江苏省南通市2013届高三数学第一次调研考试试题(含解析)苏教版


2013 年江苏省南通市高考数学一模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1. 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x+1>0},则?UA= {x|x≤﹣1} . (5 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求解一元一次不等式化简集合 A,然后直接利用补集运算求解. 解答: 解:由集合 A={x|x+1>0}={x|x>﹣1}, 又 U=R,所以?UA={x|x≤﹣1}. 故答案为{x|x≤﹣1}. 点评: 本题考查了补集及其运算,是基础的会考题型.

2. 分)已知复数 z= (5

(i 是虚数单位) ,则复数 z 所对应的点位于复平面的第

三 象限.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的除法运算把复数 z 化简为 a+bi(a,b∈R)的形式,则复数 z 所对应的点位于复平面的 象限可求. 解答: 解:由 z= = . 所以复数 z 所对应的点 Z(﹣2,﹣3) . 则复数 z 所对应的点位于复平面的第三象限. 故答案为三. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的几何意义,复数的除法,采用分子分母同时乘 以分母的共轭复数,是基础题. 3. 分)已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 (5 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 解答: 解:∵正四棱锥的底面边长是 6,高为 正四棱锥的侧高为 =4 ,这个正四棱锥的侧面积是 48 .

,可以求出棱锥的侧高,代入棱锥侧面积公式,可得答案. ,

∴正四棱锥的侧面积是 4× ×6×4=48 故答案为:48

点评: 本题考查的知识点是棱锥的侧面积,其中根据已知结合勾股定理求出棱锥的侧高是解答的关键.
1

4. 分)定义在 R 上的函数 f(x) (5 ,对任意 x∈R 都有 f(x+2)=f(x) ,当 x∈(﹣2,0)时,f(x)=4 , 则 f(2013)= .

x

考点: 函数的周期性;函数的值. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. x 分析: 利用函数的周期性把要求的式子化为 f(﹣1) ,再利用 x∈(﹣2,0)时,f(x)=4 ,求得 f(﹣1) 的值. 解答: 解:∵定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意 x∈R 都有 f(x+2)=f(x) ,则 f(2013)=f(2×1006+1) =f(1)=f(﹣1) . ∵当 x∈(﹣2,0)时,f(x)=4 ,∴f(﹣1)=4 = , 故答案为 .
x ﹣1

点评: 本题主要考查利用函数的周期性求函数的值,属于基础题. 5. 分)已知命题 p:“正数 a 的平方不等于 0”,命题 q:“若 a 不是正数,则它的平方等于 0”,则 p (5 是 q 的 否命题 . (从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空) 考点: 四种命题的真假关系. 专题: 规律型. 分析: 写出命题 P 与命题 q 的条件与结论,再根据四种命题的定义判断即可. 2 解答: 解:命题 P 的条件是:a>0,结论是:a ≠0; 2 命题 q 的条件是:a≤0,结论是:a =0; 故命题 P 是命题 q 的否命题. 故答案是否命题. 点评: 本题考查四种命题的定义.

6. 分)已知双曲线 (5

的一个焦点与圆 x +y ﹣10x=0 的圆心重合,且双曲线的离心率等于

2

2



则该双曲线的标准方程为



考点: 双曲线的标准方程;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 2 将圆化成标准方程得圆 x +y ﹣10x=0 的圆心为 F(5,0) ,可得 c= e= = 算出 a=
2 2 2

=5,结合双曲线的离心率

,由平方关系得到 b =20,由此即可得出该双曲线的标准方程.
2 2

解答: 解:∵圆 x +y ﹣10x=0 化成标准方程,得(x﹣5) +y =25 2 2 ∴圆 x +y ﹣10x=0 的圆心为 F(5,0)

2

∵双曲线

的一个焦点为 F(5,0) ,且的离心率等于



∴c=

=5,且 =

因此,a=

,b =c ﹣a =20,可得该双曲线的标准方程为

2

2

2

故答案为: 点评: 本题给出双曲线的离心率,并且一个焦点为已知圆的圆心,求双曲线的标准方程,着重考查了圆的 标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识,属于基础题. 7. 分)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=﹣36,S13=﹣104,则 a5 与 a7 的等比中项为 (5 .

考点: 等比数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由条件利用等比数列的性质可得 9a5=﹣36,13a7=﹣104,解得 a5=﹣4,a7=﹣8,从而求得 a5 与 a7 的 等比中项± 的值.

解答: 解:∵Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=﹣36,S13=﹣104, 则由等比数列的性质可得 9a5=﹣36,13a7=﹣104. 解得 a5=﹣4,a7=﹣8, 则 a5 与 a7 的等比中项± = ,

故答案为 . 点评: 本题主要考查等比数列的性质,等比数列求和公式的应用,属于中档题.

8. 分)已知实数 x∈[1,9],执行如图所示的流程图,则输出的 x 不小于 55 的概率为 (5



考点: 循环结构. 专题: 图表型.
3

分析: 由程序框图的流程,写出前三项循环得到的结果,得到输出的值与输入的值的关系,令输出值大于 等于 55 得到输入值的范围,利用几何概型的概率公式求出输出的 x 不小于 55 的概率. 解答: 解:设实数 x∈[1,9], 经过第一次循环得到 x=2x+1,n=2 经过第二循环得到 x=2(2x+1)+1,n=3 经过第三次循环得到 x=2[2(2x+1)+1]+1,n=3 此时输出 x 输出的值为 8x+7 令 8x+7≥55,得 x≥6 由几何概型得到输出的 x 不小于 55 的概率为= 故答案为: . 点评: 解决程序框图中的循环结构时,一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果,根据结果找规 律. = .

9. 分) (5 (2012?上饶一模)△ABC 中,

,则

=



考点: 平面向量数量积的性质及其运算律. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据题意, AB、 为邻边的平行四边形 ABDC 是矩形, 以 AC 由勾股定理求出 BC=2. A 作 AE⊥BC 于 E, 过 算出 BE= ,最后结合数量积的公式和直角三角形余弦的定义,即可算出 解答: 解:以 AB、AC 为邻边作平行四边形 ABDC,则 = ∵ + = 的值.

∴四边形 ABDC 是矩形 过 A 作 AE⊥BC 于 E ∵Rt△ABC 中, ∴BC= 因此,BE= , =2,可得斜边上的高 AE= = =



=

,cos∠ABC=



=

=1,可得

=

故答案为:

4

点评: 本题在直角三角形中,求一个向量在另一个向量上投影的值.着重考查了向量加法的几何定义和向 量数量积的定义等知识,属于基础题. 10. 分)已知 0<a<1,若 loga(2x﹣y+1)>loga(3y﹣x+2) (5 ,且 λ <x+y,则 λ 的最大值为 ﹣2 . 考点: 简单线性规划;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据题意得出约束条件,再作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知 当直线过 A 时,z 最小,从而得出目标函数 z=x+y 的取值范围,最后根据 λ <x+y,得出 λ 的最大 值. 解答: 解:根据题意得:



画出不等式表示的平面区域 设目标函数 z=x+y,则 z 表示直线在 y 轴上截距,截距越大,z 越大 作出目标函数对应的直线 L:y=﹣x 由 得 A(﹣1,﹣1)

直线过 A(﹣1,﹣1) 时,直线的纵截距最小,z 最小,最小值为 z=﹣2 则目标函数 z=x+y 的取值范围是(﹣2,+∞) . 又 λ <x+y,则 λ 的最大值为﹣2 故答案为:﹣2.

点评: 本题考查对数函数的单调性与特殊点、画不等式组表示的平面区域,考查数形结合求函数的最值.
5

11. 分)曲线 (5

在点(1,f(1) )处的切线方程为



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求导函数,确定切线的斜率,求出切点坐标,即可得到切线方程. 解答: 解:由题意, , ∴ ∴ ∴ ∴所求切线方程为 y﹣e+ =e(x﹣1) ,即 故答案为: 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,确定切线的斜率是关键. 12. 分)如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,若振幅为 3cm,周期为 3s, (5 且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.则该物体 5s 时刻的位移为 ﹣1.5 cm. =e

考点: 向量在物理中的应用. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 设该物体在 ts 时刻的位移为 ycm,根据当 t=0 时 y 达到最大值 3,可设 y=3cosω t,由三角函数的 周期公式算出 ω = ,得函数解析式为 y=3cos t,再将 t=5s 代入即可得到该物体 5s 时刻的位

移值. 解答: 解:根据题意,设该物体在 ts 时刻的位移为 ycm,则 ∵物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时,振幅为 3cm, ∴当 t=0 时,y 达到最大值 3.因此,设 y=3cosω t, ∵函数的周期为 3s,∴ =3,解之得 ω = ,得函数解析式为 y=3cos ?5)=3 =﹣1.5cm t,

由此可得,该物体 5s 时刻的位移为 3cos(

故答案为:﹣1.5 点评: 本题给出简谐振动模型,求质点的位移函数关系式并求物体 5s 时刻的位移值,着重考查了三角函数 的图象与性质和三角函数在物理方面的应用等知识,属于中档题. 13. 分) (5 已知直线 y=ax+3 与圆 x +y +2x﹣8=0 相交于 A, 两点, P 0, 0) B 点 (x y 在直线 y=2x 上, PA=PB, 且 则 x0 的取值范围为 (﹣1,0)∪(0,2) .
2 2

6

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得 CP 垂直平分 AB,且 y0=2x0.由
2 2

=﹣1,解得 x0=

.把直线 y=ax+3 代入圆

x +y +2x﹣8=0 化为关于 x 的一元二次方程,由△>0,求得 a 的范围,从而可得 x0 的取值范围. 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y +2x﹣8=0 即 (x+1) +y =9,表示以 C(﹣1,0)为圆心,半径等于 3 的圆. ∵PA=PB,∴CP 垂直平分 AB,∵P(x0,y0)在直线 y=2x 上,∴y0=2x0. 又 CP 的斜率等于
2 2

,∴

=﹣1,解得 x0=
2 2



把直线 y=ax+3 代入圆 x +y +2x﹣8=0 可得, +1)x +(6a+2)x+1=0. (a 由△=(6a+2) ﹣4(a +1)>0,求得 a>0,或 a<﹣ . ∴﹣1< <0,或 0< <2.
2 2

故 x0 的取值范围为 (﹣1,0)∪(0,2) , 故答案为 (﹣1,0)∪(0,2) . 点评: 本题主要考查直线和圆相交的性质,不等式的性质应用,属于中档题.

14. 分)设 P(x,y)为函数 y=x ﹣1 (5 最小时,点 P 的坐标为 (2,3) .

2

图象上一动点,记

,则当 m

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 将等式化简,再利用基本不等式求最值,即可得到 P 的坐标. 解答: 解:由题意, = ∵ ∴ ,∴y>2 =8

当且仅当
2

,即 y=x+1 时,m 取得最小值为 8

∵y=x ﹣1 ∴x=3,y=3 ∴P(2,3) 故答案为: (2,3) 点评: 本题考查基本不等式求最值,考查学生的计算能力,正确化简是关键. 二、解答题:本大题共 12 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
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15. (14 分)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,E 是侧面 AA1B1B 对角线的交点,F 是侧面 AA1C1C 对角线的交 点,D 是棱 BC 的中点.求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 AEF⊥平面 A1AD.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 A1B 和 A1C,易证 EF∥BC,利用线面平行的判断定理即可证得 EF∥平面 ABC; (2)依题意,可证 EF⊥AA1,EF⊥AD,而 AA1∩AD=A,从而可证得 EF⊥平面 A1AD,利用面面垂直的 判定定理即可证得平面 AEF⊥平面 A1AD. 解答: 解: (1)连接 A1B 和 A1C,因为 E、F 分别是侧面 AA1B1B 和侧面 AA1C1C 对角线的交点, 所以 E、F 分别是 A1B1B 和 A1C 的中点. 所以 EF∥BC?3 分 又 BC? 平面 ABC,EF?平面 ABC, 故 EF∥平面 ABC;?6 分 (2)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为正三棱柱, ∴AA1⊥平面 ABC, ∴BC⊥AA1,又 EF∥BC, ∴EF⊥AA1?8 分 又 D 是棱 BC 的中点,且△ABC 为正三角形,所以 BC⊥AD. 由 EF∥BC 得 EF⊥AD?10 分 而 AA1∩AD=A,AA1,AD? 平面 A1AD,所以 EF⊥平面 A1AD,?12 分 又 EF? 平面 AEF,故平面 AEF⊥平面 A1AD?14 分

点评: 本题考查平面与平面垂直的判定及直线与平面平行的判定,掌握直线与平面平行的判定定理与平面 与平面垂直的判定定理是关键,考查分析与推理证明的能力,属于中档题.

16. (14 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, (1)求角 C 的大小; 2 2 (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a +b 的取值范围.



考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: (1)在△ABC 中,由条件利用同角三角函数的基本关系以及两角和差的正弦公式化简可得 sin(C
8

﹣A)=sin(B﹣C) . 故有 C﹣A=B﹣C,或者 C﹣A=π ﹣(B﹣C) (不成立,舍去) ,即 2C=A+B,由此求得 C 的值. (2)由于 C= ,设 A= +α ,B= ﹣α ,﹣ <α < ,由正弦定理可得 a +b =sin A+sin B=
2 2 2 2 2 2

1+ cos2α .由﹣ 解答:

<2α <

,根据余弦函数的定义域和值域求得 a +b 的取值范围. ,∴ = ,

解: (1)在△ABC 中,∵

化简可得 sinCcosA﹣cosCsinA=sinBcosC﹣cosBsinC,即 sin(C﹣A)=sin(B﹣C) . ∴C﹣A=B﹣C,或者 C﹣A=π ﹣(B﹣C) (不成立,舍去) ,即 2C=A+B,∴C= (2)由于 C= ,设 A= +α ,B= ﹣α ,﹣ <α < , .

由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA,b=2rsinB=sinB, ∴a +b =sin A+sin B= =1+ cos2α . 由﹣ ]. 点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,同角三角函数的基本关系、余弦定理、余弦函数的 定义域和值域、 两角和差的正弦公式,属于中档题. 17. (14 分)某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为 4 米,这种薄板须沿其对角线 折叠后使用.如图所示,ABCD(AB>AD)为长方形薄板,沿 AC 折叠后,AB'交 DC 于点 P.当△ADP 的面积 最大时最节能,凹多边形 ACB'PD 的面积最大时制冷效果最好. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽? <2α < ,可得﹣ <cos2α ≤1,∴ <1+ cos2α ≤ ,即 a +b 的取值范围为 ( ,
2 2 2 2 2 2

+

=1﹣ [cos(

+2α )+cos(

﹣2α )]

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 2 分析: (1)利用 PA =AD +DP ,构建函数,可得 DP 的长度; (2)表示出△ADP 的面积,利用基本不等式,可求最值; (3)表示出△ADP 的面积,利用导数知识,可求最值. 解答: 解: (1)由题意,AB=x,BC=2﹣x.因 x>2﹣x,故 1<x<2 设 DP=y,则 PC=x﹣y. 因△ADP≌△CB′P,故 PA=PC=x﹣y.

9

由 PA =AD +DP ,得(x﹣y) =(2﹣x) +y ,即 (2)记△ADP 的面积为 S1,则 S1= 当且仅当 x= ∈(1,2)时,S1 取得最大值 米时,节能效果最好 = , = ,

2

2

2

2

2

2

故当薄板长为 米,宽为 (3)记△ADP 的面积为 S2,则 S2S2S2=

于是 S2′=

,∴



关于 x 的函数 S2 在(1, 所以当

)上递增,在(

,2)上递减.

时,S2 取得最大值 米,宽为 米时,制冷效果最好

故当薄板长为

点评: 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力.试题以常见的图形为载体,再现对基 本不等式、导数等的考查.

18. (16 分) (2013?奉贤区二模)已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 (1)求 a1,a3; (2)求证:数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设



,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q) ,使 b1,bp,bq 成等比数列?若存在,求

出所有满足条件的数组(p,q) ;若不存在,说明理由. 考点: 等差数列与等比数列的综合;等差数列的通项公式;等比关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)在 中,分别令 n=2,n=3 即可求得答案;

(2) 由

, 即

①, 得

②, 两式作差得 (n﹣1) n+1=nan a

③,从而有 nan+2=(n+1)an+1 ④,③+④,根据等差数列中项公式即可证明; (3)假设存在正整数数组(p,q) ,使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列,从 而可用 p 表示出 q,观察可知(p,q)=(2,3)满足条件,根据数列单调性可证明(p,q)=(2, 3)唯一符合条件. 解答: (1)解:令 n=1,则 a1=S1= =0,

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令 n=3,则

,即 0+1+a3=

,解得 a3=2;

(2)证明:由

,即

①,得

②,

②﹣①,得(n﹣1)an+1=nan ③, 于是,nan+2=(n+1)an+1 ④, ③+④,得 nan+2+nan=2nan+1,即 an+2+an=2an+1, 又 a1=0,a2=1,a2﹣a1=1, 所以数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以 an=n﹣1. (3)假设存在正整数数组(p,q) ,使 b1,bp,bq 成等比数列, 则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列, 于是, .

所以,

(☆) .易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解.

当 p≥3,且 p∈N*时,

<0,

故数列{ 于是

}(p≥3)为递减数列 ≤ <0,所以此时方程(☆)无正整数解.

综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3) ,使 b1,bp,bq 成等比数列. 点评: 本题考查等差、等比数列的综合问题,考查等差数列的通项公式,考查递推公式求数列通项,存在 性问题往往先假设存在,然后以此出发进行推理论证得到结论.

19. (16 分)已知左焦点为 F(﹣1,0)的椭圆过点 E(1, 椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标.

) .过点 P(1,1)分别作斜率为 k1,k2 的

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程; (2)设 A,B 的坐标,利用点差法确定 k1 的值; (3)求 出直线 MN 的方程,利用根与系数的关系以及 k1+k2=1 探究直线过哪个定点. 解答: (1)解:由题意 c=1,且右焦点 F′(1,0) 2 2 2 ∴2a=EF+EF′= ,b =a ﹣c =2 ∴所求椭圆方程为 ;

11

(2)解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ①, ②

②﹣①,可得 k1=

=﹣

=﹣ ;

(3)证明:由题意,k1≠k2, 设 M(xM,yM) ,直线 AB 的方程为 y﹣1=k1(x﹣1) ,即 y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得( )x +6k1k2x+
2

=0





同理,



当 k1k2≠0 时,直线 MN 的斜率 k=

=

直线 MN 的方程为 y﹣

=

(x﹣





此时直线过定点(0,﹣ ) 当 k1k2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点(0,﹣ ) 综上,直线 MN 恒过定点,且坐标为(0,﹣ ) . 点评: 本题考查椭圆方程,考查点差法的运用,考查直线与椭圆的位置关系,考查直线恒过定点,考查学 生分析解决问题的能力,属于中档题.

20. (16 分)已知函数 f(x)=

﹣ax(x>0 且 x≠1) .

(1)若函数 f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数 a 的最小值; 2 (2)若? x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f'(x2)+a 成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系. 专题: 分类讨论;导数的综合应用. 分析: (1)f(x)在(1,+∞)上为减函数,等价于 f′(x)≤0 在(1,+∞)上恒成立,进而转化为 f′ (x)max≤0,根据二次函数的性质可得 f′(x)max; 2 2 (2)命题“若? x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f'(x2)+a 成立”等价于“当 x∈[e,e ]时,有 f 2 (x)min≤f′(x)max+a”,由(1)易求 f′(x)max+a,从而问题等价于“当 x∈[e,e ]时,有 f(x)
12

min

”,分①a

,②a< 两种情况讨论:当 a

时易求 f(x)min,当 a< 时可求得 f′(x)

的值域为[﹣a,

],再按(i)﹣a≥0, (ii)﹣a<0 两种情况讨论即可;

解答: 解: (1)因 f(x)在(1,+∞)上为减函数, 故 f′(x)= ﹣a≤0 在(1,+∞)上恒成立,

又 f′(x)=

﹣a=﹣

+

﹣a=﹣



故当 所以

,即 x=e 时, 0,于是 a

2

, ,故 a 的最小值为 .
2 2

(2)命题“若? x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f'(x2)+a 成立”等价于“当 x∈[e,e ]时,有 f (x)min≤f′(x)max+a”, 由(1) ,当 x∈[e,e ]时,f′(x)max= e ]时,有 f(x)min ①当 a
2 2

,所以 f′(x)max+a= ,问题等价于:“当 x∈[e,

”,
2

时,由(1) ,f(x)在[e,e ]上为减函数,

则 f(x)min=f(e )=

2

,故 a

, ;

②当 a< 时,由于 故 f′(x)的值域为[f′(e) ,f′(e )],即[﹣a,
2 2

在[e,e ]上为增函数, ].
2

2

(i)若﹣a≥0,即 a≤0,f′(x)≥0 在[e,e ]上恒成立,故 f(x)在[e,e ]上为增函数, 于是,f(x)min=f(e)=e﹣ae≥e> ,不合题意; (ii)若﹣a<0,即 0<a< ,由 f′(x)的单调性和值域知,? 唯一 (x0)=0, 且满足:当 x∈(e,x0)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当 x >0,f(x)为增函数; 所以, , , 时,f′(x) ,使 f′

所以 a 综上,得 a .





,与 0<a< 矛盾,不合题意;

13

点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值,考查恒成立问题,考查分类讨论思想、 转化思想,考查学生分析解决问题的能力. 21. (10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,若 AD 是△ABC 的高,AE 是⊙O 的直径,F 是 (1)AB?AC=AE?AD; (2)∠FAE=∠FAD. 的中点.求证:

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: (1)连接 BE,利用同圆弧所对的圆周角相等,可得∠E=∠C.又∠ABE=∠ADC=Rt∠,即可得到 △ABE∽△ADC,利用相似三角形的性质即可得出. (2)连接 OF,由 F 是 的中点,可得∠BAF=∠CAF.再由(1)相似三角形的可得∠BAE=∠CAD,即

可得出结论. 解答: 证明: (1)连接 BE,则∠E=∠C.又∠ABE=∠ADC=Rt∠, ∴△ABE∽△ADC,∴ ∴AB?AC=AE?AD. (2)连接 OF,∵F 是 的中点,∴∠BAF=∠CAF. .

由(1)得∠BAE=∠CAD, ∴∠FAE=∠FAD. 点评: 熟练掌握同圆弧所对的圆周角相等, 、相似三角形的判定与性质是解题的关键. 22. (10 分)选修 4﹣2:矩阵与变换 已知曲线 C:y =2x,在矩阵 M= 下得到曲线 C2,求曲线 C2 的方程. 考点: 旋转变换. 专题: 计算题. 2 分析: 设 P(x,y)为曲线 C2 上任意一点,P′(x′,y′)为曲线 y =2x 上与 P 对应的点,根据矩阵变换 得出 解答: 结合 P′是曲线 C1 上的点,求得 C2 的方程即可.
2

对应的变换作用下得到曲线 C1,C1 在矩阵 N=

对应的变换作用

解:NM=

=
2

设 P(x,y)为曲线 C2 上任意一点,P′(x′,y′)为曲线 y =2x 上与 P 对应的点,

14

=

,得



(5 分)

∵P′是曲线 C1 上的点, ∴C2 的方程(﹣ x) =2y.即 y=
2

(10 分)

点评: 本题考查几种特殊的矩阵变换,体现了方程的数学思想.属于基础题. 23. (2009?江苏模拟)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C 的极 坐标方程为 ρ cos θ +3ρ sin θ =2,直线 l 的参数方程为 上求一点 M,使它到直线 l 的距离最大. 考点: 简单曲线的极坐标方程;点到直线的距离公式;直线的参数方程. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 先利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρ cosθ =x,ρ sinθ =y,ρ =x +y ,将极坐标方程 2 2 2 2 ρ cos θ +3ρ sin θ =2 化成直角坐标方程,再消去参数 t 将直线 l 的参数方程化成普通方程,最后 利用设点 M 的坐标的参数形式,结合点到直线的距离公式求解即得. 解答: 解:曲线 C 的普通方程是 (2 分) 直线 l 的普通方程是 设点 M 的坐标是 (4 分) 的距离是 (6 分)
2 2 2 2

试在曲线 C

, d 取得最大值. 分) (8

点评: 本题考查点的极坐标、参数方程和直角坐标的互化、点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法, 属于中档题. 24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知 a>0,b>0,且 2a+b=1,求 的最大值.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 要求

最大值,即是求同时使

取得最大值和 4a +b (即是 1﹣4ab)取得最

2

2

15

小值时满足的条件. 解答: 解:由于 a>0,b>0,且, 2 2 2 则 4a +b =(2a+b) ﹣4ab=1﹣4ab, 又由 1=2a+b 所以 当且仅当 ,即 = 时,等号成立. =

点评: 本题考查利用基本不等式求解式子的最值问题,属于基础题.

25. 分) (10 如图, 已知定点 R (0, ﹣3) 动点 P, 分别在 x 轴和 y 轴上移动, , Q 延长 PQ 至点 M, 使 且 .



(1)求动点 M 的轨迹 C1; 2 2 (2)圆 C2:x +(y﹣1) =1,过点(0,1)的直线 l 依次交 C1 于 A,D 两点(从左到右) ,交 C2 于 B,C 两 点(从左到右) ,求证: 为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (1)设 M 的坐标,表示出 P,Q 的坐标,可得 的坐标,利用数量积公式,可得轨迹方程, 从而可得轨迹; (2)由题意, =AB?CD,AB=FA﹣FB=y1+1﹣1=y1,CD=y2,设出直线方程代入抛物线方程,利用

韦达定理,即可得到结论. 解答: (1)解:设 M(x,y) ,则 由 ∴ ∵ ∴ ∴x =4y ∴动点 M 的轨迹 C1 是顶点在原点,开口向上的抛物线; (2)证明:由题意, =AB?CD,圆 C2:x +(y﹣1) =1 的圆心即为抛物线 C1 的焦点 F
16
2 2 2

,可得



设 A(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则 AB=FA﹣FB=y1+1﹣1=y1, 同理 CD=y2, 设直线的方程为 x=k(y﹣1) 2 2 2 2 代入抛物线方程可得 k y ﹣(2k ﹣4)y+k =0 ∴ =AB?CD=y1y2=1.

点评: 本题考查抛物线的标准方程,考查向量知识的运用,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计 算能力,属于中档题.

26. (10 分)已知数列{an}满足: (1)若 a=﹣1,求数列{an}的通项公式; * (2)若 a=3,试证明:对? n∈N ,an 是 4 的倍数. 考点: 数学归纳法;数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)由题意,令 bn=an﹣1,则 (2)若 a=3, 解答: (1)解:a=﹣1 时, 令 bn=an﹣1,则 ∵b1=﹣5 为奇数,bn 也是奇数且只能为﹣1 ∴ ,即 ;



,从而可得数列{an}的通项公式; ,利用数学归纳法,结合二项式定理,即可证明结论.

(2)证明:a=3 时, ①n=1 时,a1=4,命题成立; * ②设 n=k 时,命题成立,则存在 t∈N ,使得 ak=4t ∴ ∵(4﹣1) ∴
4(t﹣1)

=3 =

4t﹣1

+1=27?(4﹣1)

4(t﹣1)

+1 +?+ 4+1=4m+1,m∈Z

=27?(4m+1)+1=4(27m+7)

∴n=k+1 时,命题成立 * 由①②可知,对? n∈N ,an 是 4 的倍数. 点评: 本题考查数列递推式,考查数学归纳法的运用,考查二项式定理,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

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