【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 文

【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、 解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 文

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 π 3π 正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0),( ,1),(π ,0),( , 2 2 -1),(2π ,0). π 余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,1),( ,0),(π ,-1), 2 ( 3π ,0),(2π ,1). 2

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象

定义域

R

R

π {x|x∈R 且 x≠ + 2

kπ ,k∈Z}
值域 [-1,1] π π 在[- +2kπ , + 2 2 单调性 2kπ ](k∈Z)上递增; π 3π 在[ +2kπ , + 2 2 [-1,1] 在[2kπ ,π + 2kπ ](k∈Z)上递减 在[-π +2kπ , 2kπ ](k∈Z)上递增; π π 在(- +kπ , + 2 2 R

kπ )(k∈Z)上递增

1

2kπ ](k∈Z)上递减

π 当 x= + 2 2kπ (k∈Z)时,ymax= 最值 π 1;当 x=- + 2 2kπ (k∈Z)时,ymin= -1 奇偶性 对称中心 对称轴方 程 周期 奇函数 (kπ ,0)(k∈Z) π 2

当 x=2kπ (k∈Z)时,

ymax=1;
当 x=π + 2kπ (k∈Z)时,ymin= -1 偶函数 ( π +kπ ,0) (k∈Z) 2 ( 奇函数


2

,0)(k∈Z)

x= +kπ (k∈Z)


x=kπ (k∈Z)
2π π

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y=sin x 在第一、第四象限是增函数.( × ) (2)常数函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期.( √ ) (3)正切函数 y=tan x 在定义域内是增函数.( × ) (4)已知 y=ksin x+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1.( × (5)y=sin |x|是偶函数.( √ ) (6)若 sin x> 2 π ,则 x> .( × ) 2 4 )

1.(教材改编)函数 f(x)=4-2cos 为 答案 2 . {x|x=6kπ ,k∈Z}

1 x 的最小值是 3

,取得最小值时,x 的取值集合

2

1 解析 ∵-1≤cos x≤1,∴f(x)min=4-2×1=2, 3 1 1 此时的 cos x=1, x=2kπ ,∴x=6kπ ,k∈Z. 3 3 2.(2015·扬州模拟)函数 y=lg(sin x-cos x)的定义域为
? ? π 5π 答案 ?x|2kπ + <x<2kπ + ,k∈Z? 4 4 ? ?



解析 sin x-cos x>0,即 sin x>cos x. 画出 y=sin x 及 y=cos x 在[0,2π ]上的图象如图.

由图象知原函数的定义域为
? ? π 5π ?x|2kπ + <x<2kπ + ,k∈Z?. 4 4 ? ?

π π π 3.若函数 f(x)=sin ω x(ω >0)在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减, 3 3 2 则ω= 答案 3 2 .

解析 ∵f(x)=sin ω x(ω >0)过原点, π π ∴当 0≤ω x≤ ,即 0≤x≤ 时, 2 2ω

y=sin ω x 是增函数;
π 3π π 3π 当 ≤ω x≤ ,即 ≤x≤ 时, 2 2 2ω 2ω

y=sin ω x 是减函数.

? π? 由 f(x)=sin ω x(ω >0)在?0, ?上单调递增, 3? ?
在?

?π ,π ?上单调递减知, π =π ,∴ω =3. ? 2ω 3 2 ?3 2?


π? ? 4.函数 y=2sin?2x+ ? (x∈[-π ,0])的单调递减区间是 6? ? π? ? 5π 答案 ?- ,- ? 6 3

?

?

π π 3π 解析 ∵由题意知 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 6 2

3

π 2π ∴kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 6 3 5π π 又 x∈[-π ,0],∴- ≤x≤- . 6 3 π? ? ? π? 5 .函数 f(x) = 2sin ?2x- ? - m 在 x∈ ?0, ? 内有两个不同的零点,则 m 的取值范围 6? 2? ? ? 是 答案 [1,2) π? ? 解析 令 f(x)=0,则 m=2sin?2x- ?. 6? ? π π 5π π ? π? ? π 5π ? 因为 x∈?0, ?,故- ≤2x- ≤ ,设 2x- =t,则 m=2sin t,t∈?- , ?, 2? 6 ? 6 6 6 6 ? ? 6 根据题意并结合函数图象(图略)可知 m 的取值范围是[1,2). .

题型一 三角函数的定义域和值域 例 1 (1)函数 y= 2sin x-1的定义域为 π? π ? (2)函数 f(x)=3sin?2x- ?在区间[0, ]上的值域为 6 2 ? ? π 2 (3)函数 y=cos x+sin x(|x|≤ )的最小值为 4 π 5π ? ? 答案 (1)?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z) 6 6 ? ? 1- 2 ? 3 ? (2)?- ,3? (3) 2 ? 2 ? 1 解析 (1)由 2sin x-1≥0,得 sin x≥ , 2 π 5π 所以 2kπ + ≤x≤2kπ + (k∈Z). 6 6 . . .

? π? (2)当 x∈?0, ?时, 2? ?
π ? π 5π ? 2x- ∈?- , ?, 6 ? 6 ? 6 π? ? 1 ? ? sin?2x- ?∈?- ,1?, 6? ? 2 ? ? π? ? 3 ? ? 故 3sin?2x- ?∈?- ,3?, 6? ? 2 ? ?
4

? 3 ? 即此时函数 f(x)的值域是?- ,3?. ? 2 ?
π (3)令 t=sin x,∵|x|≤ , 4 ∴t∈?-

? ?

2 2? , ?. 2 2?

? 1?2 5 2 ∴y=-t +t+1=-?t- ? + , ? 2? 4
∴t=- 2 1- 2 时,ymin= . 2 2

思维升华 (1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象 来求解. (2)三角函数值域的不同求法 ①利用 sin x 和 cos x 的值域直接求; ②把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ω x+φ )的形式求值域; ③通过换元,转换成二次函数求值域. (1)函数 y=lg(sin x)+ 1 cos x- 的定义域为 . 2 .

(2)函数 y=sin x-cos x+sin xcos x 的值域为
? ? π 答案 (1)?x|2kπ <x≤ +2kπ ,k∈Z? 3 ? ?

? 1 ? (2)?- - 2,1? 2 ? ?
sin x>0, ? ? 解析 (1)要使函数有意义必须有? 1 cos x- ≥0, ? 2 ? sin x>0, ? ? 即? 1 cos x≥ , ? 2 ? 2kπ <x<π +2kπ ?k∈Z?, ? ? 解得? π π - +2kπ ≤x≤ +2kπ ?k∈Z?, ? 3 ? 3 π ∴2kπ <x≤ +2kπ (k∈Z), 3
? ? π ∴函数的定义域为?x|2kπ <x≤ +2kπ ,k∈Z?. 3 ? ? 5

(2)设 t=sin x-cos x, 则 t =sin x+cos x-2sin xcos x, 1-t sin xcos x= , 2 且- 2≤t≤ 2. 1 1 2 ∴y=- +t+ =- (t-1) +1. 2 2 2 当 t=1 时,ymax=1; 1 当 t=- 2时,ymin=- - 2. 2
2 2 2 2

t2

? 1 ? ∴函数的值域为?- - 2,1?. ? 2 ?
题型二 三角函数的单调性 π? ? 例 2 (1)函数 f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间是 3? ? .

π ? ?π ? ? (2) 已知 ω > 0 ,函数 f(x) = sin ?ω x+ ? 在 ? ,π ? 上单调递减,则 ω 的取值范围 4? ?2 ? ? 是 答案 (1)? .

?kπ -π ,kπ +5π ?(k∈Z) ? 12 ? ? 2 12 2

?1 5? (2)? , ? ?2 4?
π π π 解析 (1)由 kπ - <2x- <kπ + (k∈Z)得, 2 3 2


2



π kπ 5π <x< + (k∈Z), 12 2 12

π? ? ?kπ π kπ 5π ? 所以函数 f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间为? - , + ?(k∈Z). 3 12 ? ? ? ? 2 12 2 π (2)由 <x<π ,ω >0 得, 2 ωπ π π π + <ω x+ <ω π + , 2 4 4 4

?π 3π ? 又 y=sin x 在? , ?上递减, 2 ? ?2
ωπ π π ? ? 2 +4≥2, 所以? π 3π ?ω π + 4 ≤ 2 , ?

6

1 5 解得 ≤ω ≤ . 2 4 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间: ①求函数的单调区间应遵循简单化原则, 将 解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如 y=Asin(ω x+φ )或 y =Acos(ω x+φ )(其中 ω >0)的单调区间时,要视“ω x+φ ”为一个整体,通过解不等式 求解.但如果 ω <0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性弄错.(2)已 知三角函数的单调区间求参数.先求出整体函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解. π? ? (1)函数 f(x)=sin?-2x+ ?的单调减区间为 3? ? .

π ? ?π ? ? (2) 已知 ω > 0 ,函数 f(x) = cos ?ω x+ ? 在 ? ,π ? 上单调递增,则 ω 的取值范围 4? ?2 ? ? 是 .

π 5 ? ? 答案 (1)?kπ - ,kπ + π ?,k∈Z 12 12 ? ?

?3 7? (2)? , ? ?2 4?

π? ? 解析 (1)由已知函数为 y=-sin?2x- ?, 3? ? π? ? 欲求函数的单调减区间,只需求 y=sin?2x- ?的单调增区间. 3? ? π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 12 12 π 5π ? ? 故所给函数的单调减区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 12 12 ? ? (2)函数 y=cos x 的单调递增区间为 [-π +2kπ ,2kπ ],k∈Z, ωπ π ? ? 2 + 4 ≥-π +2kπ , 则? π ?ω π + 4 ≤2kπ , ? 5 1 解得 4k- ≤ω ≤2k- ,k∈Z, 2 4 1? 5 ? 1 又由 4k- -?2k- ?≤0,k∈Z 且 2k- >0,k∈Z, 4? 2 ? 4

k∈Z,

?3 7? 得 k=1,所以 ω ∈? , ?. ?2 4?
题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点 1 周期性
7

例 3

π? π? ? ? 在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?,④y=tan?2x- ?中,最 6? 4? ? ? .

小正周期为 π 的所有函数为 答案 ①②③

解析 ①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为 π ; ②由图象知 y=|cos x|的最小正周期为 π ; π? 2π ? ③y=cos?2x+ ?的最小正周期 T= =π ; 6? 2 ? π? π ? ④y=tan?2x- ?的最小正周期 T= , 4? 2 ? 故周期为 π 的有:①②③. 命题点 2 求对称轴、对称中心 例 4 π? ? (1) 已知函数 f(x) = sin ?ω x+ ? (ω >0) 的最小正周期为 π ,则该函数的图象 4? ?

(填正确的序号). π ①关于直线 x= 对称; 8

?π ? ②关于点? ,0?对称; ?4 ?
π ③关于直线 x= 对称; 4

?π ? ④关于点? ,0?对称. ?8 ?
π? ? ? π ? 则x = (2)已知函数 y=2sin?2x+ ?的图象关于点 P(x0,0)对称, 若 x0∈?- ,0?, 0 3? ? ? 2 ? π 答案 (1)① (2)- 6 π? 2π ? ?π ? ? π π? 解析 (1)依题意得 T= =π , ω =2, 故 f(x)=sin?2x+ ?, 所以 f? ?=sin?2× + ? 4? 8 4? ω ? ?8? ? =sin π 3π 2 ?π ? ? π π? ?π ? =1≠0,f? ?=sin?2× + ?=sin = ≠0,且 f? ?≠1,因此该函数的 4 4 4 2 4 2 ? ? ? ? ?4? .

π 图象关于直线 x= 对称. 8 π (2)由题意可知 2x0+ =kπ ,k∈Z, 3 故 x0=



π - ,k∈Z, 2 6

8

? π ? 又 x0∈?- ,0?, ? 2 ?
π ∴k=0 时,x0=- . 6 命题点 3 由对称性求参数 例 5 π? ? * (2015·西安八校联考 ) 若函数 y = cos ?ω x+ ? (ω ∈N ) 图象的一个对称中心是 6? ? .

?π ,0?,则 ω 的最小值为 ?6 ? ? ?
答案 2

πω π π * 解析 由题意知 + =kπ + (k∈Z)? ω =6k+2(k∈Z),又 ω ∈N ,∴ω min=2. 6 6 2 思维升华 (1)对于函数 y=Asin(ω x+φ ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对 称中心一定是函数的零点,因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心 时,可通过检验 f(x0)的值进行判断. (2)求三角函数周期的方法: ①利用周期函数的定义. 2π ②利用公式: y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 , y=tan(ω x+φ ) |ω | π 的最小正周期为 . |ω | (1)已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ),对于任意 x 都有 f?

?π +x?=f?π -x?,则 ? ?6 ? ?6 ? ? ?

f? ?的值为 6

?π ? ? ?

. .

5π (2)已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象关于直线 x= 对称,则实数 a 的值为 3 答案 (1)2 或-2 (2)- 3 3

?π ? ?π ? 解析 (1)∵f? +x?=f? -x?, ?6 ? ?6 ?
π ∴x= 是函数 f(x)=2sin(ω x+φ )的一条对称轴. 6

?π ? ∴f? ?=±2. ?6?
5π (2)由 x= 是 f(x)图象的对称轴, 3

9

可得 f(0)=f?

?10π ?,解得 a=- 3. ? 3 ? 3 ?

4.三角函数的对称性、周期性、单调性

典例

(1)(2015·四川改编)下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是

(填正确的序号). π? ? ①y=cos?2x+ ? 2? ? π? ? ②y=sin?2x+ ? 2? ? ③y=sin 2x+cos 2x ④y=sin x+cos x π (2)(2015·课标全国Ⅰ改编)函数 f(x)=cos(ω x+φ )的部分图象如图所示,且|φ |< ,则 2

f(x)的单调递减区间为



π π (3)已知函数 f(x)=2cos(ω x+φ )+b 对任意实数 x 有 f(x+ )=f(-x)成立, 且 f( )=1, 4 8 则实数 b 的值为 .

思维点拨 (1)逐个验证所给函数是否满足条件;(2)根据图象先确定函数的周期性,然后先 π 在一个周期内确定 f(x)的减区间;(3)由 f(x+ )=f(-x)可得函数的对称轴,应用函数在 4 对称轴处的性质求解即可. π? ? 解析 (1)对于①,y=cos?2x+ ?=-sin 2x,符合题意. 2? ?

?5 1? (2)由图象知,周期 T=2×? - ?=2, ?4 4?
∴ 2π =2,∴ω =π . ω

1 π π π ∴π × +φ = +2kπ ,k∈Z,又|φ |< ,∴φ = , 4 2 2 4

10

π? ? ∴f(x)=cos?π x+ ?. 4? ? 由 2kπ <π x + π 1 3 <2kπ +π , k∈Z ,得 2k- <x<2k + , k∈Z ,∴f(x) 的单调递减区间为 4 4 4

?2k-1,2k+3?,k∈Z. ? ? 4 4? ?
π π (3)由 f(x+ )=f(-x)可知函数 f(x)=2cos(ω x+φ )+b 关于直线 x= 对称, 又函数 f(x) 4 8 在对称轴处取得最值,故±2+b=1,∴b=-1 或 b=3. 1 3? ? 答案 (1)① (2)?2k- ,2k+ ?,k∈Z 4 4? ? (3)-1 或 3 温馨提醒 (1)研究三角函数的性质时一定要做到心中有图,充分利用数形结合思想; (2)函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与对称轴的交点是最值点.

[方法与技巧] 1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y=Asin(ω x+φ )(ω >0)的形式. 2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 t=ω x +φ ,将其转化为研究 y=sin t 的性质. 3.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω 的范围的问题:首先,明确已知的单调 区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的 关系可求解. [失误与防范] 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨 论参数对最值的影响. 2.要注意求函数 y=Asin(ω x+φ )的单调区间时 ω 的符号,若 ω <0,那么一定先借助诱导 公式将 ω 化为正数. 3. 三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得, 直接将两个端点处的函数值作为最值 是错误的.

A 组 专项基础训练

11

(时间:40 分钟) π? ? 1.对于函数 f(x)=sin?π x+ ?,下列说法正确的是 2? ? ①f(x)的周期为 π ,且在[0,1]上单调递增; ②f(x)的周期为 2,且在[0,1]上单调递减; ③f(x)的周期为 π ,且在[-1,0]上单调递增; ④f(x)的周期为 2,且在[-1,0]上单调递减. 答案 ② π? ? 解析 因为 f(x)=sin?π x+ ?=cos π x,则周期 T=2,在[0,1]上单调递减. 2? ? 2.函数 y=2sin? 答案 2- 3 π π π 7π 解析 ∵0≤x≤9,∴- ≤ x- ≤ , 3 6 3 6 π? ? 3 ? ?π ∴sin? x- ?∈?- ,1?. 3? ? 2 ?6 ? ∴y∈[- 3,2],∴ymax+ymin=2- 3. 3 .将函数 f(x) = sin ω x( 其中 ω >0) 的图象向右平移 π 个单位长度,所得图象经过点 4 (填正确的序号).

?π x-π ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ? 3? ? 6



?3π ,0?,则 ω 的最小值是 ? 4 ? ? ?
答案 2



解析 根据题意平移后函数的解析式为

? ? y=sin?ω x- ω ?, 4
π

?

?

将?

?3π ,0?代入得 sin ω π =0,则 ω =2k,k∈Z,且 ω >0, ? 2 ? 4 ?

故 ω 的最小值为 2. π? ? 4.关于函数 y=tan?2x- ?,下列说法正确的是 3? ? ①是奇函数; .

? π? ②在区间?0, ?上单调递减; 3? ?
③?

?π ,0?为其图象的一个对称中心; ? ?6 ?

④最小正周期为 π .
12

答案 ③ π? ? 解析 函数 y=tan?2x- ?是非奇非偶函数,①错误; 3? ?

? π? 在区间?0, ?上单调递增,②错误; 3? ?
π 最小正周期为 ,④错误. 2 π ? π π? ∵当 x= 时,tan?2× - ?=0, 6 3? 6 ? ∴?

?π ,0?为其图象的一个对称中心,③正确. ? ?6 ?
2

5.函数 y=cos 2x+sin x,x∈R 的值域是 答案 [0,1] 1-cos 2x 2 解析 y=cos 2x+sin x=cos 2x+ 2 = 1+cos 2x . 2



∵cos 2x∈[-1,1],∴y∈[0,1]. 6.函数 f(x)=sin(-2x)的单调增区间是 π 3π ? ? 答案 ?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 4 4 ? ? 解析 由 f(x)=sin(-2x)=-sin 2x, π 3π 2kπ + ≤2x≤2kπ + (k∈Z)得 2 2 .

kπ + ≤x≤kπ +

π 4

3π (k∈Z). 4 .

π? ? 7.函数 y=tan?2x+ ?的图象与 x 轴交点的坐标是 4? ?

?kπ -π ,0?(k∈Z) 答案 ? ? 8 ? 2 ?
π 解析 由 2x+ =kπ (k∈Z)得, 4

kπ π x= - (k∈Z).
2 8 π? ? ?kπ π ? ∴函数 y=tan?2x+ ?的图象与 x 轴交点的坐标是? - ,0?(k∈Z). 4? 8 ? ? 2 ? 8 .设函数 f(x) = 3sin( π π x + ) ,若存在这样的实数 x1 , x2 ,对任意的 x∈R ,都有 2 4 .
13

f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为

答案 2 π π 2 解析 f(x)=3sin( x+ )的周期 T=2π × =4, 2 4 π

f(x1),f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值,
故|x1-x2|的最小值为 =2. 2 1 9.已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α < ,且 sin α = ,求 f(α )的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 解 (1)因为 0<α < ,sin α = , 2 2 所以 cos α = 所以 f(α )= 2 . 2

T

2 ? 2 2? 1 1 ×? + ?- = . 2 ?2 2 ? 2 2

1 2 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos x- 2 1 1+cos 2x 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π? 2 ? sin?2x+ ?, 4? 2 ?

2π 所以最小正周期 T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? π 10.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (其中 A>0,ω >0,0<φ < )的最小正周期为 π ,且图象 2 上有一个最低点为 M?

?2π ,-3?. ? ? 3 ?

(1)求 f(x)的解析式;

14

? π? (2)求函数 y=f(x)+f?x+ ?的最大值及对应 x 的值. 4? ?
2π 解 (1)由 =π ,得 ω =2. ω 由函数 f(x)图象的一个最低点为 M?

?2π ,-3?,得 A=3. ? ? 3 ?

2π 3π π 且 2× +φ = +2kπ (k∈Z),0<φ < , 3 2 2 π? π ? ∴φ = ,∴f(x)=3sin?2x+ ?. 6? 6 ?

? π? (2)y=f(x)+f?x+ ? 4? ?
π? ? ? π? π? ? =3sin?2x+ ?+3sin?2?x+ ?+ ? 4? 6? 6 ? ? ? ? π? π? ? ? =3sin?2x+ ?+3cos?2x+ ? 6? 6? ? ? 5π ? ? =3 2sin?2x+ ?, 12 ? ? ∴ymax=3 2. 5π π 此时,2x+ =2kπ + ,k∈Z, 12 2 π 即 x=kπ + ,k∈Z. 24 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) π 11.已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ )(|φ |<π ),若 f( )=-2,则 f(x)的单调递减区间 8 是 .

3π π 答案 [kπ - ,kπ + ],(k∈Z) 8 8 π 解析 由 f( )=-2 得, 8

f( )=-2sin(2× +φ )=-2sin( +φ )=-2,
π 所以 sin( +φ )=1. 4 π 因为|φ |<π ,所以 φ = . 4

π 8

π 8

π 4

15

π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8

? π π? 12.已知函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在区间?- , ?上的最小值是-2,则 ω 的最小值 ? 3 4?
等于 答案 3 2 .

π π 解析 ∵ω >0,- ≤x≤ , 3 4 ωπ ωπ ∴- ≤ω x≤ . 3 4 ωπ π 由已知条件知- ≤- , 3 2 3 ∴ω ≥ . 2 13.(2014·北京)设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 是常数,A>0,ω >0).若 f(x)在

?π π ? ?π ? ?2π ? ?π ? 则 f(x)的最小正周期为 区间? , ?上具有单调性, 且 f? ?=f? ?=-f? ?, ?6 2? ?2? ? 3 ? ?6?
答案 π 解析 ∵f(x)在?



?π ,π ?上具有单调性, ? ?6 2?

T π π 2π ∴ ≥ - ,∴T ≥ . 2 2 6 3

? π ? ? 2π ? ∵f? ?=f? ?, ?2? ? 3 ?
π 2π + 2 3 7π ∴f(x)的一条对称轴为 x= = . 2 12

?π ? ?π ? 又∵f? ?=-f? ?, 2 ? ? ?6?
π π + 2 6 π ∴f(x)的一个对称中心的横坐标为 = . 2 3 1 7π π π ∴ T= - = , 4 12 3 4 ∴T=π .

16

14.已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )(ω >0,|φ |< = 答案 3 .

π π ),y=f(x)的部分图象如图,则 f( ) 2 24

3π π π π 解析 由题中图象可知,此正切函数的半周期等于 - = ,即最小正周期为 , 8 8 4 2 所以 ω =2. 3π 由题意可知,图象过定点( ,0), 8 3π 所以 0=Atan(2× +φ ), 8 即 3π 3π +φ =kπ (k∈Z),所以 φ =kπ - (k∈Z), 4 4

π π 又|φ |< ,所以 φ = . 2 4 又图象过定点(0,1),所以 A=1. 综上可知,f(x)=tan(2x+ π ), 4

π π π π 故有 f( )=tan(2× + )=tan = 3. 24 24 4 3 π? ? ? π? 15.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b,当 x∈?0, ?时,-5≤f(x)≤1. 6? 2? ? ? (1)求常数 a,b 的值;

? π? (2)设 g(x)=f?x+ ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 2? ?
π ? π 7π ? ? π? 解 (1)∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?. 2? 6 ? 6 ?6 ? π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+ ?∈?- ,1?, 6? ? 2 ? ? π? ? ∴-2asin?2x+ ?∈[-2a,a]. 6? ? ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. π? ? (2)由(1)得,f(x)=-4sin?2x+ ?-1, 6? ?

g(x)=f?x+ ?=-4sin?2x+ ?-1 2? 6 ? ? ?

?

π?

?

7π ?

17

π? ? =4sin?2x+ ?-1, 6? ? 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π? π? 1 ? ? ∴4sin?2x+ ?-1>1,∴sin?2x+ ?> , 6 6? 2 ? ? ? π π 5π ∴2kπ + <2x+ <2kπ + ,k∈Z, 6 6 6 π π π 其中当 2kπ + <2x+ ≤2kπ + ,k∈Z 时, 6 6 2

g(x)单调递增,即 kπ <x≤kπ + ,k∈Z,
π? ? ∴g(x)的单调增区间为?kπ ,kπ + ?,k∈Z. 6? ? π π 5π 又∵当 2kπ + <2x+ <2kπ + ,k∈Z 时, 2 6 6

π 6

g(x)单调递减,即 kπ + <x<kπ + ,k∈Z.
π π? ? ∴g(x)的单调减区间为?kπ + ,kπ + ?,k∈Z. 6 3? ?

π 6

π 3

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