高考数学第二轮复习 三角函数专题测试

2009 届高考数学第二轮复习 三角函数专题测试 (一)典型例题讲解:
例 1 不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值
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命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能 力的要求较高 知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟,计算易出错 技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题, 使解法更简单更精妙,需认真体会
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解法一 =

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sin220°+cos280°+ 3 sin220°cos80°
3 sin20°cos80°

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 2 2

=1- cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) =1- cos40°+
1 2 1 (cos120°cos40°-sin120°sin40°) 2

1 2

1 2

+ 3 sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)
3 3 1 1 3 sin40°+ sin40°- sin220° 4 4 2 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= 4 4 4

=1- cos40°- cos40°-

解法二

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设 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°

y=cos220°+sin280°- 3 cos20°sin80°,则 x+y=1+1- 3 sin60°= , x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100° =-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0 ∴x=y= ,
1 4 1 2

即 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°= 例 2、已知函数 f(x)=2cosxsin(x+
?
3

1 4

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)- 3 sin2x+sinxcosx

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值; ? 7? (3)若当 x∈[ , ]时,f(x)的反函数为 f-1(x),求 f--1(1)的值
12 12
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命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计 算变形能力,综合运用知识的能力 知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识 错解分析 在求 f--1(1)的值时易走弯路 技巧与方法 等价转化,逆向思维 ? 解 (1)f(x)=2cosxsin(x+ )- 3 sin2x+sinxcosx
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3

=2cosx(sinxcos

?
3

+cosxsin

?
3

)- 3 sin2x+sinxcosx
?
3

=2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+

)

∴f(x)的最小正周期 T=π ? 5? ? (2)当 2x+ =2kπ - ,即 x=kπ - (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2
3 2 12

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(3)令 2sin(2x+

?
3

2 2 ? ? 3? ? 5? ∴2x+ ∈[ , ],∴2x+ = , 3 3 2 3 6

? 7? )=1,又 x∈[ , ],

则 x=

?
4

,故 f--1(1)=

?
4

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例 3、如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变 化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b (1)求这段时间的最大温差 (2)写出这段曲线的函数解析式 命题意图 本题以应用题的形式考查备考中的热 点题型, 要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结 合起来分析、思考,充分体现了“以能力立意”的命题 原则 知识依托 依据图象正确写出解析式
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y 温度/0C
30 20 10 时间/h 6 10 14

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o

x

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错解分析 不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母 技巧与方法 数形结合的思想,以及运用待定系数法确定函数的解析式 解 (1)由图示,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃); (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图象 1 2? ? ∴ ? =14-6,解得ω = , 2 ? 8 1 1 ? 由图示 A= (30- 10)=10 , b= (30+10)=20 ,这时 y=10sin( x+ φ )+20,将
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2

2

8

x=6,y=10 代入上式可取φ = π

3 4

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综上所求的解析式为 y=10sin(

?
8

x+ π )+20,x∈[6,14]

3 4

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例 4 、已知△ ABC 的三内角 A 、 B 、 C 满足 A+C=2B ,设 x=cos f(x)=cosB(
1 1 ) ? cos A cos C
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A?C , 2

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(1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断其单调性,并加以证明; (3)求这个函数的值域 命题意图 本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力,并且考查 考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力 知识依托 主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决 问题 错解分析 考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点,并且不易想到运 用函数的单调性去求函数的值域问题 技巧与方法 本题的关键是运用三角函数的有关公式求出 f(x)的解析式, 公式
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主要是和差化积和积化和差公式 解
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在求定义域时要注意|

A?C |的范围 2

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(1)∵A+C=2B,∴B=60°,A+C=120°

A?C A?C 2 cos cos 1 cos A ? cos C 2 2 f ( x) ? ? ? ? 2 cos A ? cos C cos( A ? C ) ? cos( A ? C )

x 1 ? ? 2 x2 ? 1 2

?

2x , 4 x2 ? 3

∵0°≤|

A?C A?C 1 |<60°,∴x=cos ∈( ,1 ] 2 2 2
3 3 3 1 ,∴定义域为( , )∪( ,1] 2 2 2 2
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又 4x2-3≠0,∴x≠

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(2)设 x1<x2, ∴f(x2)-f(x1)=
2 x2 4 x2 ? 3
2

?

2 x1 4 x1 ? 3
2

=

2( x1 ? x2 )( 4 x1 x2 ? 3) (4 x1 ? 3)( 4 x2 ? 3)
2 2



若 x1,x2∈( , -f(x1)<0

1 3 ),则 4x12-3<0,4x22-3<0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2) 2 2 3 ,1] ,则 4x12-3>0 2

即 f(x2)<f(x1),若 x1,x2∈(
1 2

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4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0 即 f(x2)<f(x1),∴f(x)在( ,
1 2 1 2

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3 3 )和( ,1 ] 上都是减函数 2 2
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(3)由(2)知,f(x)<f( )=- 或 f(x)≥f(1)=2 故 f(x)的值域为(-∞,- )∪[2,+∞ )
1 2
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(二)巩固练习

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一. 选择题 1. tan15? ? cot15? ? A. 2

(

)

B. 2 ? 3 C. 4 D. ? 2 3 2 ? 3 ? , 那么 tan( ? ? ) ? 2. 已知 tan( ? ? ?) ? , tan( ? ? ) ? ( ) 5 4 22 4 1 13 1 13 A. B. C. D. 5 18 4 22 ? 3? 12 3 3. 已知 <β <α < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,则 sin2α 的值为
2 4 13 5

A. ?

56 65

B. ?

56 65

C.

56 65

D.

5 13

4. 已知 tan ? 、 cot ? 是关于 x 方程 x2 ? kx ? k 2 ? 3 ? 0 的两实根,且 3? ? ? ?
cos(3? ? ? ) ? sin(? ? ? ) 的值为.

7? .则 2

A.1

B.

2

C. 3 则 x 的范围是

D.2

5. 设 0 ? x ? 2? 且 1 ? sin 2x ? sin x ? cos x
3 7 A. [0, ? ] [ ? , 2? ] 4 4 ? 5 C. [ , ? ] 4 4

? 3 5 B. [ , ? ] [ ? , 2? ] 2 4 4
D. [0, ? ]

6、为了得到函数 y ? sin( 3 x ? A、向左平移

?
6

) 的图象,只需把函数 y ? sin 3x 的图象(



? ? ? ? B、向左平移 C、向右平移 D、向右平移 18 18 6 6 7、函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象一个对称中心的坐标是 ( ) 3? 3? ? ? A、 ( , 0) B、 ( , 1) C、 ( , 1) D、 ( ? ,?1) 8 8 8 8
? , x ? R) 的部分 2 图象如图所示,则函数表达式为( )

8、函数 y ? A sin( ?x ? ?)( ? ? 0, ? ?

? ? ? ? (A) y ? ?4 sin( x ? ) (B) y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4
? ? ? ? (C) y ? ?4 sin( x ? ) (D) y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4 ? 9、把函数 y ? ?3 cos( 2 x ? ) 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位,设所得图象的解析 3 式为 y ? f ( x) ,则当 y ? f ( x) 是偶函数时, m 的值可以是( ) ? ? ? ? A、 B、 C、 D、 12 3 6 4

10 、 ?ABC 的 三内角 A, B, C 的对边边长分别为 a, b, c ,若 a ?
cosB ? (

5 b, A ? 2 B ,则 2

)

(A)

5 3

(B)

5 4

(C)

5 5

(D)

5 6

11、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2= 3 ac,则角 B 的 值为( ) ? ? ? 5? ? 2? A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 3 6 3 12、给出四个命题 (1)若 sin2A=sin2B,则△ABC 为等腰三角形;(2)若 sinA=cosB, 则△ABC 为直角三角形;(3)若 sin2A+sin2B+sin2C<2,则△ABC 为钝角三角形; (4)若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC 为正三角形 以上正确命题的个 数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4
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二、填空题: ? 1 2? ? 2? ) ? 13. 若 sin( ? ?) ? , 则 cos( 6 3 3

. .

14. 已知 ? 、 ? 均为锐角, 且 cos(? ? ?) ? sin(? ? ?), 则 tan ? ? 15、函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是_________

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? ? 16、设ω >0,若函数 f(x)=2sinω x 在[- , , ]上单调递增,则ω 的取值范围是
3 4

_________

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17、在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 a ? 3, b ? 3, c ? 30?, 则 A= 18、在△ABC 中,A 为最小角,C 为最大角,已知 cos(2A+C)=- ,sinB= ,则 cos2(B+C)=__________ 三、解答题: 19. 已 知 ? 为 第 二 象 限 的 角 , sin ? ?
tan(2? ? ?) 的值.
3 5 , ? 为 第 一 象 限 的 角 , cos ? ? , 求 5 13
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4 3

4 5

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20. 已知向量 a =(cosα ,sinα ),求 b =(cosβ ,sinβ ), | a ? b |= (I)求 cos(α ? β )的值; (II)若 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,且 sinβ = ?
2 2

2 5. 5

5 ,求 sinα 的值. 13

21

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2 设函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2x ? a(a ? R) .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;
x ? [0, ] 6 时, f ( x) 的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y ? f ( x)( x ? R) 的对 (Ⅱ)当

?

称轴方程.

?π ? ?π π? 22、已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?
(I)求 f ( x) 的最大值和最小值;
?π π? (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

23、在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, 4 sin 2 (1)求角 A 的度数; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值
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B?C 7 ? cos 2 A ? 2 2

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24 如右图,在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边 缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ 的正弦
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sin? 成正比,角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比,即 I=k· 2 , r

h R

r ?

其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,那么怎样选择电灯悬挂的高 度 h,才能使桌子边缘处最亮?

答案: 一. 选择题 题 号 答 案 二. 填空题 13.
? 7 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

B

A

B

A

B

B

A

B

B

A

B


3 . 2

14. 1; 17.

15.
30 0

? 2
18.
527 . 625

16、 0 ? ? ? 三. 解答题

19. 解: ? 是第二象限角, sin ? ?

3 4 3 24 ? cos ? ? ? ? tan ? ? ? ? tan 2? ? ? , 5 5 4 7 5 12 204 ? tan( 2? ? ?) ? ? 是第一象限角, cos ? ? ? tan ? ? 13 5 253

20.解: (1)∵| a ? b |=

2 4 5 ,∴ a 2 ? 2 a · b + b 2= , 5 5

又 a =(cosα ,sinα ), b =(cosβ ,sinβ ), ∴ a 2= b 2=1, a · b =cosα cosβ +sinα sinβ =cos(α ? β ).

2?
∴cos(α ? β )=

4 5 ? 3. 2 5

3 (2)∵ ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,∴0<α -β <π ,由(1)得 cos(α ? β )= , 5 2 2

∴sin(α ? β )=

4 . 5

又 sinβ = ?

5 12 ,∴cosβ = . 13 13

∴sinα =sin[(α ? β )+β ]=sin(α ? β )cosβ +cos(α ? β )sinβ = ×

4 5

12 3 5 33 ? ? (? ) ? 13 5 13 65
?

f ( x) ? 2 cos 2 x ? sin 2 x ? a ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? a ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? a 4 21、解: (1) T? 2? ??

则 f ( x) 的最小正周期
2 k? ?

?



?
2

且当

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z )

时 f ( x) 单调递增.



x ? [ k? ?

3? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8 为 f ( x) 的单调递增区间

? ? ? 7? ? ? ? ? x ? [0, ] ? ? 2x ? ? 2x ? ? x? sin(2 x ? ) ? 1 6 时 4 4 12 ,当 4 2 ,即 8时 4 (2)当 .
所以 f ( x)max ? 2 ?1 ? a ? 2 ? a ? 1? 2 .
2x ?

?
4

? k? ?

?
2

?x?

k? ? ? (k ? Z ) 2 8 为 f ( x) 的对称轴

? ?π ?? 22、解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ?? ?
π π 2π π? ? ?π π? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? .又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ 6 3 3 3? ? ?4 2?

π? ? 即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , ∴ f ( x)max ? 3 ,f ( x)min ? 2 . 3? ? ?π π? (Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , ?4 2?
, 4) . ∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1

23、解: (1)由4sin 2

B?C 7 ? cos 2 A ? 及A ? B ? C ? 180?, 得 : 2 2 7 2[1 ? cos( B ? C )] ? 2 cos 2 A ? 1 ? , 4(1 ? cos A) ? 4 cos 2 A ? 5 2 1 即4 cos 2 A ? 4 cos A ? 1 ? 0,? cos A ? , 0? ? A ? 180?,? A ? 60? 2

(2)由余弦定理得 : cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc

1 b2 ? c 2 ? a 2 1 cos A ? ? ? ? (b ? c) 2 ? a 2 ? 3bc. 2 2bc 2

?b ? c ? 3 ?b ? 1 ?b ? 2 将a ? 3, b ? c ? 3代入上式得 : bc ? 2 由? 得: ? 或? . ?bc ? 2 ?c ? 2 ?c ? 1
1 cos ? ? ? ,0 ? ? ? , r R 2

24、解
I ?k?

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R=rcosθ ,由此得

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sin ? sin ? ? cos 2 ? k ? k ? ? 2 ? (sin ? ? cos 2 ? ) 2 2 r R R

2I 2 ? (

k 2 k 2 ) ? 2sin 2 ? ? (1 ? sin 2 ? )(1 ? sin 2 ? ) ? ( 2 ) 2 ? ( )3 2 R R 3 k 2 3 2 ? 3, 等号在 sin ? ? 时成立, 此时h ? R tan ? ? R 2 R 9 3 2

由此得I ?


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