最新高考数学(文)第八章 立体几何 8-4习题及答案

1.若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥ l4,则下列结论一定正确的是( A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 答案 解析 D ) 由 l1⊥l2,l2⊥l3 可知 l1 与 l3 的位置不确定, 若 l1∥l3,则结合 l3⊥l4,得 l1⊥l4,所以排除选项 B、C, 若 l1⊥l3,则结合 l3⊥l4,知 l1 与 l4 可能不垂直,所以排除选项 A.故选 D. 2. 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之 为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 P-ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,连接 DE,BD,BE. (1)证明:DE⊥平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑,若是,写出其每 个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明由; (2)记阳马 P-ABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2,求 的值. 解 (1)证明:因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥BC. V1 V2 由底面 ABCD 为长方形,有 BC⊥CD,而 PD∩CD=D, 所以 BC⊥平面 PCD.DE? 平面 PCD,所以 BC⊥DE. 又因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,所以 DE⊥PC. 而 PC∩BC=C,所以 DE⊥平面 PBC. 由 BC⊥平面 PCD,DE⊥平面 PBC,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角 形, 即四面体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC, ∠DEB. (2)由已知,PD 是阳马 P-ABCD 的高, 1 1 所以 V1= SABCD·PD= BC·CD·PD; 3 3 由(1)知,DE 是鳖臑 D-BCE 的高,BC⊥CE, 1 1 所以 V2= S△BCE·DE= BC·CE·DE. 3 6 在 Rt△PDC 中,因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点, 所以 DE=CE= 2 CD, 2 1 BC·CD·PD V1 3 2CD·PD 于是 = = =4. V2 1 CE·DE BC·CE·DE 6 3.如图,在三棱锥 V-ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△VAB 为等边三角形, AC⊥BC 且 AC=BC= 2,O,M 分别为 AB,VA 的中点. (1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB; (3)求三棱锥 V-ABC 的体积. 解 (1)证明:如图,因为 O,M 分别为 AB,VA 的中点,所以 OM∥VB. 又因为 VB?平面 MOC, 所以 VB∥平面 MOC. (2)证明:因为 AC=BC,O 为 AB 的中点,所以 OC⊥AB. 又因为平面 VAB⊥平面 ABC,且 OC? 平面 ABC,所以 OC⊥平面 VAB. 所以平面 MOC⊥平面 VAB. (3)在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC= 2,所以 AB=2,OC=1,所以 S△VAB = 3,又因为 OC⊥平面 VAB, 1 3 所以 VC-VAB= OC·S△VAB= . 3 3 又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等,所以三棱锥 V- ABC 的体积为 3 . 3 π 1 ,AB=BC= AD=a,E 2 2 4.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,

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