2015-2016学年高中数学 第三章 统计案例章末归纳总结课件 北师大版选修2-3_图文

第三章
统计案例

第三章 章末归纳总结

1

知 识 梳理

2

知 识 结构

3

专 题 研 究

4

即 时 训 练

知识梳理

1.在统计案例的学习中,要经历较为系统的数据处理的 全过程,培养自己对数据的直观感觉,认识到统计方法的特点 (如统计推断可能犯错误、估计结果有随机性等),体会统计方

法应用的广泛性,了解统计学对社会生活和科学研究的重要
性. 2.了解两种统计方法(回归分析和独立性检验)的基本思想 及其初步应用,对于其理论依据不作要求,避免单纯记忆和机 械套用公式进行计算.

3.线性回归分析是在数学必修3的基础上,进一步认识线 性回归的方法及其可靠性,通过实例,从感性到理性逐层深入 地探求对线性相关程度进行检验的统计量(相关系数),从而建

立线性回归分析的基本算法步骤.
4.通过对典型案例的探究,了解独立性检验(只要求2×2 列联表)的基本思想、方法及初步应用.

知识结构

专题研究

回归分析
蔬菜之乡山东寿光的某块菜地每单位面积菜地 年平均使用氮肥量 x kg 与每单位面积蔬菜 年平均产量 y t 之间 的关系有如下数据: 年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 x(kg) y(t) x(kg) y(t) 70 5.1 92 11.5 74 6.0 108 11.0 80 6.8 115 11.8 78 7.8 123 12.2 85 9.0 130 12.5 92 10.2 138 12.8 90 10.0 145 13.0 95 12.0

年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

(1)求 x 与 y 之间的相关系数,并检验是否线性相关; (2)若线性相关,求蔬菜产量 y 与使用氮肥量之间的回归直 线方程,并估计每单位面积施肥 150 kg 时,每单位面积蔬菜年 平均产量.

[分析]

使用样本相关系数计算公式来完成,然后判断线

性相关,再计算出 a、b,利用回归方程预测产量.

[解析] (1)列出下表,并用科学计算器进行有关计算: i xi yi x iy i i xi yi 1 70 5.1 357 9 92 11.5 2 74 6.0 444 10 108 11.0 3 80 6.8 544 11 115 11.8 4 78 7.8 608.4 12 123 12.2 5 85 9.0 765 13 130 12.5 6 92 10.2 938.4 14 138 12.8 7 90 10.0 900 15 145 13.0 8 95 12.0 1 140

xiyi 1 058 1 188 1 357 1 500.6 1 625 1 766.4 1 885

15 15 1 515 151.7 2 2 - - x= =101, y= ≈10.11, x = 161 125 , y ?i ? i= 15 15 i=1 i=1

1 628.55, ?xyi=16 076.8.
i=1

15

故蔬菜产量与施用氮肥量的相关关系数 16 076.8-15×101×10.11 r= 2 2 ≈0.8643. ?161 125-15×101 ??1 628.55-15×10.11 ? 由此可以有把握认为蔬菜产量与氮肥量之间存在线性相关 关系.

(2)设所求的回归直线方程为 y=bx+a,则 x - y ?xiyi-15-
i=1 15

b=

2 - - 15 x ?x2 i i=1

15

16 076.8-15×101×10.11 = ≈0.093 7, 2 161 125-15×101

a=- y -b- x =10.11-0.093 7×101 ≈0.646 3, 所以回归直线方程为 y=0.093 7x+0.646 3. 当 x=150 时,y=0.093 7×150+0.646 3=14.701 3.

独立性检验

针对时下的“韩剧热”,某校团委对“学生性 别和是否喜欢韩剧是否有关”作了一次调查,其中女生人数是 1 1 男生人数的 ,男生喜欢韩剧的人数占男生人数的 ,女生喜欢 2 6 2 韩剧人数占女生人数的 . 3 (1)若有 95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关, 则男生 至少有多少人; (2)若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关,则男 生至多有多少人.

[分析] 有 95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关,说 明 χ2>3.841,没有充分的证明显示是否喜欢韩剧和性别有关, 说明 χ2≤2.706.设出男生人数, 并用它分别表示各类别人数, 代 入 χ2 的计算公式,建立不等式求解即可.

[解析] 设男生人数为 x,依题意可得列表如下: 喜欢韩剧 不喜欢韩剧 总计 男生 女生 总计 x 6 x 3 x 2 5x 6 x 6 x x x 2 3 x 2

(1) 若有 95% 的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关,则 χ2>3.841, 3x 5x x x x 2 ? × - × ? 2 6 3 6 6 3 2 由χ= = x>3.841,解得 x>10.24. xx 8 x··· x 22 x x ∵ 、 为整数,∴若有 95%的把握认为是否喜欢韩剧和性 2 6 别有关,则男生至少有 12 人.

(2) 没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关,则 χ2≤2.706, 3x 5x x x x 2 ? × - × ? 2 6 3 6 6 3 2 由χ= = x≤2.706,解得 x≤7.216, xx 8 x··· x 22 x x ∵ 、 为整数,∴若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和 2 6 性别有关,则男生至多有 6 人.

即时训练

一、选择题 1.一位母亲记录了儿子 3~9 岁的身高,数据(略),由此 建立的身高与年龄的回归模型为^ y=7.19x+73.93,用这个模型 预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( A.身高一定是 145.83cm B.身高在 145.83cm 以上 C.身高在 145.83 左右 D.身高在 145.83cm 以下 )

[答案] C

[解析] 将 x 的值代入回归方程^ y=7.19x+73.93 时,得到 的^ y值是年龄为 x 时,身高的估计值,故选 C.

2.对于独立性检验,下列说法中错误的是(
A.χ2值越大,说明两事件相关程度越大 B.χ2值越小,说明两事件相关程度越小

)

C.χ2≤3.841时,有95%的把握说事件A与B无关
D.χ2>6.635时,有99%的把握说事件A与B有关 [答案] C [解析] χ2>3.841时,有95%的把握说事件A与B有关.

3.对于回归分析,下列说法错误的是( 因变量不能自由变量唯一确定

)

A.在回归分析中,变量间的关系若是非确定关系,那么 B.线性相关系数可以是正的,也可以是负的

C.回归分析中,如果r2=1,说明x与y之间完全线性相关
D.相本相关系数r2∈(0,1) [答案] D [解析] 应当为闭区间[0,1].

二、填空题
4.对于两个分类变量X与Y: (1)如果χ2>6.635,就约有____________的把握认为“X与

Y有关系”;
(2)如果χ2>3.841,就约有____________的把握认为“X与 Y有关系”. [答案] (1)99% (2)95%

5.根据假设检验的思想,对于要推断的论述“变量A,B

有关联”,如果计算出χ2=3.365,则有________以上的把握判
定“变量A、B有关联”,犯错误的概率不超过________. [答案] 90% 0.1

[解析] 因为3.365>2.706,所以有90%以上的把握判定
“变量A,B有关联”,犯错误的概率不超过1-90%=10%= 0.1.

三、解答题 6.对一作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到数 据如下表: 时刻 x/s 位置观测 值 y/cm 1 2 3 4 5 6 7 8

5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 16.12 16.98 21.06

(1)画出散点图; (2)求位置 y 和时刻 x 的线性相关系数; (3)试估计当 x=9s 时的位置 y 的值.

[解析] (1)作出散点图,如图所示.

由图可以看出,y 与 x 呈现出近似的线性关系.

8 2 (2)由表中数据计算得 x =4.5,y =13.0825, xi =204, y i= 1 i= 1

?

8

?

8 2 i =1563.1098, xiyi=560.07,故位置 i= 1

?

y 和时刻 x 的线性相关系

数 r≈0.987.

(3)由相关系数 r≈0.987 知, 两个变量有较强的线性相关程 度. 由公式计算可得 b≈2.1214,a≈3.5361,故 y 对 x 的线性 回归方程为 y=3.5361+2.1214x. 当 x=9s 时,位置 y 的估计值为 3.5361+2.1214×9=22.6287(cm).


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