高一数学必修1新课标人教A版3.2.1几类不同增长的函数模型(2)_图文

函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型二 ),指 我们知道,对数函数 y ? loga x (a ? 1 n x y ? x  (n ? 0) 数函数 y ? a  (a ? 1 )与幂函数 (0,??) 在区间 上都是增函数。从上述两个例子可以 看到,这三类函数的增长是有差异的。那么,这种 差异的具体情况到底怎样呢? x 2 y ? 2 ,   y ? x ,  y ? log2 x 下面,我们不妨先以 函数为例进行探究。 利用计算器或计算机,以一定的步长列 出自变量与函数值的对应表(表3-5) ,并在同一平面直角坐标系内画出三个函数 的图象(图3.2-4)。可以看到,虽然它们都 是增函数,但它们的增长速度是不同的。 表3-5 x y?2 x 0.2 1.149 0.04 0.6 1.516 0.36 1 2 1 1.4 2.639 1.96 1.8 3.482 3.24 2.2 4.595 4.84 2.6 6.063 6.76 3 8 9 3.4 10.556 11.56 y ? x2 图3.2-4 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 y y=2^x y=x^2 以2为底 的对数学 函数 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 y ? x 下面我们在更大的范围内,观察 y ? 2 和 的增长情况 x x y?2 x 0 1 0 2 4 4 4 16 16 6 64 36 8 256 64 10 1024 100 12 4096 144 14 16384 196 16 65536 256 y ? x2 2 y ? 2 从图可以看到, 和 y ? x 的图象有两个交点, 2 x x 这表明 与 2 在自变量不同的区间有不同的大小关系, x 有时 x 2,有时 ? x2 。 2x ? x2 但是,当自变量 x 要越来越大时,可以看到, y ? 2 x的图象就像与 x轴垂直一样,2 x的值快速增长, x 2 2 比起x 来,几乎有些微不足道,如图 3.2-6和表37所示。 x y?2 x 0 1 0 10 1024 100 20 30 40 50 60 70 80 1.E+06 1.E+09 1.E+12 1.E+15 1.E+18 1.E+21 1.E+24 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 y ? x2 探究 2   y ? x    你能借助图象,对 和 y ? log2 x 的增长情况进行比较吗? 请在图象上分别标出使不等式 log 2 x ? 2 x ? x 2 log 2 x ? x ? 2 2 x x ? (0,2) ? (4,??) 成立的自变量 x 的取值范围 x ? ( 2,4) 结论 x ) 一般地,对于指数函数 y ? a  (a ? 1 和幂函 n (0,??) 数 y ? x  (n ? 0) ,通过探索可以发现,在区间 上,无论 比 a大多少,尽管在 x 的一定变化范围内, n x n x x   x   ,由于 a 的增长快于 的增长,因此总存在一 a 会小于     x n x 个 0 ,当 x ? x0时,就会有 a   。 ?x n ) 同样地,对于对数函数 y ? loga x (a ? 1 和幂函 loga x  数 y ? x n  (n ? 0) , 在区间(0,??) 上,随着 x 的增大, 增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与 轴平行一样, n log x   x x  , 尽管在 的一定变化范围内, a 可能会大于 n 但由于 loga x  的增长慢于 x   的增长,因此总存在一 n x ? x x log x   ? x 个 0 ,当 。 0时,就会有 a x 综 上 所 述 , 在 区 间(0,??)上 , 尽 管 函 数 n x y ? loga x (a ? 1 ) y ? x  (n 和 ?1 ) y ? a ( a ? 1 ) 、 都是增函 数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上 。随着 的增大, y ? a x  (a ? 1 ) 的增长速度越来越快,会 超过并远远大于 y ? x n  (n ? 1 ) 的增长速度, ) 而 y ? loga x (a ? 1 的增长速度则会越来越慢。 因此,总会存在一个 x0 , 当 x ? x0 时,就有 n x loga x  ?x ?a 。 x 探究 你能用同样的方法,讨论一下函数: y ? a x  ( 0 ? a ?1 ) 、 y ? x n  (n ? 0)、 y ? loga x ( 0 ? a ?1 ) 在区间(0,??) 上的衰 减情况吗? 练习P119 在同一个平面直角坐标系内作出下列函数的图象,并 比较它们的增长情况: ( 1 ) y ? 0.1e x   ? 100, x ? [0,??] ; (2) y ? 20ln x ? 100, x ? [0,??] ; (3) y ? 20x, x ? [1,10] 。

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