(人教A版)数学【选修2-2】2-3《数学归纳法》ppt课件_图文

第二章 推理与证明 §2.3 数学归纳法 课前预习目标 课堂互动探究 课前预习目标 梳理知识 夯实基础 自学导引 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的 数学命题. 课前热身 数学归纳法只适用于与__________有关的命题,其步骤 为: (1)(归纳奠基)__________; (2)(归纳递推)假设__________时命题成立,证明 __________命题也成立. 只有完成这两步骤,就可断定,命题对从n0开始的所有正 整数n都成立. 自 我 校 对 正整数 (1)证明n取第一个值n0(n0∈N*)时命题 成立 (2)n=k(k≥n0,k∈N*) 当n=k+1时 名师讲解 1.如何正确运用数学归纳法 用数学归纳法证明数学命题关键在于:“递推基础不可 少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”. 因此,必须做到以下三点: (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明:第一个步骤是找到一个n0,这个 n0是使命题成立的最小正整数,并不一定是1,因此找准起 点.奠基要稳,这是第一步要解决的问题. (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推,所以从k到k+1的过程,必 须把假设作为条件,还可以利用已经学过的定义、定理、公 式、方法等进行证明n=k+1时,命题也成立. (3)正确寻找递推关系 在数学归纳法中的第二步至关重要,如何找到从n=k到n =k+1的递推关系呢? ①在第一步中验证n=n0时,不妨多计算几项,这样对发 现递推关系可能有帮助. ②在有关数列、几何问题中,可以列举n取前几个值时的 变化情况发现规律或用f(k+1)-f(k)看n从k到k+1增加了哪些 项,减少了哪些项,都要分析清楚,在推导过程中要把步骤写 完整,注意证明过程中的严谨性、规范性. 2.对数学归纳法的步骤的理解 用数学归纳法证明命题的两个步骤,是缺一不可的.如果 只有步骤(1)而缺少步骤(2),作出的判断可能是错误的,单靠 步骤(1)也无法递推下去.同样只有步骤(2)而缺少步骤(1),也 可能得出不正确的结论.例如,假设n=k时,等式 2+4+6+?+2n=n2+n+1成立,就是 2+4+6+?+2k=k2+k+1. 那么2+4+6+?+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k +1)2+(k+1)+1. 这就是说,如果n=k时等式成立,那么n=k+1时等式也 成立,但仅根据这一步,就得出等式对任何n∈N*都成立的结 论,那么就错了,事实上,当n=1时,等式就不成立,因此, 数学归纳法的两个步骤缺一不可. 课堂互动探究 剖析归纳 触类旁通 典例剖析 一 证明恒等式 1 2 【例1】 用数学归纳法证明1+4+7+?+(3n-2)= n(3n-1)(n∈N*). 【分析】 按数学归纳法的解题步骤进行证明,要清楚等 式两边的结构,特别当n=1时,等式两边分别是什么?当n=k 到n=k+1等式两边发生了什么变化,这是解题的关键. 【证明】 (1)当n=1时,左边=3×1-2=1,右边= ×1×(3×1-1)=1,等式成立. 1 2 1 (2)假设n=k时,等式成立,即1+4+7+?+(3k-2)= 2 k(3k-1),那么当n=k+1时,有 1+4+7+?+(3k-2)+[3(k+1)-2] 1 =2k(3k-1)+3k+1 1 2 =2(3k +5k+2) 1 =2(k+1)(3k+2) 1 =2(k+1)[3(k+1)-1]. 即n=k+1时等式也成立. 综上,由(1)与(2)可知,对一切n∈N*,等式成立. 规律技巧 用数学归纳法证明数学命题,关键要看两个步 骤是否齐全,特别是第二步的归纳假设是否被利用,若没有利 用归纳假设,那就不正确. 二 归纳、猜想、证明 【例2】 已知数列{an}中,a2=a+2(a为常数),Sn是{an} 的前n项和,且Sn是nan与na的等差中项. (1)求a1,a3; (2)猜想an的表达式,并用数学归纳法加以证明. 【分析】 由Sn是nan与na的等差中项及a2=a+2可求a1, a3,再猜出an,进而用数学归纳法证明. 【解】 (1)由已知2Sn=nan+na=n(an+a). 当n=1时,S1=a1,所以2a1=a1+a,即a1=a; 当n=3时,S3=a1+a2+a3,所以有 2(a1+a2+a3)=3(a3+a), ∵a2=a+2,a1=a, ∴a3=a+4. (2)由a1=a,a2=a+2,a3=a+4, 猜想:an=a+2(n-1). 证明:①当n=1时,左边=右边,等式成立; 当n=2时,a2=a+2,知等式也成立. ②假设n=k(k≥2)时,等式成立, 即ak=a+2(k-1). 那么当n=k+1时, ak+1+a ak+a ak+1=Sk+1-Sk= (k+1)- · k, 2 2 ∴2ak+1=(ak+1+a)(k+1)-(ak+a)· k. ∴(k-1)ak+1=kak-a. k a 当k≥2时,ak+1= a- , k-1 k k-1 将ak=a+2(k-1)代入,得 k a ak+1= [a+2(k-1)]- k-1 k-1 ?k-1?a+2k?k-1? = k-1 =a+2[(k+1)-1]. ∴当n=k+1时,等式也成立. 综上由①,②知,对任意n∈N*,等式an=a+2(n-1)都成 立. 规律技巧 此类题在考试中经常出现,它是考查探究归纳 能力的好素材,应切实掌握. 三 与自然数有关的应用问题 【例3】 (整除问题)用数学归纳法证明:(3n+1)· 7n-1(n ∈N*)能被9整除. 【分析】 成立; (2)假设n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立. 按照数学归纳法证明步骤:(1)先证n=1时命题 【证明】 (1)当n=1时,4×7-1=27能被9整除,命题 成立. (2)假设n=k时命题成立,即(3k+1)

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