2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(辽宁.文)含详解

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数 学(供文科考生使用)

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

S=4πR2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V= 4 πR 3
3

P(AB)=P(A) P(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=CknPk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)

其中 R 表示球的半径

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一,选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 M={x|-3<x<1|,N={x|x≤-3},则 M ∪ N = (A) (B) {x|x≥-3} (C){x|x≥1} (2)若函数 y=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a= (A)-2 (B) -2 (C)1 2 2 (3)圆 x +y =1 与直线 y=kx+2 没有公共点的充要条件是 (A) k ∈ ( 2 , 2 ) (C)k ∈ ( ∞, 2 ) ∪ ( 2 ,+∞) (4)已知 0<a<1,x=loga 2 loga 3 ,y= (A)x>y>z (B)z>y>x (B) k ∈ ( 3 , 3 ) (D) k ∈ ( ∞, 3 ) ∪ ( 3 ,+∞) (D){x|x<1|

(D)2

1 log a 5, z=loga 3 ,则 2
(C)y>x>z (D)z>x>y

(5)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 BC = 2 AD ,则顶点 D 的坐标为 (A)(2,

7 ) 2

(B)(2,-

1 ) 2

(C)(3,2)

(D)(1,3)

(6)设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为

π 0, 4 ,则点 P 横坐标的取值范围为
(A) 1, 2



1

(B)[-1,0]

(C)[0,1]

(D) ,1 2

1

(7)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4 从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的 数字之和为奇数的概率为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(8)将函数 y=2x+1 的图象按向量 a 平移得到函数 y=2x+1 的图象,则 (A)a=(-1,-1) (B)a=(1,-1) (C)a=(1,1) (D)a=(-1,1)

y + x 1 ≤ 0, (9)已知变量 x,y 满足约束条件 y 3 x 1 ≤ 0, 则 z=2x+y 的最大值为 y x + 1 ≥ 0,

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二,填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)函数 y = e 2 x +3 ( ∞ x +∞) 的反函数是 .

(14)在体积为 4 3π 的球的表面上有 A,B,C 三点,AB=1,BC= 2 ,A,C 两点的球

面距离为
3

3 π ,则球心到平面 ABC 的距离为 3 1 6 ) 展开式中的常数项为 x2
.

.

(15) (1 + x )( x +

(16)设 x ∈ (0, ) ,则函数 y =

π 2

2sin 2 x + 1 的最小值为 sin 2 x

.

三,解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C,对边的边长分别是 a,b,c.已知 c = 2, C = (Ⅰ)若△ABC 的面积等于 3 ,求 a,b; (Ⅱ)若 sin B = 2sin A ,求△ABC 的面积. (18) (本小题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计 结果如下表所示: 周销售量 2 3 4

π . 3

频数

20

50

30

(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率; (Ⅱ)若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 (i)4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率; (ii)该种商品 4 周的销售量总和至少为 15 吨的概率. (19) (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A′B′C′D′中,AP=BQ=b(0<b<1) ,截 面 PQEF‖A′D,截面 PQGH‖AD′.

(Ⅰ)证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; (Ⅱ)证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值,并求出这个值; (Ⅲ)若 b =

1 ,求 D′E 与平面 PQEF 所成角的正弦值. 2

(20) (本小题满分 12 分) 已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列,设 cn = (Ⅰ)数列{cn}是否为等比数列?证明你的结论; (Ⅱ)设数列{tnan},{lnbn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn.若 a1 = 2, {cn}的前 n 项和. (21)(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3 )(0, 3 )的距离之和等于 4.设点 P , 的轨迹为 C. (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 OA ⊥ OB ? 此时| AB |的值是多少? (22)(本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=ax3+bx2-3a2x+1(a,b∈R)在 x=x1,x=x2 处取得极值,且|x1-x2|=2. (Ⅰ)若 a=1,求 b 的值,并求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a>0,求 b 的取值范围.

bn (n ∈ N*) . an

Sn n = , 求数列 Tn 2n + 1

年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供文科考生使用) 数学(供文科考生使用)
本试卷分第Ⅰ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 至 4 页,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
参考公式: 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A,B 相互独立,那么

S = 4πR 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( Ai B ) = P ( A)i P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

V=

4 3 πR 3

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) = Cnk P k (1 p ) n k (k = 0,2, ,n) 1,
其中 R 表示球的半径

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一,选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 选择题: 只有一项是符合题目要求的. 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M = x 3 < x < 1 , N = x x ≤ 3 ,则 M ∪ N = ( D ) A. 答案: 答案:D 解析:本小题主要考查集合的相关运算知识.依题意 M = x 3 < x < 1 , B. x x ≥ 3

{

}

{

}

{

}

C. x x ≥ 1

{

} {

D. x x < 1

{

}

}

N = { x x 3} ,∴ M ∪ N = {x | x < 1} .
2.若函数 y = ( x + 1)( x a ) 为偶函数,则 a=( C ) A. 2 答案: 答案:C B. 1 C. 1 D. 2

解析:本小题主要考查函数的奇偶性. f (1) = 2(1 a ), f ( 1) = 0 = f (1), ∴ a = 1. 3.圆 x 2 + y 2 = 1 与直线 y = kx + 2 没有公共点的充要条件是( B ) .. A. k ∈ ( 2,2) B. k ∈ ( 3,3) D. k ∈ ( ∞, 3) ∪ ( 3, ∞) +

+ C. k ∈ ( ∞, 2) ∪ ( 2, ∞)

答案: 答案:B 解析:本小题主要考查直线和圆的位置关系.依题圆 x + y = 1 与直线
2 2

y = kx + 2 没有公共点 d =
4. 已知 0 < a < 1 , = log a x A. x > y > z 答案: 答案:C

2 1+ k 2

> 1 k ∈ ( 3,3).
1 log a 5 ,z = log a 21 log a 3 , ( C ) 则 2 C. y > x > z D. z > x > y

2 + log a 3 ,y =

B. z > y > x

解析:本小题主要考查对数的运算.∵ x = log a 由 0 < a < 1 知其为减函数, ∴ y > x > z

6, y = log a 5, z = log a 7,

5.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0, , B ( 1, 2) , C (3, ,且 BC = 2 AD , 2) 1) 则顶点 D 的坐标为( A ) A. 2, 答案: 答案:A 解析:本小题主要考查平面向量的基本知识.∵ BC = (4,3), AD = ( x, y 2),



7 2

B. 2,



1 2

C. (3, 2)

D. (1 3) ,

x = 2 2 x = 4 且 BC = 2 AD ,∴ 7 2 y 4 = 3 y = 2
6.设 P 为曲线 C: y = x 2 + 2 x + 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线 倾斜角的取值范围为 0, ,则点 P 横坐标的取值范围为( A )

π 4

A. 1, 2



1

B. [ 1 0] ,

C. [ 0, 1]

D. , 1

1 2

答案: 答案:A 解析:本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题.依题设切点 P 的横坐标 为 x0 , 且 y ' = 2 x0 + 2 = tan α ( α 为点 P 处切线的倾斜角) ,又∵ α ∈ [0, ∴ 0 ≤ 2 x0 + 2 ≤ 1 ,∴ x0 ∈ [ 1, ]. 7.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张, 则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为( C )

π

4

],

1 2

A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

答案: 答案:C 解析:本小题主要考查等可能事件概率求解问题.依题要使取出的 2 张卡片上的数字之和 为奇数,则取出的 2 张卡片上的数字必须一奇一偶,∴取出的 2 张卡片上的数字之
1 1 C2 C2 4 2 = = . 和为奇数的概率 P = C32 6 3

8.将函数 y = 2 + 1 的图象按向量 a 平移得到函数 y = 2
x

x +1

的图象,则( A ) D. a = (11) ,

A. a = ( 1, 1) 答案: 答案:A

B. a = (1, 1)

C. a = (11) ,

解析:本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题.依题由函数 y = 2 x + 1 的图象得到函数 y = 2
x +1

的图象,需将函数 y = 2 + 1 的图象向左平移 1 个
x

单位,向下平移 1 个单位;故 a = ( 1, 1).

y + x 1 ≤ 0, 9.已知变量 x,y 满足约束条件 y 3 x 1 ≤ 0, z = 2 x + y 的最大值为( B ) 则 y x + 1≥ 0,
A. 4 B. 2 C. 1 D. 4 答案: 答案:B 解析:本小题主要考查线性规划问题.作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个顶点为

(0, (1, (1, 2), 验证知在点 (1, 时取得最大值 2. 1), 0), 0)
10.一生产过程有 4 道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲,乙,丙等 6 名工人中 安排 4 人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲,乙两工人中安排 1 人,第四道工序 只能从甲,丙两工人中安排 1 人,则不同的安排方案共有( B ) A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种 答案: 答案:B 解析:本小题主要考查排列组合知识.依题若第一道工序由甲来完成,则第四道工序必由丙 来完成,故完成方案共有 A4 = 12 种;若第一道工序由乙来完成,则第四道工序必由
2

甲,丙二人之一来完成,故完成方案共有 A2 A4 = 24 种;∴则不同的安排方案共有
1 2 1 A42 + A2 A42 = 36 种.

11.已知双曲线 9 y 2 m 2 x 2 = 1( m > 0) 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 则m =( D ) A.1 B.2

1 , 5

C.3

D.4

答案: 答案:D 解析:本小题主要考查双曲线的知识. 9 y m x = 1( m > 0) a =
2 2 2

1 1 ,b = , 取 3 m

1 | 3 × | 1 1 3 m 2 + 9 = 25 ∴ m = 4. 顶点 (0, ) ,一条渐近线为 mx 3 y = 0, ∵ = 2 3 5 m +9
12.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中, E,F 分别为棱 AA1 , CC1 的中点, 则在空间中与三条直线 A1 D1 , EF , CD 都相交的直线( D ) A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条 答案: 答案:D 解析:本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题,考查学生 的空间想象能力.在 EF 上任意取一点 M,直线 A1 D1 与 M 确定一个平面,这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N, 当 M 取不同的位置就确定不同的平面,从而与 CD 有不同的 交点 N,而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点的.如右图:

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
小题, 二,填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 填空题: 13.函数 y = e 2 x +1 ( ∞ < x < +∞) 的反函数是 答案: y = .

1 (ln x 1)( x > 0) 2
2 x +1

解析:本小题主要考查反函数问题.∵ y = e 所以反函数是 y =

1 2 x + 1 = ln y x = (ln y 1), 2

1 (ln x 1)( x > 0). 2

14.在体积为 4 3π 的球的表面上有 A,B,C 三点,AB=1,BC= 2 ,A,C 两点的

球面距离为

3 π ,则球心到平面 ABC 的距离为_________. 3

答案:

3 2 4 V = π R 3 = 4 3π ,∴ R = 3. 设 A , C 两点对球心张角为 θ ,则 3 AC = Rθ = 3θ = 3 π π ,∴ θ = ,∴ AC = 3 ,∴ AC 为 ABC 所在平 3 3

解析:本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离.设球的半径为 R ,则

面的小圆的直径,∴ ∠ABC = 90 ,设 ABC 所在平面的小圆圆心为 O ' , 则球心到平面 ABC 的距离为 d = OO ' =

R 2 BO '2 = 3 (

3 2 3 ) = . 2 2

1 15. (1 + x ) x + 2 展开式中的常数项为 x
3

6

.

答案:35

1 解析:本小题主要考查二项式定理中求特定项问题.考查 x + 2 的通项公式, x
Tr +1 = C6r x 6 r ( 1 r ) = C6r x 63 r , 所以展开式中的常数项共有两种来源: x2
2 3

6

① 6 3r = 0, r = 2, C6 = 15; ② 6 3r = 3, r = 3, C6 = 20; 相加得 15+20=35.

2sin 2 x + 1 π 16.设 x ∈ 0, ,则函数 y = 的最小值为 sin 2 x 2
答案: 3 解析:本小题主要考查三角函数的最值问题. y =

.

2sin 2 x + 1 2 cos 2 x = = k, sin 2 x sin 2 x

取 A(0, 2), B ( sin 2 x, cos 2 x) ∈ x 2 + y 2 = 1 的左半圆,作图(略)易知

kmin = tan 60 = 3.

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三,解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 答题: 17. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c = 2 , C = (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ)若 sin B = 2sin A ,求 △ ABC 的面积. 本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识,考查综合计算能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由余弦定理得, a + b ab = 4 ,
2 2

π . 3

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C = 3 ,得 ab = 4 . 4 分 2

联立方程组

a 2 + b 2 ab = 4,

ab = 4,

解得 a = 2 , b = 2 . 6 分

(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为 b = 2a , 8 分

a 2 + b 2 ab = 4, 2 3 4 3 解得 a = ,b = . 联立方程组 3 3 b = 2a,
所以 △ ABC 的面积 S =

1 2 3 ab sin C = . 12 分 2 3

18. (本小题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结果 如下表所示: 周销售量 频数 2 20 3 50 4 30

(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率; (Ⅱ)若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 (ⅰ)4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率; (ⅱ)该种商品 4 周的销售量总和至少为 15 吨的概率. 本小题主要考查频率,概率等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)周销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3. 4 分 (Ⅱ)由题意知一周的销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3, 故所求的概率为 (ⅰ) P = 1 0.7 = 0.7599 . 8 分 1
4

(ⅱ) P2 = C4 × 0.5 × 0.3 + 0.3 = 0.0621 . 12 分
3 3 4

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD A′B′C ′D′ 中, AP=BQ=b (0<b<1) 截面 PQEF‖ A′D , , 截面 PQGH‖ AD′ . D′ (Ⅰ)证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; C′ H G (Ⅱ)证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值, A′ B′ 并求出这个值; (Ⅲ)若 b =

1 ,求 D′E 与平面 PQEF 所成角的正弦值. 2

P A

D F

Q B E

C

本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系,解三角形等基础知识, 考查空间想象能力与逻辑思维能力.满分 12 分.

解法一: (Ⅰ)证明:在正方体中, AD′ ⊥ A′D , AD′ ⊥ AB , 又由已知可得 PF ‖ A′D , PH ‖ AD′ , PQ ‖ AB , 所以 PH ⊥ PF , PH ⊥ PQ ,所以 PH ⊥ 平面 PQEF . 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直. 4 分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知

PF = 2 AP,PH = 2 PA′ ,又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形,且 PQ=1,所以截面
PQEF 和截面 PQGH 面积之和是

( 2 AP + 2 PA′) × PQ = 2 ,是定值. 8 分
(Ⅲ)解:设 AD′ 交 PF 于点 N ,连结 EN , 因为 AD′ ⊥ 平面 PQEF , 所以∠D′EN 为 D′E 与平面 PQEF 所成的角. 因为 b =

D′
H

C′

A′
P D N A F

1 ,所以 P,Q,E,F 分别为 2 AA′ , BB′ , BC , AD 的中点.

B′

G

Q B E

C

可知 D′N =

3 2 3 , D′E = . 4 2

3 2 2 . 12 分 所以 sin ∠D′EN = 4 = 3 2 2
解法二: 以 D 为原点,射线 DA,DC,DD′分别为 x,y,z 轴的正半轴建立如图的空间 直角坐标系 D-xyz.由已知得 DF = 1 b ,故

A(1, 0) , A′(1,1) , D(0, 0) , D′(0,1) , 0, 0, 0, 0,
z

P (1, b) , Q(11,b) , E (1 b,0) , 0, , 1, F (1 b, 0) , G (b, , H (b,1) . 0, 11) , 0,
(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得

D′ A′
P A x H

C′

B′

G

PQ = (0,0) PF = (b, b) , 1,, 0, PH = (b 1,1 b) , 0, AD′ = (1,1) A′D = (1, 1) . 0,, 0,

D F

Q C B E y

因为 AD′i PQ = 0, ′i PF = 0 ,所以 AD′ 是平面 PQEF 的法向量. AD

A 因为 A′D i PQ = 0,′D i PH = 0 ,所以 A′D 是平面 PQGH 的法向量.
因为 AD′i A′D = 0 ,所以 A′D ⊥ AD′ ,所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直.…4 分 (Ⅱ)证明:因为 EF = (0, 1, ,所以 EF ‖ PQ, = PQ ,又 PF ⊥ PQ , 0) EF 所以 PQEF 为矩形,同理 PQGH 为矩形. 在所建立的坐标系中可求得 PH = 所以 PH + PF =

2(1 b) , PF = 2b ,

2 ,又 PQ = 1 ,

所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 2 ,是定值. 8 分 (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知 AD′ = ( 1,1) 是平面 PQEF 的法向量. 0, 由 P 为 AA′ 中点可知, Q,E,F 分别为 BB′ , BC , AD 的中点. 所以 E ,0 , D′E = , 1 ,因此 D′E 与平面 PQEF 所成角的正弦值等于 1, 1,

1 2



1 2



| cos < AD′, ′E >|= D

2 . 12 分 2

20. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } , {bn } 是各项均为正数的等比数列,设 cn = (Ⅰ)数列 {cn } 是否为等比数列?证明你的结论; (Ⅱ)设数列 {ln an } , {ln bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn .若 a1 = 2 , 求数列 {cn } 的前 n 项和. 本小题主要考查等差数列,等比数列,对数等基础知识, 考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ) cn 是等比数列. 2 分

bn ( n ∈ N* ) . an

Sn n = , Tn 2n + 1

证明:设 an 的公比为 q1 ( q1 > 0) , bn 的公比为 q2 ( q2 > 0) ,则

cn +1 bn +1 an bn +1 an q = i = i = 2 ≠ 0 ,故 cn 为等比数列. 5 分 cn an +1 bn bn an +1 q1
(Ⅱ)数列 ln an 和 ln bn 分别是公差为 ln q1 和 ln q2 的等差数列.

n(n 1) ln q1 2 2 由条件得 = ,即 n(n 1) 2n + 1 n ln b1 + ln q2 2 n ln a1 + 2 ln a1 + (n 1) ln q1 n = . 7 分 2 ln b1 + (n 1) ln q2 2n + 1
故对 n = 1 , 2 ,…,

(2 ln q1 ln q2 )n 2 + (4 ln a1 ln q1 2 ln b1 + ln q2 )n + (2 ln a1 ln q1 ) = 0 .于是

2 ln q1 ln q2 = 0, 4 ln a1 ln q1 2 ln b1 + ln q2 = 0, 2 ln a ln q = 0. 1 1
将 a1 = 2 代入得 q1 = 4 , q2 = 16 , b1 = 8 . 10 分 从而有 cn =

8i16n 1 = 4n .所以数列 cn 的前 n 项和为 n 1 2i 4

4 4 + 4 2 + … + 4n = (4n 1) . 12 分 3

21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3) , (0,3) 的距离之和等于 4, 设点 P 的轨迹为 C . (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y = kx + 1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 OA ⊥ OB ? 此时 AB 的值是多少? 本小题主要考查平面向量,椭圆的定义,标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识, 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分 12 分.

解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),, 3) 为焦点, (0 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b = 故曲线 C 的方程为 x +
2

22 ( 3) 2 = 1 ,

y2 = 1 . 4 分 4

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) ,其坐标满足

2 y2 = 1, x + 2 2 消去 y 并整理得 ( k + 4) x + 2kx 3 = 0 , 4 y = kx + 1.
故 x1 + x2 =

2k 3 ,x1 x2 = 2 . 6 分 k +4 k +4
2

OA ⊥ OB ,即 x1 x2 + y1 y2 = 0 .而 y1 y2 = k 2 x1 x2 + k ( x1 + x2 ) + 1 ,
3 3k 2 2k 2 4 k 2 + 1 于是 x1 x2 + y1 y2 = 2 +1 = 2 . k + 4 k2 + 4 k2 + 4 k +4 1 时, x1 x2 + y1 y2 = 0 ,故 OA ⊥ OB . 8 分 2 1 4 12 当 k = ± 时, x1 + x2 = , x1 x2 = . 2 17 17
所以 k = ±

AB = ( x2 x1 )2 + ( y2 y1 ) 2 = (1 + k 2 )( x2 x1 )2 ,
而 ( x2 x1 ) = ( x2 + x1 ) 4 x1 x2 =
2 2

42 4 × 3 43 × 13 + 4× = , 17 2 17 17 2

所以 AB =

4 65 . 12 分 17

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2 3a 2 x + 1(a,b ∈ R ) 在 x = x1 , x = x2 处取得极值, 且 x1 x2 = 2 . (Ⅰ)若 a = 1 ,求 b 的值,并求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 a > 0 ,求 b 的取值范围.

本小题主要考查函数的导数,单调性,极值,最值等基础知识, 考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力.满分 14 分
2 2 解: f ′( x) = 3ax + 2bx 3a .① 2 分

(Ⅰ)当 a = 1 时, f ′( x ) = 3 x + 2bx 3 ;
2

由题意知 x1,x2 为方程 3 x + 2bx 3 = 0 的两根,所以 x1 x2 =
2

4b2 + 36 . 3

由 x1 x2 = 2 ,得 b = 0 . 4 分 从而 f ( x ) = x 2 3 x + 1 , f ′( x ) = 3 x 2 3 = 3( x + 1)( x 1) .

, + 当 x ∈ ( 11) 时, f ′( x ) < 0 ;当 x ∈ (∞, 1) ∪ (1, ∞) 时, f ′( x ) > 0 .
故 f ( x ) 在 ( 11) 单调递减,在 ( ∞, 1) , (1 + ∞) 单调递增. 6 分 , , (Ⅱ)由①式及题意知 x1,x2 为方程 3 x + 2bx 3a = 0 的两根,
2 2

所以 x1 x2 =

4b2 + 36a 3 2 2 .从而 x1 x2 = 2 b = 9a (1 a ) , 3a

由上式及题设知 0 < a ≤ 1 . 8 分 考虑 g ( a ) = 9a 2 9a 3 , g ′(a ) = 18a 27 a 2 = 27 a a



2 . 10 分 3 2 4 = . 3 3

1] 故 g ( a ) 在 0, 单调递增,在 , 单调递减,从而 g ( a ) 在 ( 0, 的极大值为 g 1
又 g ( a ) 在 ( 0, 上只有一个极值,所以 g 1]



2 3

2 3

2 4 1] = 为 g (a ) 在 ( 0, 上的最大值,且最小值为 3 3

2 3 2 3 4 g (1) = 0 .所以 b 2 ∈ 0, ,即 b 的取值范围为 , . 14 分 3 3 3


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