空格处请填写“充分不必 要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 7.在区间[﹣1,1]上随机取一个数 x,则 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 . .

8.已知正六棱锥 P﹣ABCDEF 的底面边长为 2,侧棱长为 4,则此六棱锥的体积为 9.函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(﹣∞,1]上 y>0 恒成立,则 a 的取值范围是 . 10.已知 F 是椭圆 C1: 二、四象限的公共点.若

+y2=1 与双曲线 C2 的一个公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第 ? =0,则 C2 的离心率是 .

1

11. AB=1, AD= 平行四边形 ABCD 中, ∠BAD=60°, 若 =λ +μ (λ,μ∈R) ,则 λ+ μ 的最大值为 =

P 为平行四边形内一点, , 且 AP= . =



12.已知△ABC,若存在△A1B1C1,满足

=1,则称△A1B1C1 是

△ABC 的一个“友好”三角形,若等腰△ABC 存在“友好”三角形,则其底角的弧度数为 . 13.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=|x﹣a|﹣a(a∈R) .若 ? x∈R,f(x+2016)>f(x) ,则实数 a 的取值范围是 . 2 14.若函数 f(x)=x +mx+n(m,n∈R)在[﹣1,1]上存在零点,且 0≤n﹣2m<1,则 n 的取值范围是 . 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AC=BC,M,N 分别是棱 CC1, AB 的中点. (1)求证:CN⊥平面 ABB1A1; (2)求证:CN∥平面 AMB1.

16.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=btanA,且 B 为钝角. (Ⅰ)证明:B﹣A= ;

(Ⅱ)求 sinA+sinC 的取值范围. 17.某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 30km(忽略内、外环线长度 差异) . (1)当 9 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 10min,求内环 线列车的最小平均速度; (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25km/h,外环线列车平均速度为 30km/h.现 内、外环线共有 18 列列车全部投入运行,问:要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最 短,则内、外环线应各投入几列列车运行? 18. 如图, 曲线 Γ 由两个椭圆 T1: 和椭圆 T2:

组成,当 a,b,c 成等比数列时,称曲线 Γ 为“猫眼曲线”. (1)若猫眼曲线 Γ 过点 ,且 a,b,c 的公比为 ,求猫眼曲线 Γ 的方程;

2

(2)对于题(1)中的求猫眼曲线 Γ,任作斜率为 k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相 交,交椭圆 T1 所得弦的中点为 M,交椭圆 T2 所得弦的中点为 N,求证: 为与 k 无关的

定值; (3)若斜率为 的直线 l 为椭圆 T2 的切线,且交椭圆 T1 于点 A,B,N 为椭圆 T1 上的任 意一点(点 N 与点 A,B 不重合) ,求△ABN 面积的最大值.

19.已知两个无穷数列{an},{bn}分别满足



,其中 n∈N*,

设数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn. (1)若数列{an},{bn}都为递增数列,求数列{an},{bn}的通项公式. (2)若数列{cn}满足:存在唯一的正整数 k(k≥2) ,使得 ck<ck﹣1,称数列{cn}为“k 坠点 数列”. ①若数列{an}为“5 坠点数列”,求 Sn. ②若数列{an}为“p 坠点数列”, 数列{bn}为“q 坠点数列”, 是否存在正整数 m, 使得 Sm+1=Tm, 若存在,求 m 的最大值;若不存在,说明理由. 20.已知函数 f(x)= (e 为自然对数的底数) .

(1)若 a= ,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(1)=1,且方程 f(x)=1 在(0,1)内有解,求实数 a 的取值范围. 三、附加题 21.已知矩阵 A= ,B= ,求矩阵 A﹣1B. (t 为参数) .以 Ox 为极轴建立极 .判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

22.在直角坐标系 xOy 内,直线 l 的参数方程为 坐标系,圆 C 的极坐标方程为

23.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库 年入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在 40 以上,

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其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立. (Ⅰ)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 年入流量 X 40<X<80 80≤X≤120 X>120 1 2 3 发电机最多可运行台数 若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 24.设数列{an}(n∈N)为正实数数列,且满足 C aian﹣i=an2.

(1)若 a2=4,写出 a0,a1; (2)判断{an}是否为等比数列?若是,请证明;若不是,请说明理由.

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江苏省 2017 届高考数学模拟试卷(十)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1.已知集合 M={x|﹣1<x<1},N={x| ≤0},则 M∩N= {x|0≤x<1} .

【考点】交集及其运算. 【分析】求出 N 中不等式的解集确定出 N,找出 M 与 N 的交集即可. 【解答】解:由 N 中不等式变形得:x(x﹣1)≤0,且 x﹣1≠0, 解得:0≤x<1,即 N={x|0≤x<1}, ∵M={x|﹣1<x<1}, ∴M∩N={x|0≤x<1}, 故答案为:{x|0≤x<1} 2.复数 z=i?(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于第 二 象限. 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由 i(1+i)=﹣1+i,由此能求出复数 i(1+i)的复数在复平面内对应的点所在的象 限. 【解答】解:∵i(1+i)=i+i2=﹣1+i, ∴i(1+i)即复数为﹣1+i, ∴﹣1+i 在复平面内对应的点(﹣1,1)位于第二象限. 故答案为:二. 3.执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值为 4 .

【考点】程序框图. i 的值, 【分析】 模拟执行程序框图, 依次写出每次循环得到的 m, 当 m=0 时满足条件 m=0, 退出循环,输出 i 的值为 4. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得: m=1,i=1,
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m=1×(2﹣1)+1=2,i=2, 不满足条件 m=0,m=2×(2﹣2)+1=1,i=3, 不满足条件 m=0,m=1×(2﹣3)+1=0,i=4, 满足条件 m=0,退出循环,输出 i 的值为 4. 故答案为:4. 4. 在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处, 现随机抽取其中的 200 辆进行车速统 计, 统计结果如下面的频率分布直方图所示. 若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h~ 120km/h,试估计 2000 辆车中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 1700 辆.

【考点】频率分布直方图. 【分析】 由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率, 由此能估 计 2000 辆车中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆. 【解答】解:由频率分布直方图得: 在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为(0.03+0.035+0.02)×10=0.85, 2000×0.85=1700 ∴估计 2000 辆车中, 在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有: (辆) . 故答案为:1700. 5.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a3+a9=a10﹣a8.若 an=0,则 n= 5 . 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由题意可得 a1=﹣4d,可得 an=(n﹣5)d,令(n﹣5)d=0 解方程可得. 【解答】解:∵a3+a9=a10﹣a8, ∴a1+2d+a1+8d=a1+9d﹣(a1+7d) , 解得 a1=﹣4d ∴an=﹣4d+(n﹣1)d=(n﹣5)d, 令(n﹣5)d=0 可解得 n=5(d≠0) 故答案为:5 6.“a>1”是“函数 f(x)=a?x+cosx 在 R 上单调递增”的 充分不必要条件 条件. (空格处 请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由条件利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断,可得结论. 【解答】解:由“a>1”,可得 f′(x)=1﹣sinx>0,故“函数 f(x)=a?x+cosx 在 R 上单调递 增”,故充分性成立.

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由“函数 f(x)=a?x+cosx 在 R 上单调递增”,可得 f′(x)=1﹣sinx≥0,a≥1,不能得到“a >1”,故必要性不成立, 故答案为:充分不必要条件.

7.在区间[﹣1,1]上随机取一个数 x,则 cos 【考点】等可能事件的概率.

的值介于 0 到 之间的概率为



【分析】本题考查的知识点是几何概型,由于函数 cos

是一个偶函数, 故可研究出 cos

πx 的值介于 0 到 0.5 之间对应线段的长度,再将其代入几何概型计算公式进行求解. 【解答】解:由于函数 cos 数 x,则 cos 是一个偶函数,可将问题转化为在区间[0,1]上随机取一个

的值介于 0 到 之间的概率

在区间[0,1]上随机取一个数 x, 即 x∈[0,1]时,要使 cos πx 的值介于 0 到 0.5 之间, 需使 ≤ πx≤

∴ ≤x≤1,区间长度为 , 由几何概型知 cos πx 的值介于 0 到 0.5 之间的概率为 . 故答案为: .

8.已知正六棱锥 P﹣ABCDEF 的底面边长为 2,侧棱长为 4,则此六棱锥的体积为 12 . 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】根据题意,通过正六棱锥的侧棱,求出棱锥的高,即可求出正六棱锥的体积. 【解答】解:P﹣ABCDEF 为正六棱锥,O 是底面正六边形 ABCDEF 的中心. ∵ABCDEF 为正六边形,∴△AOB 为等边三角形. ∴OB=2,侧棱长 PB=4, ∵OP⊥面 ABCDEF, ∴OP 是棱锥的高,PO= 正六棱锥的体积为 V= × 故答案为:12. = = =12. =2 .

7

9.函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(﹣∞,1]上 y>0 恒成立,则 a 的取值范围是 (﹣ ,+∞) . 【考点】指数型复合函数的性质及应用. 【分析】由题设条件可化为∴a>﹣ 在 x∈(﹣∞,1]上恒成立,求出﹣ 在 x∈

(﹣∞,1]上的最大值即可. 【解答】解:由题意,得 1+2x+4xa>0 在 x∈(﹣∞,1]上恒成立, ∴a>﹣ 在 x∈(﹣∞,1]上恒成立.

又∵t=﹣

=﹣( )2x﹣( )x=﹣[( )x+ ]2+ ,

当 x∈(﹣∞,1]时 t 的值域为(﹣∞,﹣ ], ∴a>﹣ ; 即 a 的取值范围是(﹣ ,+∞) ; 故答案为: (﹣ ,+∞) .

10.已知 F 是椭圆 C1: 二、四象限的公共点.若

+y2=1 与双曲线 C2 的一个公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第 ? =0,则 C2 的离心率是 .

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】设设左焦点为 F,右焦点为 F′,再设|AF|=x,|AF′|=y,利用椭圆的定义,四边形 AFBF′为矩形,可求出 x,y 的值,进而可得双曲线的几何量,即可求出双曲线的离心率. 【解答】解:如图,设左焦点为 F,右焦点为 F′, 再设|AF|=x,|AF′|=y, ∵点 A 为椭圆 C1: +y2=1 上的点,2a=4,b=1,c= ;

∴|AF|+|AF′|=2a=4,即 x+y=4;① 又四边形 AFBF′为矩形, ∴|AF|2+|AF′|2=|FF′|2, 即 x2+y2=(2c)2=12,② 联立①②得 ,解得 x=2﹣ ,y=2+ ,

设双曲线 C2 的实轴长为 2a′,焦距为 2c′, 则 2a′=|AF′|﹣|AF|=y﹣x=2 ,2c′=2 ,
8

∴C2 的离心率是 e= 故答案为: .

=



11. AB=1, AD= 平行四边形 ABCD 中, ∠BAD=60°, 若 =λ +μ (λ,μ∈R) ,则 λ+ μ 的最大值为

P 为平行四边形内一点, , 且 AP= .



【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出. =λ +μ 【解答】解: 2 丨 丨 =(λ +μ )2, =λ2 丨 丨 2+μ2 丨 丨 2+2λμ? ? , =λ2 丨 丨 2+μ2 丨 丨 2+2λμ?丨 丨?丨 丨 cos∠BAD, 由∠BAD=60°,AB=1,AD= ∴ =λ2+2μ2+ ∴(λ+ λ+ μ≤ λμ×, λμ≤ +( )2, ,AP= ,

μ)2= + , .

故答案为:

12.已知△ABC,若存在△A1B1C1,满足

=

=

=1,则称△A1B1C1 是

△ABC 的一个“友好”三角形,若等腰△ABC 存在“友好”三角形,则其底角的弧度数为 . 【考点】正弦定理. 【分析】由题意可得 cosA=sinA1,cosB=sinB1,cosC=sinC1,设 B=α=C,则 A=π﹣2α,求 得 A1=2α,可得 tan2α=﹣1,再根据 2α∈(0,π)可得 2α 的值,从而求得 α 的值. 【解答】解:由题意可得等腰△ABC 的三个内角 A、B、C 均为锐角, 且 cosA=sinA1,cosB=sinB1,cosC=sinC1,
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设 B=α=C,则 A=π﹣2α. 由于△A1B1C1 中,A1、B1、C1 不会全是锐角, 否则,有 A+A1= ,B+B1= ,C+C1= ,与三角形内角和矛盾.

故 A1、B1、C1 必有一个钝角,只能是顶角 A1 为钝角,C1 和 B1 均为锐角. 故有 B1= ﹣α,C1= ﹣α,∴A1=2α.

再根据 cosA=sinA1,可得 cos(π﹣2α)=sin2α,即 sin2α+cos2α=0, 即 tan2α=﹣1,再根据 2α∈(0,π)可得 2α= 故答案为: . ,∴α= ,

13.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=|x﹣a|﹣a(a∈R) .若 ? x∈R,f(x+2016)>f(x) ,则实数 a 的取值范围是 a<504 . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】函数 y=f(x+2016)的图象是将 y=f(x)像左平移 2016 个单位得到的,要使任意 的 x∈R,恒有 f(x+2016)>f(x) ,只需 f(x+2016)的图象恒在 f(x)的图象上方,据此 列出关于 a 的不等式解出来即可. 【解答】解:当 a>0,x>0 时,该函数图象过原点,关于 x=a 对称,顶点为(a,﹣a) , 结合该函数还是奇函数,图象关于原点对称. 而函数 y=f(x+2016)的图象是将 y=f(x)像左平移 2016 个单位得到的, 要使任意的 x∈R,恒有 f(x+2016)>f(x) , 只需 f(x+2016)的图象恒在 f(x)的图象上方, 所以只需 y=f(x+2016)与 x 轴最右边的交点在 A(2a﹣2016,0) 在 y=f(x)与 x 轴最左边交点 B(﹣2a,0)的左边, 因此应该有 2a﹣2016<﹣2a,解得 0<a<504. a≤0 时,x>0,f(x)=x,函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(x)=x, ∴? x∈R,f(x+2016)>f(x) , 综上所述,a<504. 故答案为:a<504. 14.若函数 f(x)=x2+mx+n(m,n∈R)在[﹣1,1]上存在零点,且 0≤n﹣2m<1,则 n 的取值范围是 [﹣3,9﹣ ] . 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】把函数 f(x)=x2+mx+n(m,n∈R)在[﹣1,1]上存在零点转化为 f(﹣1)f(1)

≤0 或

,整理后结合 0≤n﹣2m<1 作出可行域,数形结合得答案.

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【解答】解:由题意,f(﹣1)f(1)≤0 或



即(n﹣m+1) (m+n+1)≤0 或



联立

,解得 A(﹣3,﹣2) ,

联立

,解得 B(9﹣4

,4﹣2

) ,

作出可行域 OCAB, 由图可知,n 的取值范围是[﹣3,9﹣ 故答案为:[﹣3,9﹣ ].

].

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AC=BC,M,N 分别是棱 CC1, AB 的中点. (1)求证:CN⊥平面 ABB1A1; (2)求证:CN∥平面 AMB1.

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【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)证明 AA1⊥CN,CN⊥AB,即可证明 CN⊥平面 ABB1A1; (2)设 AB1 的中点为 P,连接 NP、MP,利用三角形中位线的性质,可得线线平行,利用 线面平行的判定,可得 CN∥平面 AMB1. 【解答】证明: (1)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,CN? 平面 ABC, ∴AA1⊥CN, ∵AC=BC,N 是棱 AB 的中点, ∴CN⊥AB, ∵AA1∩AB=A, ∴CN⊥平面 ABB1A1; (2)设 AB1 的中点为 P,连接 NP、MP ∵M、N 分别是棱 CC1、AB 的中点 ∴CM∥ AA1,且 CM= AA1,NP∥ AA1,且 NP= AA1, ∴CM∥NP,CM=NP ∴CNPM 是平行四边形,∴CN∥MP ∵CN?平面 AMB1,MP? 平面 AMB1, ∴CN∥平面 AMB1.

16.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=btanA,且 B 为钝角. (Ⅰ)证明:B﹣A= ;

(Ⅱ)求 sinA+sinC 的取值范围. 【考点】正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)由题意和正弦定理可得 sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得;

12

(Ⅱ)由题意可得 A∈(0,
2

) ,可得 0<sinA<

,化简可得 sinA+sinC=﹣2(sinA﹣ )

+ ,由二次函数区间的最值可得. = = ,

【解答】解: (Ⅰ)由 a=btanA 和正弦定理可得 ∴sinB=cosA,即 sinB=sin( 又 B 为钝角,∴ ∴B= +A∈( ; +A) ,π) ,

+A,∴B﹣A=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C=π﹣(A+B)=π﹣(A+ ∴A∈(0, ) ,∴sinA+sinC=sinA+sin(

+A)= ﹣2A)

﹣2A>0,

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A =﹣2(sinA﹣ )2+ , ∵A∈(0, ) ,∴0<sinA< ,

∴由二次函数可知

<﹣2(sinA﹣ )2+ ≤ , ]

∴sinA+sinC 的取值范围为(

17.某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 30km(忽略内、外环线长度 差异) . (1)当 9 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 10min,求内环 线列车的最小平均速度; (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25km/h,外环线列车平均速度为 30km/h.现 内、外环线共有 18 列列车全部投入运行,问:要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最 短,则内、外环线应各投入几列列车运行? 【考点】根据实际问题选择函数类型. 【分析】 (1)设内环线列车的平均速度为 v 千米/小时,根据内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,可得 ×60≤10,从而可求内环线列车的最小平均速度;

(2)设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入(18﹣x)列列车运行,分别求出内、外环 线乘客最长候车时间 t1= ×60= ,t2= ×60= .t=|t1﹣

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t2|= 求得结论.

在(0,9)递减,在(10,17)递增,即可

【解答】解: (1)设内环线列车运行的平均速度为 v km/h,由题意可知

×60≤10,所以

v≥20. 所以,要使内环线乘客最长候车时间为 10 min,列车的最小平均速度是 20 km/h. (2)设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入(18﹣x)列列车运行, 内、外环线乘客最长候车时间分别为 t1、t2 min, 则 t1= ×60= ,t2= ×60= .

于是有 t=|t1﹣t2|= 在(0,9)递减,在(10,17)递增. 又 t(9)>t(10) ,所以 x=10, 所以当内环线投入 10 列,外环线投入 8 列列车运行时,内、外环线乘客最长候车时间之差 最短.

18. 如图, 曲线 Γ 由两个椭圆 T1:

和椭圆 T2:

组成,当 a,b,c 成等比数列时,称曲线 Γ 为“猫眼曲线”. (1)若猫眼曲线 Γ 过点 ,且 a,b,c 的公比为 ,求猫眼曲线 Γ 的方程;

(2)对于题(1)中的求猫眼曲线 Γ,任作斜率为 k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相 交,交椭圆 T1 所得弦的中点为 M,交椭圆 T2 所得弦的中点为 N,求证: 为与 k 无关的

定值; (3)若斜率为 的直线 l 为椭圆 T2 的切线,且交椭圆 T1 于点 A,B,N 为椭圆 T1 上的任 意一点(点 N 与点 A,B 不重合) ,求△ABN 面积的最大值.

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【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由题意知 , = = ,从而求猫眼曲线 Γ 的方程;

(2)设交点 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,从而可得 化简可得 ,k?kON=﹣2;从而解得; ,联立方程化简 ,从而可得 可得

,联立方程

(3)设直线 l 的方程为

,同理

,从而利用两平行线间距离表示三角形的高,再求

;从而求最大面积.

【解答】解: (1)由题意知, ∴a=2,c=1, ∴ ,∴



= =





(2)证明:设斜率为 k 的直线交椭圆 T1 于点 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,线段 CD 中点 M (x0,y0) , ∴ ,







∵k 存在且 k≠0, ∴x1≠x2,且 x0≠0, ∴ ,





同理,k?kON=﹣2; ∴ ; ,

(3)设直线 l 的方程为

15

联立方程得



化简得, 由△=0 化简得 m2=b2+2c2, ,



联立方程得



化简得 由△=0 得 m2=b2+2a2, ,



两平行线间距离:







∴△ABN 的面积最大值为



19.已知两个无穷数列{an},{bn}分别满足



,其中 n∈N*,

设数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn. (1)若数列{an},{bn}都为递增数列,求数列{an},{bn}的通项公式. (2)若数列{cn}满足:存在唯一的正整数 k(k≥2) ,使得 ck<ck﹣1,称数列{cn}为“k 坠点 数列”. ①若数列{an}为“5 坠点数列”,求 Sn. ②若数列{an}为“p 坠点数列”, 数列{bn}为“q 坠点数列”, 是否存在正整数 m, 使得 Sm+1=Tm, 若存在,求 m 的最大值;若不存在,说明理由. 【考点】数列递推式;数列的求和. 【分析】 (1)由两数列为递增数列,结合递推式可得 an+1﹣an=2,b2=﹣2b1,bn+2=2bn+1,n ∈N*,由此可得数列{an}为等差数列,数列{bn}从第二项起构成等比数列,然后利用等差数 列和等比数列的通项公式求得答案;

16

(2)①根据题目条件判断:数列{an}必为 1,3,5,7,5,7,9,11,…,即前 4 项为首 项为 1, 公差为 2 的等差数列, 从第 5 项开始为首项 5, 公差为 2 的等差数列, 求解 Sn 即可. ②运用数列{bn}为“坠点数列”且 b1=﹣1,综合判断数列{bn}中有且只有两个负项.假设存 在正整数 m,使得 Sm+1=Tm,显然 m≠1,且 Tm 为奇数,而{an}中各项均为奇数,可得 m 必为偶数. 再运用不等式证明 m≤6,求出数列即可. 【解答】解: (1)∵数列{an},{bn}都为递增数列, ∴由递推式可得 an+1﹣an=2,b2=﹣2b1,bn+2=2bn+1,n∈N*, 则数列{an}为等差数列,数列{bn}从第二项起构成等比数列. ∴an=2n﹣1, ;

(2)①∵数列{an}满足:存在唯一的正整数 k=5,使得 ak<ak﹣1,且|an+1﹣an|=2, ∴数列{an}必为 1,3,5,7,5,7,9,11,…,即前 4 项为首项为 1,公差为 2 的等差数列, 从第 5 项开始为首项 5,公差为 2 的等差数列, 故 ;

②∵

,即 bn+1=±2bn,

∴|bn|=2n﹣1, 而数列{bn}为“坠点数列”且 b1=﹣1, ∴数列{bn}中有且只有两个负项. 假设存在正整数 m,使得 Sm+1=Tm,显然 m≠1,且 Tm 为奇数,而{an}中各项均为奇数, ∴m 必为偶数. 首先证明:m≤6. 若 m>7,数列{an}中(Sm+1)max=1+3+…+(2m+1)=(m+1)2, 而数列{bn}中,bm 必然为正,否则
﹣1

≤﹣1+21+…+2m﹣2+(﹣2m

)=﹣3<0,显然矛盾; =2m﹣1﹣3. , , 0(m>7) ,

∴ 设 设 而

∴{dm}(m>7)为增数列,且 d7>0,则{cm}(m>7)为增数列,而 c8>0, ∴(Tm)min>(Sm)max, 即 m≤6. 当 m=6 时,构造:{an}为 1,3,1,3,5,7,9,…,{bn}为﹣1,2,4,8,﹣16,32,64,… 此时 p=2,q=4. ∴mmax=6,对应的 p=2,q=4.
17

20.已知函数 f(x)=

(e 为自然对数的底数) .

(1)若 a= ,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(1)=1,且方程 f(x)=1 在(0,1)内有解,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)若 a= ,求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数 f(x) 的单调区间; (2)根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题,构造函数,求函数的导数,利 用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可. 【解答】解: (1)若 a= ,f(x)=(x2+bx+1)e﹣x, 则 f′(x)=(2x+b)e﹣x﹣(x2+bx+1)e﹣x=﹣[x2+(b﹣2)x+1﹣b]e﹣x=﹣(x﹣1)[x﹣(1 ﹣b)]e﹣x, 由 f′(x)=0 得﹣(x﹣1)[x﹣(1﹣b)]=0,即 x=1 或 x=1﹣b, ①若 1﹣b=1,即 b=0 时,f′(x)=﹣(x﹣1)2e﹣x≤0,此时函数单调递减,单调递减区间 为(﹣∞,+∞) . ②若 1﹣b>1,即 b<0 时,由 f′(x)=﹣(x﹣1)[x﹣(1﹣b)]e﹣x>0 得(x﹣1)[x﹣ (1﹣b)]<0,即 1<x<1﹣b, 此时函数单调递增,单调递增区间为(1,1﹣b) , ﹣x 由 f′(x)=﹣(x﹣1)[x﹣(1﹣b)]e <0 得(x﹣1)[x﹣(1﹣b)]>0,即 x<1,或 x >1﹣b, 此时函数单调递减,单调递减区间为(﹣∞,1) , (1﹣b,+∞) , ③若 1﹣b<1,即 b>0 时,由 f′(x)=﹣(x﹣1)[x﹣(1﹣b)]e﹣x>0 得(x﹣1)[x﹣ (1﹣b)]<0,即 1﹣b<x<1, 此时函数单调递增,单调递增区间为(1﹣b,1) , 由 f′(x)=﹣(x﹣1)[x﹣(1﹣b)]e﹣x<0 得(x﹣1)[x﹣(1﹣b)]>0,即 x<1﹣b, 或 x>1, 此时函数单调递减,单调递减区间为(﹣∞,1﹣b) , (1,+∞) . ﹣1 (2)若 f(1)=1,则 f(1)=(2a+b+1)e =1, 即 2a+b+1=e,则 b=e﹣1﹣2a, 若方程 f(x)=1 在(0,1)内有解, 即方程 f(x)=(2ax2+bx+1)e﹣x=1 在(0,1)内有解, 即 2ax2+bx+1=ex 在(0,1)内有解, 即 ex﹣2ax2﹣bx﹣1=0, 设 g(x)=ex﹣2ax2﹣bx﹣1, 则 g(x)在(0,1)内有零点, 设 x0 是 g(x)在(0,1)内的一个零点, 则 g(0)=0,g(1)=0,知函数 g(x)在(0,x0)和(x0,1)上不可能单调递增,也不 可能单调递减, 设 h(x)=g′(x) ,
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则 h(x)在(0,x0)和(x0,1)上存在零点, 即 h(x)在(0,1)上至少有两个零点, g′(x)=ex﹣4ax﹣b,h′(x)=ex﹣4a, 当 a≤ 时,h′(x)>0,h(x)在(0,1)上递增,h(x)不可能有两个及以上零点, 当 a≥ 时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,h(x)不可能有两个及以上零点, 当 <a< 时,令 h′(x)=0,得 x=ln(4a)∈(0,1) , 则 h(x)在(0,ln(4a) )上递减,在(ln(4a) ,1)上递增,h(x)在(0,1)上存在最 小值 h(ln(4a) ) . 若 h(x)有两个零点,则有 h(ln(4a) )<0,h(0)>0,h(1)>0, h(ln(4a) )=4a﹣4aln(4a)﹣b=6a﹣4aln(4a)+1﹣e, <a< , 设 φ(x)= x﹣xlnx+1﹣x, (1<x<e) , 则 φ′(x)= ﹣lnx, 令 φ′(x)= ﹣lnx=0,得 x= ,

当 1<x< 时,φ′(x)>0,此时函数 φ(x)递增, 当 <x<e 时,φ′(x)<0,此时函数 φ(x)递减, 则 φ(x)max=φ( )= +1﹣e<0, 则 h(ln(4a) )<0 恒成立, 由 h(0)=1﹣b=2a﹣e+2>0,h(1)=e﹣4a﹣b>0, 得 当 <a< , <a< 时,设 h(x)的两个零点为 x1,x2,则 g(x)在(0,x1)递增,

在(x1,x2)上递减,在(x2,1)递增, 则 g(x1)>g(0)=0, g(x2)<g(1)=0, 则 g(x)在(x1,x2)内有零点, 综上,实数 a 的取值范围是( , ) .

三、附加题 21.已知矩阵 A= ,B= ,求矩阵 A﹣1B.

【考点】几种特殊的矩阵变换. 【分析】设矩阵 A﹣1= ,通过 AA﹣1 为单位矩阵可得 A﹣1,进而可得结论. ,

【解答】解:设矩阵 A 的逆矩阵为

19



=

,即

=



故 a=﹣1,b=0,c=0,d= , 从而 A﹣1=



∴A﹣1B=

=



22.在直角坐标系 xOy 内,直线 l 的参数方程为 坐标系,圆 C 的极坐标方程为

(t 为参数) .以 Ox 为极轴建立极 .判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

【考点】参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 【分析】将直线 l 的参数方程为 程 ρ=2 sin(θ+ (t 为参数)转化为普通方程,将圆 C 的极坐标方

)转化为普通方程,利用圆心到直线的距离公式判断即可. 消去参数 t,得直线 l 的直角坐标方程为 y=2x﹣3; )得:ρ=2 ( sinθ+ cosθ)=2(sinθ+cosθ) ,

【解答】解:将 由 ρ=2 sin(θ+

两边同乘以 ρ 得 ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ) , 2 2 即 x +y =2y+2x, ∴⊙C 的直角坐标方程为: (x﹣1)2+(y﹣1)2=2; 又圆心 C 到直线 l:2x﹣y﹣3=0 的距离 d= ∴直线 l 和⊙C 相交. 23.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库 年入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在 40 以上, 其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立. (Ⅰ)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 40<X<80 80≤X≤120 X>120 年入流量 X 1 2 3 发电机最多可运行台数 若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.
20

=

<2,

【分析】 (Ⅰ)先求出年入流量 X 的概率,根据二项分布,求出未来 4 年中,至少有 1 年的 年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ)分三种情况进行讨论,分别求出一台,两台,三台的数学期望,比较即可得到. p1=P = 【解答】 解: (Ⅰ) 依题意, (40<X<80) , 由二项分布,未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 = (Ⅱ)记水电站的总利润为 Y(单位,万元) (1)安装 1 台发电机的情形, E 由于水库年入流总量大于 40, 故一台发电机运行的概率为 1, 对应的年利润 Y=5000, (Y) =5000×1=5000, (2)安装 2 台发电机的情形, 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5000﹣800=4200, 因此 P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1= , , ,

当 X≥80 时,两台发电机运行,此时 Y=5000×2=10000,因此,P(Y=10000)=P(X≥80) =P2+P3=0.8, 由此得 Y 的分布列如下 Y 4200 10000 P 0.2 0.8 所以 E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840. (3)安装 3 台发电机的情形, 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5000﹣1600=3400, 因此 P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2, 当 80≤X≤120 时,两台发电机运行,此时 Y=5000×2﹣800=9200,因此,P(Y=9200)=P (80≤X≤120)=p2=0.7, P =P 当 X>120 时, 三台发电机运行, 此时 Y=5000×3=15000, 因此, (Y=15000) (X>120) =p3=0.1, 由此得 Y 的分布列如下 Y 3400 9200 15000 P 0.2 0.7 0.1 所以 E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台.

24.设数列{an}(n∈N)为正实数数列,且满足

C

aian﹣i=an2.

(1)若 a2=4,写出 a0,a1; (2)判断{an}是否为等比数列?若是,请证明;若不是,请说明理由. 【考点】数列的求和. 【分析】 (1)当 n=1 时,a0a1+a0a1= ; =2a0a2+2
21

=2a0a2+

,化简联立即可解出.

(2)假设对 n≤i,均有

(n∈N) ,利用已知化简解出即可得出. , 可得 a1=2a0, 当 n=2 时, =2a0a2+2 =2a0a2+ ,

a0a1+a0a1= 【解答】 解: (1) 当 n=1 时, 解得 a2=4a0,解得:a0=1,a1=2. (2)假设对 n≤i,均有 =2a0ai+1+2i+1 (2i+1﹣2) ,∴

(n∈N) ,则当 n=i+1 时,

=

=0. (n∈N) ,

解得 ai+1=2i+1a0,综上可得:均有 {an}为等比数列.

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