最新高考数学(文)第八章 立体几何 8-3习题及答案

1.已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面,则下列命题正确的 是( ) 点击观看解答视频 A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 答案 解析 D A 中, 垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行, 故 A 错误; B 中,平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,故 B 错误;C 中, 若两个平面相交,则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行,故 C 错误;D 中,若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,所以若两条直 线不平行,则它们不可能垂直于同一个平面,故 D 正确. 2.如图,三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,∠ABC= π ,点 D,E 在 2 线段 AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EF∥BC. (1)证明:AB⊥平面 PFE; (2)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长. 解 (1)证明: 如图, 由 DE=EC, PD=PC 知, E 为等腰△PDC 中 DC 边的中点, 故 PE⊥AC. 又平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,PE? 平面 PAC,所以 PE ⊥平面 ABC,从而 PE⊥AB. 因∠ABC= π ,EF∥BC,故 AB⊥EF. 2 从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE,EF 都垂直,所以 AB⊥平面 PFE. (2)设 BC=x,则在 Rt△ABC 中, AB= AC2-BC2= 36-x2, 1 1 从而 S△ABC= AB·BC= x 36-x2. 2 2 由 EF∥BC 知, AF AE 2 = = , AB AC 3 S△AFE ?2?2 4 =? ? = , S△ABC ?3? 9 得△AFE∽△ABC,故 4 即 S△AFE= S△ABC. 9 1 1 1 4 2 1 由 AD= AE,得 S△AFD= S△AFE= · S△ABC= S△ABC= x 36-x2, 2 2 2 9 9 9 从而四边形 DFBC 的面积为 SDFBC=S△ABC-S△AFD= x 1 2 1 36-x2- x 9 36-x2= 7 x 18 36-x2. 由(1)知,PE⊥平面 ABC, 所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高. 在 Rt△PEC 中,PE= PC2-EC2= 42-22=2 3. 1 1 7 体积 VP-DFBC= ·SDFBC·PE= · x 36-x2·2 3=7, 3 3 18 故得 x4-36x2+243=0,解得 x2=9 或 x2=27,由于 x>0,可得 x=3 或 x =3 3. 所以,BC=3 或 BC=3 3. 3.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1.设 AB1 的中点 为 D,B1C∩BC1=E. 求证:(1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1. 证明 (1)由题意知,E 为 B1C 的中点, 又 D 为 AB1 的中点,因此 DE∥AC. 又因为 DE?平面 AA1C1C,AC? 平面 AA1C1C, 所以 DE∥平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC. 因为 AC? 平面 ABC,所以 AC⊥CC1. 又因为 AC⊥BC,CC1? 平面 BCC1B1,BC? 平面 BCC1B1,BC∩CC1=C,所以 AC ⊥平面 BCC1B1. 又因为 BC1? 平面 BCC1B1,所以 BC1⊥AC. 因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1 是正方形,因此 BC1⊥B1C. 因为 AC,B1C? 平面 B1AC,AC∩B1C=C,所以 BC1⊥平面 B1AC.又因为 AB1? 平 面 B1AC,所以 BC1⊥AB1. 4.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明由); (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系,并证明你的结论; (3)证明:直线 DF⊥平面 BEG. 解 (1)点 F,G,H 的位置如图所示. (2)平面 BEG∥平面 ACH,证明如下: 因为 ABCD-EFGH 为正方体, 所以 BC∥FG,BC=FG, 又 FG∥EH,FG=EH, 所以 BC∥EH,BC=EH, 于是四边形 BCHE 为平行四边形, 所以 BE∥CH. 又 CH? 平面 ACH,BE?平面 ACH, 所以 BE∥平面 ACH. 同 BG∥平面 ACH. 又 BE∩BG=B, 所以平面 BEG∥平面 ACH. (3)证明:连接 FH. 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 DH⊥平面 EFGH. 因为 EG? 平面 EFGH,所以 DH⊥EG. 又 EG⊥FH,DH∩FH=H,所以 EG⊥平面 BFHD. 又 DF? 平面 BFHD,所以 DF⊥EG. 同 DF⊥BG. 又 EG∩BG=G,所以 DF⊥平面 BEG. 5.如图,三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面 BCD⊥平面 EGH. 证明 (1)证法一: 连接 DG, CD, 设 CD∩GF=M, 连接 MH.在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G 为 AC 的中点,可得 DF∥GC,DF=GC, 所以四边形 DFCG 为平行四边形, 则 M 为 CD 的中点,又 H 为 BC 的中点,所以 HM∥BD. 又 HM? 平面 FGH,BD?平面 FG

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