吉林省汪清县第六中学2019届高三数学上学期第二次月考试题(含答案)文

吉林省汪清县第六中学 2019 届高三数学上学期第二次月考试题 文
姓名:__________班级:__________ 题号 得分 注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

评卷人

得分

一、单项选择(每小 题 5 分,共计 60 分)

1.已知 P ? ?1,0, 2 , Q ? ? y y ? sin? ,? ? R? ,则 P A. ? B. ?0? ) C. ??1,0?

?

?

Q ?(

) D . ?1, 0, 2

?

?

2.复数 (1 ? i ) z ? 2 ,求 z ? ( A.1 B.2

C. 2

D.4

3.条件 p : ?2 ? x ? 4 ,条件 q : ? x ? 2?? x ? a ? ? 0 ;若 q 是 p 的必要而不充分条件,则 a 的取值 范围是( A. ? 4, ?? ? ) B. ? ??, ?4? C. ? ??, ?4? D. ? 4, ?? ? )

4.在锐角 ?ABC 中,角 A,B,C 所对角为 a,b,c.若 b ? 2a sin B ,则角 A 等于( A.

?
3

B.

?
6

C.

?
4

D.

?
6



5? 6

5.等差数列 ?an ?中, S n 为 an 的前 n 项和, a8 ? 20 , S 7 ? 56 ,则 a12 =( A.2 6.若 tan ? ? A. B.32 C.36 ) C.1

) D.40

64 25

3 ,则 cos 2 ? ? 2 sin 2? =( 4 48 B. 25

D.

16 25

? 1? 7 若点 ? 0, ? 到直线 l : x ? 3 y ? m ? 0 ? m ? 0 ? 的距离为 10 ,则 m ? ( ? 2?



-1-

A.7

B.

17 2

C.14

D.17

8.已知向量 a , b 满足 a ? 1 , a ? b ? 7 , b ? A.
? 3

?

3, ?1 ,则 a , b 的夹角等于(

?



B.

? 6

C.

2? 3

D.

5? 6

9.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(



A.43 C.61

B.55 D.81

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 10.设 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最小值为( ?x ?1 ? 0 ?
A. ?6 B. ?4 C. 2 D. ?2



11.已知直线 l : y ? x ? m 与曲线 x ? 1 ? y2 有两个公共点,则实数 m 的取值范围是( A. ? ? ?1, 2



?

B. ? 2, ?1? ?

?

C. ? ?1, 2

?

D. ? 2,1? ?

?

12.函数 f ( x) ? ax ? 2 ,g ( x) ? x 2 ? 2 x , 对 ?x1 ? ? ?1, 2 ? ,?x2 ? ?? 1,2? , 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 则 a 的取值范围是( A. ? 0, ? 2 ) B. ?? 1, ? 2

? ?

1? ?

? ?

1? ?

C. ? ? ?,? ? ? ?3,?? ? 2

? ?

3? ?

D. ?3,?? ?

评卷人

得分

二、填空题(每小题 5 分,共计 20 分)

-2-

13.设 a ? (1, 2) , b ? (1,1) , c ? a ? kb .若 b ? c ,则实数 k 的值等于 14.已知 ?an ?为等比数列, a2 ?



1 , a3 ? a5 ? 4 ,则 q ? _______ 2

15.设函数 f ( x) ? cos x ,先 将 y ? f ( x) 纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,再将图象向 右平移

?
3

个单位长度后得 y ? g ( x) ,则 y ? g ( x) 的对称中心为________
( x ?3)

16.已知函数 y ? loga

?1, (a ? 0, 且a ? 1) 的图像恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx? ny ? 1 ? 0
1 2 ? 的最小值为 m n
三、解答题(共计 70 分) .

上,其 中 mn ? 0 ,则 评卷人 得分

17. ( 10 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 a ? 4 , B ?

2? , 3

b sin C ? 2sin B .
(1)求 b 的值; (2)求 ?ABC 的面积.

18. (本小题 12 分)已知圆 C 经过点 A? 2, ?1? 和直线 x ? y ? 1 ? 0 相切, 且圆心在直线 y ? ?2 x 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 y ? 2 x ? 2 与圆 C 交于 A , B 两点,求弦 AB 的长

19. (本小题 12 分)已知数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? n ? n , n ? N ?
2

-3-

(1)求 ?an ?的通项公式; (2)求数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和. ? (n ? 1)an ?

20 .( 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c , 已 知

b s i nB?

4 a s? iB n

a 5 .sAi n

(1)若 c ? 31a ,求角 C 的大小; (2)若 a ? 2 ,且 ?ABC 的面积为 5 3 ,求 ?ABC 的周长.

21.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,且 an ?1 ? 2 S n ? 1 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? log 3 an ?1 ,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn .

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e
x ?1

? a ,函数 g ? x ? ? ax ? lnx, a ? R .

(1)求函数 y ? g ? x ? 的单调区间; (2)若不等式 f ? x ? ? g ? x ? ? 1 在 ?1, ?? ? 上恒成立,求实数 a 的取值范围;

-4-

文 科 数 学 答 案 第Ⅰ 卷 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,只有一个选项正确,请把答案写在答 ....... 题卷上 ) ... 1 -6:ACBBAD 7-12:AACDCB 第Ⅱ 卷 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案写在答题卷上 ) .......... 13. 2 3 15. (2kx ? 14. ? 2

4? ,0), k ? Z 3

16. ? , ?

?1 9 ? ?2 4 ?

三、解答题(本题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题卷上) 17.解: (1)由 2k? ?

?
2

?

1 ? 3 x ? ? 2k? ? ? , k ? Z 3 6 2

得函数的单调递减区间为: [6k? ? 2? ,6k? ? 5? ], k ? Z

10 5 得:cos? ? 13 13 6 3 f (3? ? ? ) ? ? 得:cos? ? 5 5 33 则: cos(? ? ? ) ? ? 65
(2)由 f (3? ? 2? ) ? 18.解: (1)根据题意可得: an ? 2n (2)设 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和为 Tn ? (n ? 1)an ?
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?( ? ) (n ? 1)an 2 n(n ? 1) 2 n n ? 1

由(1)得:

-5-

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 2 2 3 n n ?1 1 1 ) 则 ? (1 ? 2 n ?1 n ? 2(n ? 1) Tn ?
π 19.解:(1)解法一:∵P 是等腰直角三角形 PBC 的直角顶点,且 BC=2,∴∠PCB= 4 ,PC= 2, π π 又∵∠ACB= 2 ,∴∠ACP= 4 , π 在△PAC 中,由余弦定理得 PA2=AC2+PC2-2AC·PCcos 4 =5,∴PA= 5.

解法二:依题意建立如图直角坐标系,则有 C(0,0),B(2,0),A(0,3),

π π π ∵△PBC 是等腰直角三角形,∠ACB= 2 ,∴∠ACP= 4 ,∠PBC= 4 , ∴直线 P C 的方程为 y=x ,直线 PB 的方程为 y=-x+2,
?y=x ? 由? ?y=-x+2 ?

得 P(1,1), + - = 5,

∴PA=



2π π (2)在△PBC 中,∠BPC= 3 ,∠PCB=θ ,∴∠PBC= 3 -θ , 2 PB PC 由正弦定理得 2π =sinθ = ?π sin 3 sin? ? 3 -θ

?, ? ?

-6-

4 3 4 3 ?π ? ? ∴PB= 3 sinθ ,PC= 3 sin? ? 3 -θ ?, 1 2π 4 3 ?π ? ? ∴△PBC 的面积 S(θ )=2PB·PCsin 3 = 3 sin? ? 3 -θ ?sinθ 2 3 3 3 =2sinθ cosθ - 3 sin2θ =sin2θ + 3 cos2θ - 3 π? 2 3 3 ? ? π? ? ?0, 3 ?, 2 θ + = 3 sin? - , θ ∈ 6? 3 ? ? ? π 3 ∴当 θ = 6 时,△PBC 面积的最大值为 3 . 20.解: ( )由方程 ax 2 ? bx ? 2 x 有两个相等的实数根得 ? ? (b-2)2 =0,则 b=2,. 由 f ( x ? 1) ? f (3 ? x) 知对称轴方程为 x ? ? 则 a ? ?1, 故f ( x) ? ? x 2 ? 2 x. (2) 存在.由 f ( x) ? ?( x ? 1) ? 1 ? 1知4n ? 1, 即n ? 而抛物线 y ? ? x 2 ? 2 x 的对称轴为 x=1,则 n ?

b ? 1, 2a

1 , 4

1 时, 4

f ( x) 在[m,n]上为增函数.
假设满足题设条件的 m,n 存在,

? f ( m) ? 4m ? ? m 2 ? 2 m ? 4 m ? m ? 0或m ? ?2 , 解得 ? ,即? , 则? 2 ? n ? 0或n ? ?2 ? f ( n) ? 4n ? ? n ? 2n ? 4n
又 m<n,所以存在 m ? ?2; n ? 0符合题意 21.解:21.解析: (1) g ? x ? 的定义域为 (0, ??) ∵ g ? x ? ? ax ? lnx, a ? R ,? g ? ? x ? ? a ? 当 a ? 0 时, g ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立 ∴g(x)的增区间 ? 0, ?? ? ,无减区间, 当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ? 令 g ?( x) ? 0 得 x ? ?

1 ax ? 1 ? , x x

1 , a

1 , a

∴ g ? x ? 的增区间 ? 0, ?

? ?

1? ? 1 ? ? ,减区间 ? ? , ?? ? ; a? ? a ?

-7-

(2) f ? x ? ? g ? x ? ? 1 ,即 e x ?1 ? lnx ? a ? ax ? 1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立, 设 F ? x? ? e
x ?1

? lnx ? a ? ax ? 1 ,考虑到 F ?1? ? 0 ,

1 ? a ,在 ?1, ?? ? 上为增函数, x 1 x ?1 ∵ x ? 1, e ? ? 0 , x F ? ? x ? ? e x ?1 ?
∴当 a ? 0 时, F ? ? x ? ? 0 , F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, F ? x ? ? 0 恒成立 当 a ? 0 时, F ? ?1? ? 0 , F ? ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数,
'

?x0 ? ?1, ?? ? ,在 ?1, x0 ? 上, F ? ? x ? ? 0 , F ? x ? 递减, F ? x ? ? 0 ,这 时不合题意,
综上所述, a ? 0 ;

22.解:(1)由 x=cosα +sinα 得 x2 ? (cos? ? sin ? )2 ? cos2 ? ? 2sin ? cos? ? sin 2 ? , 所以曲线 M 可化为 y=x2-1,x∈[ 2 ,

2 ],

π? 2 2 2 2 ? ? 由 ρ sin? ?θ + 4 ?= 2 t 得 2 ρ sinθ + 2 ρ cosθ = 2 t, 所以 ρ sinθ +ρ cosθ =t,所以曲线 N 可化为 x+y=t. (2)若曲线 M,N 有公共点,则当直线 N 过点 ( 2 ,1) ,时满足要求,此时 t= 2 ? 1 ,并且向左 下方平行移动直到相切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点,
? ?x+y=t 联立? ?y=x2-1 ?

5 ,得 x2+x-1-t=0,由 Δ =1+4(1+t)=0,解得 t=-4.

5 综上可求得 t 的取值范围是-4≤t≤ 2 ? 1 .

-8-


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