双曲线的性质练习题 菁优网


双曲线的性质练习题
一.选择题(共 23 小题) 1. (2015?湖北)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m (m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( ) A. 对任意的 a,b,e1>e2 B. 当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 C. D. 对任意的 a,b,e1<e2 当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2

2. (2015?重庆)设双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1,

A2,过 F 做 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的 斜率为( ) A B C ±1 D ± ± ± . . . . 3. (2014?闸北区三模)已知 F1、F2 为双曲线 C:x ﹣y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, |PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( ) A B C D . . . .
2 2

4. (2014?江西)过双曲线 C:



=1 的右顶点做 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交

于点 A,若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点) ,则双曲 线 C 的方程为( ) A B C D . . . . ﹣ =1 ﹣ =1 ﹣ =1 ﹣ =1

5. (2013?天津)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px(p

2

>0)的准线分别交于 O、A、B 三点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△ AOB 的 面积为 ,则 p=( ) A 1 B C 2 D 3 . . . .

1

6. (2013?三门峡模拟)设 F1,F2 分别是双曲线

的左、右焦点.若双曲线上存在

点 A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为( ) A B C D . . . .

7. (2011?长春二模)设 F1、F2 分别是双曲线 x ﹣ 且 A . ? =0,则| + B 2 . |=( ) C .

2

=1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,

D 2 .

8. (2010?浙江)设 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点.若在

双曲线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则 该双曲线的渐近线方程为( ) A 3x±4y=0 B 3x±5y=0 C 4x±3y=0 D 5x±4y=0 . . . .

9. (2010?浙江)设 O 为坐标原点,F1,F2 是双曲线



=1(a>0,b>0)的焦点,若 )

在双曲线上存在点 P,满足∠F1PF2=60°,|OP|= a,则该双曲线的渐近线方程为( A x± y=0 B C x± y=0 D x±y=0 x±y=0 . . . .

10. (2008?四川)已知双曲线 C:

=1 的左右焦点分别为 F1,F2,P 为 C 的右支上 )

一点,且|PF2|=|F1F2|,则△ PF1F2 的面积等于(

A 24 .

B 36 .

C 48 .

D 96 .

2

11. (2008?湖南)双曲线

=1(a>0,b>0)的右支上存在一点,它到右焦点及左准

线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( ) A B C . . .

D .

12. (2007?安徽)已知 F1,F2 分别是双曲线



=1(a>b>0)的两个焦点,A 和 B 是

以 O(O 为坐标原点)为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2AB 是 等边三角形,则双曲线的离心率为( ) A B C D +1 . . . .

13. 已知 M (x0, y0) 是双曲线 C: <0,则 y0 的取值范围是( ) A B . .

=1 上的一点, F1, F2 是 C 的两个焦点, 若

C .

D .

14. (2015?南昌校级二模)如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,

过 F1 的直线 l 与 C 的左、右 2 个分支分别交于点 A、B.若△ ABF2 为等边三角形,则双曲 线的离心率为( )

A 4 .

B .

C .

D .

3

15. (2015?潍坊模拟)设 F1,F2 是双曲线 若双曲线右支上存在一点 P,使 ,则双曲线的离心率为( A . B . C . ) D .

的左、右两个焦点,

(O 为坐标原点) ,且

16. (2015?温州二模)如图所示,A,B,C 是双曲线

=1(a>0,b>0)上的三个 )

点, AB 经过原点 O, AC 经过右焦点 F, 若 BF⊥AC 且|BF|=|CF|, 则该双曲线的离心率是 (

A .

B .

C .

D 3 .

17. (2014?太原一模)点 P 在双曲线:

(a>0,b>0)上,F1,F2 是这条双曲

线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△ F1PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 . . . .

18. (2014?陈仓区校级一模)已知 F1,F2 分别为双曲

的左、

右焦点,P 为双曲线左支上任一点,若 范围是( ) A (1,+∞) .

的最小值为 8a,则双曲线的离心率 e 的取值

B (0,3] .

C (1,3] .

D (0,2] .

4

19. (2014?高州市模拟) 设双曲线 C:

(b>a>0) 的左、 右焦点分别为 F1, F2. 若 )

在双曲线的右支上存在一点 P, 使得|PF1|=3|PF2|, 则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为 ( A (1,2] B C D (1,2) . . . .

20. (2012?毕节市校级模拟)双曲线方程为

,过右焦点 F 向

一条渐近线做垂线,垂足为 M,如图所示,已知∠MFO=30° (O 为坐标原点) ,则其离心率 为( )

A .

B .

C .

D 2 .

21. (2015?广西校级一模)如图,F1,F2 是双曲线 C1:x ﹣

2

=1 与椭圆 C2 的公共焦点, )

点 A 是 C1,C2 在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率是(

A .

B .

C .

D .

22. (2015?仁寿县模拟)已知 F1、F2 分别是双曲线 C:



=1 的左、右焦点,若 F2 关 )

于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线 C 的离心率为( A B 3 C D 2
5









23. (2015?湖北校级模拟)已知双曲线



=1(a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1、 a,则双曲线的离心率为( D . )

F2,以 F1F2 为直径的圆被直线 + =1 截得的弦长为 A 3 . B 2 . C .

二.填空题(共 7 小题) 24. (2015?山东)过双曲线 C: (a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平 .

行的直线,交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为

25. (2015?湖南)设 F 是双曲线 C:



=1 的一个焦点.若 C 上存在点 P,使线段 PF .

的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为

26. (2014?浦东新区校级模拟)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0) ,AM 为∠F1AF2 的平分线,则|AF2|=

的左、右焦点, .

27. (2014?浙江)设直线 x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线

=1(a>0,b>0)的两条渐 .

近线分别交于点 A, B. 若点 P (m, 0) 满足|PA|=|PB|, 则该双曲线的离心率是

28. (2013?湖南)设 F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C .

上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△ PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为

29. (2006?江西)已知 F1,F2 为双曲线 P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点.下面四个命题( A、△ PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=a 上; B、△ PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=b 上; C、△ PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上;
6

的两个焦点, )

D、△ PF1F2 的内切圆必通过点(a,0) . 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .

30. (2005?浙江)过双曲线

(a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双

曲线相交于 M、N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等 于 .

7

2015 年 07 月 23 日 nxyxy 的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 23 小题) 1. (2015?湖北)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m (m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( ) A 对任意的 a, . b,e1>e2 B 当 a>b 时, . e1>e2;当 a <b 时,e1< e2 C 对任意的 a, . b,e1<e2 D 当 a>b 时, . e1<e2;当 a <b 时,e1> e2 考点: 专题: 双曲线的简 单性质. 计算题;圆锥 曲线的定义、 性质与方程. 分别求出双 曲线的离心 率,再平方作 差,即可得出 结论. 解:由题意, 双曲线 C1: 2 2 2 c =a +b ,
菁优网版权所有

分析:

解答:

e1= ; 双曲线 C2: 2 2 c′ = (a+m) + 2 (b+m) , e2=



8

∴ =



=

点评:

, ∴当 a>b 时, e1<e2;当 a <b 时,e1> e2, 故选:D. 本题考查双 曲线的性质, 考查学生的 计算能力,比 较基础.

2. (2015?重庆)设双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1,

A2,过 F 做 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的 斜率为( ) A B C ±1 D ± ± ± . . . . 考点: 专题: 双曲线的简 单性质. 计算题;圆锥 曲线的定义、 性质与方程. 求得 A(﹣ a, 1 0) , A( 0) , 2 a,
菁优网版权所有

分析:

B(c, C (c, ﹣ 利用

) , ) ,

9

A1B⊥A2C, 可得

解答:

,求出 a=b, 即可得出 双曲线的渐 近线的斜率. 解:由题意, A1(﹣a,0) , A2(a,0) ,B (c, (c,﹣ ) ,C ) ,

∵A1B⊥A2C , ∴

点评:

, ∴a=b, ∴双曲线的 渐近线的斜 率为±1. 故选:C. 本题考查双 曲线的性质, 考查斜率的 计算,考查学 生分析解决 问题的能力, 比较基础.
2 2

3. (2014?闸北区三模)已知 F1、F2 为双曲线 C:x ﹣y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, |PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( ) A B C D . . . . 考点: 专题: 双曲线的简 单性质. 计算题.
菁优网版权所有

10

分析:

根据双曲线 的定义,结合 |PF1|=2|PF2|, 利用余弦定 理,即可求 cos∠F1PF2 的值. 解:将双曲线 2 方程 x ﹣ 2 y =2 化为标 准方程 ﹣

解答:

=1,则 a= b= 设 , ,c=2,

|PF1|=2|PF2|= 2m, 则根据双 曲线的定义, |PF1|﹣ |PF2|=2a 可得 m=2 , ∴|PF1|=4 ,|PF2|=2 , ∵|F1F2|=2c= 4, ∴cos∠F1PF2 =

=

=

= .

点评:

故选 C. 本题考查双 曲线的性质, 考查双曲线 的定义,考查 余弦定理的

11

运用,属于中 档题.

4. (2014?江西)过双曲线 C:



=1 的右顶点做 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交

于点 A,若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点) ,则双曲 线 C 的方程为( ) A B C D . . . . ﹣ =1 ﹣ =1 ﹣ =1 ﹣ =1

考点: 专题:

分析:

双曲线的简 单性质. 计算题;圆锥 曲线的定义、 性质与方程. 由题意,c=4, 双曲线的一 条渐近线方
菁优网版权所有

程为 y=



解答:

求出 A 的坐 标,利用右焦 点 F(4,0) , |FA|=4,可求 a,b,即可得 出双曲线的 方程. 解:由题意, c=4,双曲线 的一条渐近 线方程为 y= ,

令 x=a,则 y=b, 即A (a, b) , ∵右焦点 F (4,0) , |FA|=4, ∴(a﹣4) 2 2 +b =16, 2 2 ∵a +b =16,
12

∴a=2, b=2 , ∴双曲线 C 的方程为



=1.

点评:

故选:A. 本题考查双 曲线的方程 与性质,考查 学生的计算 能力,属于基 础题.

5. (2013?天津)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px(p

2

>0)的准线分别交于 O、A、B 三点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△ AOB 的 面积为 ,则 p=( ) A 1 B C 2 D 3 . . . . 考点: 专题: 双曲线的简 单性质. 圆锥曲线的 定义、性质与 方程. 求出双曲线
菁优网版权所有

分析:

的渐近线方 程与抛物线 y =2px(p> 0)的准线方 程,进而求出 A,B 两点的 坐标,再由双 曲线的离心 率为 2, △ AOB 的面 积为 ,列
2

13

解答:

出方程,由此 方程求出 p 的 值. 解:∵双曲线 , ∴双曲线的 渐近线方程 是 y=± x 又抛物线 y =2px(p> 0)的准线方 程是 x=﹣ , 故 A,B 两点 的纵坐标分 别是 y=± ,
2

双曲线的离 心率为 2,所 以 ∴ ,





A,B 两点的 纵坐标分别 是 y=± = , 又,△ AOB 的面积为 , x 轴是角 AOB 的角平 分线 ∴

14

点评:

,得 p=2. 故选 C. 本题考查圆 锥曲线的共 同特征,解题 的关键是求 出双曲线的 渐近线方程, 解出 A,B 两 点的坐标,列 出三角形的 面积与离心 率的关系也 是本题的解 题关键,有一 定的运算量, 做题时要严 谨,防运算出 错.

6. (2013?三门峡模拟)设 F1,F2 分别是双曲线

的左、右焦点.若双曲线上存在

点 A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为( ) A B C D . . . . 考点: 专题: 分析: 双曲线的简 单性质. 压轴题. 由题设条件 设|AF2|=1, |AF1|=3, 双曲 线中 2a=|AF1| ﹣|AF2|=2,
菁优网版权所有

解答:

,由此可以求 出双曲线的 离心率. 解:设 F1,F2 分别是双曲

15

线

的左、右焦 点. 若双曲线上 存在点 A,使 ∠F1AF2=90° ,且 |AF1|=3|AF2|, 设|AF2|=t, |AF1|=3t, (t >0) 双曲线中 2a=|AF1|﹣ |AF2|=2t,

t, ∴离心率 , 故选 B. 挖掘题设条 件,合理运用 双曲线的性 质能够准确 求解.

点评:

7. (2011?长春二模)设 F1、F2 分别是双曲线 x ﹣ 且 A . 考点: 专题: 分析: ? =0,则| + B 2 . 双曲线的简 单性质. 计算题;压轴 题. 由点 P 在双曲 线上,且
菁优网版权所有

2

=1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,

|=(

) C . D 2 .

16

? 可知 | 2| + |=|

=0

|= |

.由此可以求 出 | + |

解答:

的值. 解:根据题 意,F1、F2 分 别是双曲线 x﹣
2

=1 的

左、右焦点. ∵点 P 在双曲 线上,且 ? , ∴| + |=2| |=2 . 故选 B. 把 | + | |=| =0

点评:

转化为 || |是正

确解题的关 键步骤.

17

8. (2010?浙江)设 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点.若在

双曲线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则 该双曲线的渐近线方程为( ) A 3x±4y=0 B 3x±5y=0 C 4x±3y=0 D 5x±4y=0 . 考点: 专题: . 双曲线的简 单性质. 圆锥曲线的 定义、性质与 方程. 利用题设条 件和双曲线 性质在三角 形中寻找等 量关系,得出 a 与 b 之间的 等量关系,可 知答案选 C, 解:依题意
菁优网版权所有





分析:

解答:

|PF2|=|F1F2|, 可知三角形 PF2F1 是一个 等腰三角形, F2 在直线 PF1 的投影是其 中点,由勾股 定理知 可知 |PF1|=2

=4b 根据双曲定 义可知 4b﹣ 2c=2a,整理 得 c=2b﹣a, 2 2 2 代入 c =a +b 2 整理得 3b ﹣ 4ab=0,求得 =

18

∴双曲线渐 近线方程为 y=± x,即 4x±3y=0 点评: 故选 C 本题主要考 查三角与双 曲线的相关 知识点,突出 了对计算能 力和综合运 用知识能力 的考查,属中 档题

9. (2010?浙江)设 O 为坐标原点,F1,F2 是双曲线



=1(a>0,b>0)的焦点,若 )

在双曲线上存在点 P,满足∠F1PF2=60°,|OP|= a,则该双曲线的渐近线方程为( A x± y=0 B C x± y=0 D x±y=0 x±y=0 . . . . 考点: 专题: 双曲线的简 单性质. 圆锥曲线的 定义、性质与 方程. 假设|F1P|=x, 进而分别根 据中线定理 和余弦定理 建立等式求 得
菁优网版权所有

分析:

c +5a =14a 2 ﹣2c ,求得 a 和 c 的关系, 进而根据 b=

2

2

2

求得 a 和的关 系进而求得 渐近线的方

19

解答:

程. 解:假设 |F1P|=x OP 为三角形 F1F2P 的中 线, 根据三角形 中线定理可 知 2 x +(2a+x) 2 2 2 =2(c +7a ) 整理得 x (x+2a) =c +5a 由余弦定理 可知 x +(2a+x) ﹣x(2a+x) =4c 整理得 x (x+2a) 2 2 =14a ﹣2c 进而可知 c +5a =14a 2 ﹣2c 2 2 求得 3a =c ∴c= a b= a 那么渐近线 为 y=± x, 即 x±y=0 故选 D 本题将解析 几何与三角 知识相结合, 主要考查了 双曲线的定 义、标准方 程,几何图 形、几何性 质、渐近线方 程,以及斜三 角形的解法, 属中档题
2 2 2 2 2 2 2 2

点评:

20

10. (2008?四川)已知双曲线 C:

=1 的左右焦点分别为 F1,F2,P 为 C 的右支上 )

一点,且|PF2|=|F1F2|,则△ PF1F2 的面积等于(

A 24 . 考点: 专题: 分析:

B 36 . 双曲线的简 单性质. 计算题;压轴 题. 先根据双曲 线方程求出 焦点坐标,再 利用双曲线 的额性质求 得||PF1|,作 PF1 边上的高 AF2 则可知 AF1 的长度, 进而利用勾 股定理求得 AF2,则 △ PF1F2 的面 积可得. 解:∵双曲线
菁优网版权所有

C 48 .

D 96 .

解答:

中 a=3,b=4, c=5, ∴F1(﹣5, 0) , F2(5, 0) ∵|PF2|=|F1F2| , ∴|PF1|=2a+|P F2|=6+10=16
21

作 PF1 边上的 高 AF2,则 AF1=8, ∴

∴△PF1F2 的 面积为

故选 C.

点评:

此题重点考 查双曲线的 第一定义,双 曲线中与焦 点,准线有关 三角形问题; 由题意准确 画出图象,利 用数形结合, 注意到三角 形的特殊性.

11. (2008?湖南)双曲线

=1(a>0,b>0)的右支上存在一点,它到右焦点及左准 ) D .

线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( A B C . . . 考点: 专题: 分析: 双曲线的简 单性质. 计算题;压轴 题. 根据右支上 存在一点到 右焦点及左 准线的距离
菁优网版权所有

22

相等,通过

解答:

得到关于 e 的 不等式,最后 根据 e>1, 综 合可得答案. 解: ∵

, ∴

, ∴e ﹣2e﹣ 1≤0, , 而双曲线的 离心率 e>1, ∴ , 故选 C 本题主要考 查了双曲线 的简单性 质.本题灵活 利用了双曲 线的定义.
2

点评:

12. (2007?安徽)已知 F1,F2 分别是双曲线



=1(a>b>0)的两个焦点,A 和 B 是

以 O(O 为坐标原点)为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2AB 是 等边三角形,则双曲线的离心率为( ) A B C D +1 . . . .

23

考点: 专题: 分析:

双曲线的简 单性质. 计算题;数形 结合. 先设
菁优网版权所有

F1F2=2c,根 据△ F2AB 是 等边三角形, 判断出 ∠AF2F1=30° ,进而在 RT△ AF1F2 中求得 AF1 和 AF2,进而 根据栓曲线 的简单性质 求得 a,则双 曲线的离心 率可得. 解:如图,设 F1F2=2c, ∵△F2AB 是 等边三角形, ∴∠AF2F1=3 0°, ∴AF1=c, AF2= C, ∴a=

解答:

e= +1, 故选 D

=

24

点评:

本题主要考 查了双曲线 的简单性 质.考查了学 生综合分析 问题和数形 结合的思想 的运用.属基 础题.

13. 已知 M (x0, y0) 是双曲线 C: <0,则 y0 的取值范围是( A B . . 考点: 专题: 双曲线的简 单性质. 计算题;圆锥 曲线的定义、 性质与方程. 利用向量的 数量积公式, 结合双曲线 方程,即可确
菁优网版权所有

=1 上的一点, F1, F2 是 C 的两个焦点, 若

) C . D .

分析:

解答:

定 y0 的取值 范围. 解:由题意, = ( ﹣x0, ﹣ y0) ? (﹣ ﹣ 2 x0, ﹣y0) =x0 2 2 ﹣3+y0 =3y0
25

﹣1<0, 所以﹣ y0< . <

点评:

故选:A. 本题考查向 量的数量积 公式,考查双 曲线方程,考 查学生的计 算能力,比较 基础.

14. (2015?南昌校级二模)如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,

过 F1 的直线 l 与 C 的左、右 2 个分支分别交于点 A、B.若△ ABF2 为等边三角形,则双曲 线的离心率为( )

A 4 . 考点: 专题:

B . 双曲线的简 单性质. 压轴题;圆锥 曲线的定义、 性质与方程. 利用双曲线 的定义可得 可得|AF1|﹣ |AF2|=2a, |BF2|﹣ |BF1|=2a,利 用等边三角 形的定义可 得:
菁优网版权所有

C .

D .

分析:

26

|AB|=|AF2|=| BF2|,

.在△ AF1F2 中使用余弦 定理可得 : =



解答:

,再利用离心 率的计算公 式即可得出. 解: ∵△ABF2 为等边三角 形, ∴|AB|=|AF2| =|BF2|,

. 由双曲线的 定义可得 |AF1|﹣ |AF2|=2a, ∴|BF1|=2a. 又|BF2|﹣ |BF1|=2a, ∴|BF2|=4a. ∴|AF2|=4a, |AF1|=6a. 在△ AF1F2 中,由余弦定 理可得: =



27

, ∴

,化为 c =7a , ∴ = . 故选 B. 熟练掌握双 曲线的定义、 余弦定理、离 心率的计算 公式是解题 的关键.
2 2

点评:

15. (2015?潍坊模拟)设 F1,F2 是双曲线 若双曲线右支上存在一点 P,使 ,则双曲线的离心率为( A . 考点: 专题: 分析: B . 双曲线的简 单性质. 计算题;压轴 题. 利用向量的 加减法可得
菁优网版权所有

的左、右两个焦点,

(O 为坐标原点) ,且 ) D .

C .

,故有 OP=OF2=c=O F1,可得 PF1⊥PF2,由 条件可得 ∠PF1F2=30°
28

,由 sin30°= = 求出 离心率. 解: ∵

解答:

, ∴

, ∴ ﹣ =0, OP=OF2=c=O F1, ∴PF1⊥PF2, Rt△ PF1F2 中, ∵

, ∴∠PF1F2=3 0°. 由双曲线的 定义得 PF1﹣ PF2=2a, ∴PF2= , sin30°= = =

=

29

, ∴2a=c ( ﹣1) , ∴ = +1,

点评:

故选 D. 本题考查双 曲线的定义 和双曲线的 简单性质的 应用,其中, 判断△ PF1F2 是直角三角 形是解题的 关键.

16. (2015?温州二模)如图所示,A,B,C 是双曲线

=1(a>0,b>0)上的三个 )

点, AB 经过原点 O, AC 经过右焦点 F, 若 BF⊥AC 且|BF|=|CF|, 则该双曲线的离心率是 (

A . 考点: 专题:

B . 双曲线的简 单性质. 压轴题;圆锥 曲线的定义、 性质与方程. 运用直角三 角形斜边上 中线等于斜 边的一半,求 得 A 的坐标, 由对称得 B 的坐标,由于 BF⊥AC 且
菁优网版权所有

C .

D 3 .

分析:

30

解答:

|BF|=|CF|, 求得 C 的坐 标,代入双曲 线方程,结合 a,b,c 的关 系和离心率 公式,化简整 理成离心率 e 的方程,代入 选项即可得 到答案. 解:由题意可 得在直角三 角形 ABF 中, OF 为斜边 AB 上的中 线,即有 |AB|=2|OA|=2 |OF|=2c, 设A (m, n) , 则 m +n =c , 又 ﹣
2 2 2

=1, 解得 m= ,

n=



即有 A (



) , B (﹣



31



) ,

又 F(c,0) , 由于 BF⊥AC 且|BF|=|CF|, 可设 C (x, y) , 即有 ?

=﹣1, 又 (c+ )
2 2

+(

)=
2 2

(x﹣c)+y , 可得 x= y=﹣ ,

, 将C ( ﹣ ,

)代入双曲线 方程,可得



32

=1, 化简可得 (b
2 3 2

﹣a )=a , 2 2 2 由 b =c ﹣a , e= , 可得 (2e ﹣1) 2 2 (e ﹣2)=1, 对照选项,代 入检验可得 e= 成立.
2

点评:

故选:A. 本题考查双 曲线的方程 和性质,主要 考查双曲线 的 a,b,c 的 关系和离心 率的求法,注 意运用点在 双曲线上满 足方程,同时 注意选择题 的解法:代入 检验,属于难 题.

17. (2014?太原一模)点 P 在双曲线:

(a>0,b>0)上,F1,F2 是这条双曲

线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△ F1PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 . . . . 考点: 双曲线的简 单性质;等差 数列的性质.


33

优网版权所有

专题: 分析:

压轴题. 通过|PF2|, |PF1|,|F1F2| 成等差数列, 分别设为 m ﹣d, m, m+d, 则由双曲线 定义和勾股 定理求出 m=4d=8a, c= , 由此求

解答:

得离心率的 值. 解:因为 △ F1PF2 的三 条边长成等 差数列,不妨 设|PF2|, |PF1|, |F1F2|成等差 数列, 分别设为 m ﹣d, m, m+d, 则由双曲线 定义和勾股 定理可知:m ﹣(m﹣d) =2a, m+d=2c, (m ﹣d) +m = 2 (m+d) , 解得 m=4d=8a, c= 率 , 故离心
2 2

e= =

=5,

点评:

故选 D. 本题主要考 查等差数列

34

的定义和性 质,以及双曲 线的简单性 质的应用,属 于中档题.

18. (2014?陈仓区校级一模)已知 F1,F2 分别为双曲

的左、

右焦点,P 为双曲线左支上任一点,若 范围是( ) A (1,+∞) . 考点: 专题: 分析:

的最小值为 8a,则双曲线的离心率 e 的取值

B (0,3] .

C (1,3] .

D (0,2] .

双曲线的简 单性质. 计算题;压轴 题. 由定义知: |PF2|﹣ |PF1|=2a, |PF2|=2a+|PF1 |,
菁优网版权所有

=

=

,当且仅当

,即|PF1|=2a 时取得等 号.再由焦半 径公式得双 曲线的离心

35

解答:

率的取值范 围. 解:由定义 知:|PF2|﹣ |PF1|=2a, |PF2|=2a+|PF1 |, =

=

, 当且仅当

, 即|PF1|=2a 时 取得等号 设 P(x0,y0) (x0≤﹣a) 由焦半径公 式得: |PF1|=﹣ex0﹣ a=2a ex0=﹣2a e=﹣ ≤3

点评:

又双曲线的 离心率 e>1 ∴e∈(1,3]. 故选 C. 本题考查双 曲线的性质 和应用,解题 时要认真审 题,注意焦半 径公式的合

36

理运用.

19. (2014?高州市模拟) 设双曲线 C:

(b>a>0) 的左、 右焦点分别为 F1, F2. 若 )

在双曲线的右支上存在一点 P, 使得|PF1|=3|PF2|, 则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为 ( A (1,2] B C D (1,2) . . . . 考点: 专题: 分析: 双曲线的简 单性质. 计算题;压轴 题. 先利用双曲 线的定义,得 焦半径
菁优网版权所有

解答:

|PF2|=a,再利 用焦半径的 取值范围,得 离心率的取 值范围,再由 已知 b>a 求 得双曲线的 离心率范围, 两个范围求 交集即可得 双曲线的离 心率范围 解:∵P 在双 曲线的右支 上, ∴|PF1|﹣ |PF2|=2|PF2|= 2a, ∴|PF2|=a≥c ﹣a ∴e= ≤2 又∵b>a, 2 2 ∴c ﹣a > 2 a, ∴e= > ∴e∈

37

点评:

故选 B 本题主要考 查了双曲线 的定义和几 何性质,焦半 径的取值范 围及其应用, 双曲线离心 率的取值范 围求法,属基 础题

20. (2012?毕节市校级模拟)双曲线方程为

,过右焦点 F 向

一条渐近线做垂线,垂足为 M,如图所示,已知∠MFO=30° (O 为坐标原点) ,则其离心率 为( )

A . 考点: 专题: 分析:

B . 双曲线的简 单性质. 计算题;压轴 题. 根据双曲线 方程可知渐 近线方程,根 据点到直线 的距离求得 |MF|,根据 ∠MFO=30° 可知 |OF|=2|MF|, 根据|OF|=c 代 入,即可求得
菁优网版权所有

C .

D 2 .

38

解答:

a 和 c 的关系, 离心率可得. 解:依题意可 知,其中一个 渐近线的方 程 y= x, |OF|=c= ,F ( 0) |MF|= ,

=a ∵∠MFO=30 ° ∴|OF|=2|MF| ,即 c=2a ∴e= =2 故选 D 本题主要考 查了双曲线 的简单性 质.解此题的 关键是从边 的关系中找 到 a 和 c 的关 系.

点评:

21. (2015?广西校级一模)如图,F1,F2 是双曲线 C1:x ﹣

2

=1 与椭圆 C2 的公共焦点, )

点 A 是 C1,C2 在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率是(

39

A . 考点: 专题:

B . 双曲线的简 单性质. 计算题;圆锥 曲线的定义、 性质与方程. 利用双曲线 的定义,可求 出|F2A|=2, |F1F2|=4,进 而有
菁优网版权所有

C .

D .

分析:

解答:

|F1A|+|F2A|=6 ,由此可求 C2 的离心率. 解:由题意 知, |F1F2|=|F1A|= 4, ∵|F1A|﹣ |F2A|=2, ∴|F2A|=2, ∴|F1A|+|F2A| =6, ∵|F1F2|=4, ∴C2 的离心 率是 = . 故选 B. 本题考查椭 圆、双曲线的 几何性质,考 查学生的计 算能力,正确 运用椭圆、双 曲线的几何 性质是关键.

点评:

22. (2015?仁寿县模拟)已知 F1、F2 分别是双曲线 C:



=1 的左、右焦点,若 F2 关 )

于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线 C 的离心率为( A B 3 C D 2

40

. 考点: 专题:

. 双曲线的简 单性质. 圆锥曲线的 定义、性质与 方程.
菁优网版权所有





分析:

求出 F2 到渐 近线的距离, 利用 F2 关于 渐近线的对 称点恰落在 以 F1 为圆心, |OF1|为半径 的圆上,可得 直角三角形, 即可求出双 曲线的离心 率. 解:由题意, F1(﹣c,0) , F2(c,0) , 一条渐近线 方程为 ,则 F2 到渐近线的 距离为 =b. 设 F2 关于渐 近线的对称 点为 M,F2M 与渐近线交 于 A, ∴|MF2|=2b, A 为 F2M 的 中点 又 0 是 F1F2 的中点, ∴OA∥F1M, ∴∠F1MF2 为直角,

解答:

41

∴△MF1F2 为直角三角 形, ∴由勾股定 理得 4c =c +4b 2 2 ∴3c =4(c 2 ﹣a ) , 2 2 ∴c =4a , ∴c=2a, ∴e=2. 故选 D. 本题考查双 曲线的几何 性质,考查勾 股定理的运 用,考查学生 的计算能力, 属于中档题.
2 2 2

点评:

23. (2015?湖北校级模拟)已知双曲线



=1(a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1、

F2,以 F1F2 为直径的圆被直线 + =1 截得的弦长为 A 3 . 考点: 专题: B 2 . 双曲线的简 单性质. 计算题;圆锥 曲线的定义、 性质与方程. 求出圆心到 直线的距离,
菁优网版权所有

a,则双曲线的离心率为( D .



C .

分析:

利用以 F1F2 为直径的圆 被直线 + =1 截得 的弦长为 a, 求出 a, c 的关系,即 可求出双曲

42

解答:

线的离心率. 解:由题意, 圆心到直线 的距离为 d= =

, ∵以 F1F2 为 直径的圆被 直线 + =1 截得的弦长 为 a, ∴2

点评:

= a, 4 ∴2(c ﹣ 2 2 2 2 a b )=3a c , 4 2 ∴2c ﹣2a 2 2 (c ﹣a ) 2 2 =3a c , 4 ∴2e ﹣ 2 5e +2=0, ∵e>1, ∴e= . 故选:D. 熟练掌握双 曲线的性质 和圆中弦长 的计算、离心 率计算公式 是解题的关 键.

二.填空题(共 7 小题) 24. (2015?山东)过双曲线 C: (a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平 .

行的直线,交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为 2+

43

考点: 专题:

分析:

解答:

双曲线的简 单性质. 计算题;开放 型;圆锥曲线 的定义、性质 与方程. 求出 P 的坐 标,可得直线 的斜率,利用 条件建立方 程,即可得出 结论. 解:x=2a 时, 代入双曲线 方程可得 y=± b, 取P (2a,﹣ b) , ∴双曲线 C:
菁优网版权所有

(a>0,b> 0)的右焦点 作一条与其 渐近线平行 的直线的斜 率为 , ∴ ∴e= =2+ . 故答案为: 2+ . 本题考查双 曲线的性质, 考查学生的 计算能力,比 较基础. =

点评:

44

25. (2015?湖南)设 F 是双曲线 C:



=1 的一个焦点.若 C 上存在点 P,使线段 PF .

的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为 考点: 专题: 双曲线的简 单性质. 圆锥曲线的 定义、性质与 方程. 设 F(c,0) , P (m, n) , (m <0) ,设 PF 的中点为 M (0,b) ,即 有 m=﹣c, n=2b, 将中点 M 的坐标代 入双曲线方 程,结合离心 率公式,计算 即可得到. 解:设 F(c, 0) , P (m, n) , (m<0) , 设 PF 的中点 为 M(0,b) , 即有 m=﹣c, n=2b, 将点(﹣c, 2b)代入双曲 线方程可得,
菁优网版权所有

分析:

解答:



=1, 可得 e=
2

=5,

解得 e= . 故答案为:

45

点评:

. 本题考查双 曲线的方程 和性质,主要 考查双曲线 的离心率的 求法,同时考 查中点坐标 公式的运用, 属于中档题.

26. (2014?浦东新区校级模拟)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0) ,AM 为∠F1AF2 的平分线,则|AF2|= 考点: 专题: 分析: 双曲线的简 单性质. 压轴题. 利用双曲线 的方程求出 双曲线的参 数值;利用内 角平分线定 理得到两条 焦半径的关 系,再利用双 曲线的定义 得到两条焦 半径的另一 条关系,联立 求出焦半径. 解: 不妨设 A 在 双曲线的右 支上 ∵AM 为 ∠F1AF2 的平 分线
菁优网版权所有

的左、右焦点, 6 .

解答:



=

46

点评:

又∵|AF1|﹣ |AF2|=2a=6 解得|AF2|=6 故答案为 6 本题考查内 角平分线定 理;考查双曲 线的定义:解 有关焦半径 问题常用双 曲线的定义.

27. (2014?浙江)设直线 x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线

=1(a>0,b>0)的两条渐

近线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是



考点: 专题:

分析:

双曲线的简 单性质. 圆锥曲线的 定义、性质与 方程. 先求出 A,B 的坐标,可得 AB 中点坐标 为
菁优网版权所有

( , ) , 利用点 P (m, 0)满足 |PA|=|PB|,可 得

47

解答:

=﹣3, 从而可 求双曲线的 离心率. 解:双曲线

(a>0,b> 0)的两条渐 近线方程为 y=± x,则 与直线 x﹣ 3y+m=0 联 立,可得 A ( , ) ,B (﹣ ) , ∴AB 中点坐 标为 ( , ) , ∵点 P (m, 0) 满足 |PA|=|PB|, ∴ ,

48

=﹣3, ∴a=2b, ∴

=

b, .

∴e= =

故答案为: . 点评: 本题考查双 曲线的离心 率,考查直线 的位置关系, 考查学生的 计算能力,属 于中档题.

28. (2013?湖南)设 F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C .

上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△ PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为 考点: 专题: 双曲线的简 单性质. 圆锥曲线的 定义、性质与 方程. 利用双曲线 的定义求出 |PF1|,|F1F2|, |PF2|,然后利 用最小内角 为 30°结合余 弦定理,求出 双曲线的离 心率. 解:因为 F1、
菁优网版权所有

分析:

解答:

49

F2 是双曲线 的两个焦点, P 是双曲线上 一点,且满足 |PF1|+|PF2|=6 a, 不妨设 P 是双 曲线右支上 的一点,由双 曲线的定义 可知|PF1|﹣ |PF2|=2a 所以 |F1F2|=2c, |PF1|=4a, |PF2|=2a, ∵△PF1F2 的 最小内角 ∠PF1F2=30° ,由余弦定 理, ∴|PF2| =|F1F 2 2 2| +|PF1| ﹣ 2|F1F2||PF1|co s∠PF1F2, 即 4a =4c +16a ﹣2c×4a× , 2 ∴c ﹣ 2 2 ca+3a =0 , ∴c= a 所以 e= = .
2 2 2 2

点评:

故答案为: . 本题考查双 曲线的定义, 双曲线的离 心率的求法, 考查计算能 力.

50

29. (2006?江西)已知 F1,F2 为双曲线 P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点.下面四个命题( A、△ PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=a 上; B、△ PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x=b 上; C、△ PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上; D、△ PF1F2 的内切圆必通过点(a,0) . 其中真命题的代号是 A,D (写出所有真命题的代号) . 考点: 专题: 分析: 双曲线的简 单性质. 综合题;压轴 题. 设△ PF1F2 的 内切圆分别
菁优网版权所有

的两个焦点, )

解答:

与 PF1、PF2 切于点 A、 B, 与 F1F2 切于 点 M, 则可知 |PA|=|PB|, |F1A|=|F1M|, |F2B|=|F2M|, 点 P 在双曲线 右支上,根据 双曲线的定 义可得|PF1| ﹣|PF2|=2a, 因此|F1M|﹣ |F2M|=2a,设 M 点坐标为 (x,0) ,代 入即可求得 x,判断 A,D 正确. 解:设 △ PF1F2 的内 切圆分别与 PF1、 PF2 切于 点 A、B,与 F1F2 切于点 M, 则|PA|=|PB|, |F1A|=|F1M|,
51

|F2B|=|F2M|, 又点 P 在双曲 线右支上, 所以|PF1|﹣ |PF2|=2a,故 |F1M|﹣ |F2M|=2a,而 |F1M|+|F2M|= 2c, 设 M 点坐标 为(x,0) , 则由|F1M|﹣ |F2M|=2a 可 得(x+c)﹣ (c﹣x)=2a 解得 x=a,显 然内切圆的 圆心与点 M 的连线垂直 于 x 轴, 故 A、 D 正确. 本题主要考 查了双曲线 的简单性 质.特别是灵 活利用了双 曲线的定义.

点评:

30. (2005?浙江)过双曲线

(a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双

曲线相交于 M、N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等 于 2 . 考点: 专题: 分析: 双曲线的简 单性质. 计算题;压轴 题. 先设出双曲 线的左焦点 和右顶点,根 据以 MN 为 直径的圆恰 好过双曲线
菁优网版权所有

52

的右顶点,可 知 |F1M|=|F1A|, 进而得 ,整 理后即可求 得 e. 解:设双曲线

解答:

(a>0,b> 0)的左焦点 F1,右顶点为 A, 因为以 MN 为直径的圆 恰好过双曲 线的右顶点, 故 |F1M|=|F1A|, ∴ ∴e ﹣ 1=1+e? ∴e=2 点评: 故答案为 2 本题主要考 查了双曲线 的简单性 质.属基础 题.
2

53


相关文档

函数的基本性质练习题 菁优网
双曲线的定义及性质练习题(一) 菁优网2018.4.27
椭圆的性质练习题 菁优网
菁优网习题
平面向量练习题(二) 菁优网
平面向量练习题(一) 菁优网
抛物线性质练习题 菁优网(4)
统计练习题(必修三) 菁优网
电脑版