辽宁省沈阳二中2012-2013学年高二上学期期中考试(数学文)

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辽宁省沈阳二中 2012-2013 学年高二上学期期中考试(数学 文)
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. i 是虚数单位,

i ? ( 3 ? 3i
B.

)

A.

1 3 ? i 4 12

1 3 ? i 4 12

C.

1 3 ? i 2 6

D.

1 3 ? i 2 6


2. 如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A. ?0,??? B. ?0,2? C. ?1,??? D. ?0,1? )

3. 关于 x 的不等式 x 2 ? px ? 2 ? 0 的解集是 (q,1) ,则 p ? q 的值为( A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

4. 设定点 F ? ?3,0? , F2 ?3,0? ,动点 P ? x, y? 满足条件 PF ? PF2 ? a ? 0 ? a ? 6? ,则动 1 1 点 P 的轨迹是( A.椭圆 5.已知椭圆 ) B.不存在或线段 C.不存在或线段或椭圆 D.线段

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 为椭圆上一点,且∠PF1F2=30°, a2 b2
) C. 2- 3 D.

∠PF2F1=60°, 则椭圆的离心率 e=( A. 3-1 B.

2 2

3 3

6. 给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0?a=b”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c,d∈Q, 则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d”; ③“若 a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”. 其中类比得到的结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.下列不等式一定成立的是( ) A. x ? 1 ? 2 x
2

? x ? R?

B. sin x ?

1 ? 2 ? x ? k? , k ? Z ? sin x

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C.

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? ? 1? ? ? lg x ? x ? 0 ? 4?
) D. | a |? 1

1 ? 1? x ? R ? x ?1
2

D. lg ? x 2 ?

8. 设 a, b ? R, 且 b(a + b + 1)<0 , b(a + b - 1)<0 ,则( A. a ? 1 B. a ? ?1 C. ?1 ? a ? 1

9.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的一条弦被 A(4, 2) 平分,那么这条弦所在的直线方程是 ( 36 9
B. 2 x ? y ? 10 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 8 ? 0 )

)

A. x ? 2 y ? 0

10. 已知方程 | x |? ax ? 1 有一负根且无正根,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?1 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 1

?x ? y ? 2 ? 0 ? 11. 设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ?y ? 2 ? 0 ?
A. [2, ]

x2 ? y 2 ,则 u ? 的取值范围是 ( xy
C.



5 2

B. [2,

10 ] 3

[

5 10 , ] 2 3

D. [ , 4]

1 4

12. M 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点,F1 , F2 是椭圆的两个焦点,I 是 ?MF1F2 的内心, 延长 MI 9 4

交 F1F2 于 N 点,则

MI IN
B.

的值为(



A.

3 5 5

5 3

C.

2 5 5

D.

5 2

第Ⅱ卷 (90 分) 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 若椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的离心率为 14. 已知 z ? z ? 1 ? 5i ,则 z =

3 ,m=______________ 2

?

?

2a ? 3 有意义,则实数 a 的取值范围是 4?a 4 16. 设 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x , g ( x ) ? x ? 1 ? a ,若恒有 f ( x) ? g ( x) 成立,则实数 a 的取 3
15.已知 sin x ? 值范围是

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
17. (本小题满分 10 分) 解不等式 2 x ?1 ? x ? 2 ? 4

18. (本小题满分 12 分) 16 x2 y2 设椭圆 C∶ 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4)和(3, ) a b 5 (1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

19. (本小题满分 12 分) 已知: f ( x) ? ax ? ? a ?1? x ?1.
2

(1)若 a =3,解关于 x 的不等式

1 f ( x) ? 0 x?2

(2)若 a ? R ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0

20. (本小题满分 12 分) (1)设椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1, A2 ,点 M 是椭圆上异于 A1, A2 的任意 3 2

一点,设直线 MA , MA2 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证 k1 ? k2 为定值并求出此定值; 1

x2 y 2 (2)设椭圆方程 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右顶点分别为 A , A2 ,点 M 是椭圆上异于 1 a b
设直线 MA , MA2 的斜率分别为 k1 , k2 , (Ⅰ) 利用 的结论直接写出 k1 ? k2 A1, A2 的任意一点, 1 的值。 (不必写出推理过程)

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21. (本小题满分 12 分)

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已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 的递减函数,若对于任意 x∈(0,1 ] 不等式

f ? 3mx ? 1? ? f ?1 ? mx ? x 2 ? ? f ? m ? 2 ? 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) x2 已知椭圆 G∶ +y2=1.过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.

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沈阳二中 2012——2013 学年度上学期期中考试 高二(14 届)数学(文科)试题参考答案
一、选择题 1—5 BDBBA 二、填空题 13. 6—10 CADDC 11—12 BA 14. 12 ? 5i 15. [?1, ]

1 或4 4

7 3

16. a ? ?5

三、解答题

??3x , ( x ? ?2) ? 17.解: f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? ?? x ? 4,( ? 2 ? x ?1) ,????????????5 分 ?3x , ( x ? 1) ?
令 ? x ? 4 ? 4 或 3x ? 4 , 得 x ? 0 , x ?

4 , 所 以 , 不 等 式 f ( x )? 4的 解 集 是 3

4 {x | x ? 0或x ? } .????????????????10 分 3
18. 解: (Ⅰ )将(0,4) (3,

16 )代入 C 的方程得 b=4,a=5,??????4 分 5

x2 y2 ∴C 的方程为 + =1???????????????? 6 分 25 16 4 4 (Ⅱ)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y = (x-3),??????8 分 5 5 4 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程, 5 即 x2-3x-8=0????????????10 分 x1+x2 3 ∴AB 的中点坐标 x0 = = , 2 2

y0 = 2 =5(x1+x2-6)=-5,即中点坐标为(2,-5).????????12 分
19. (1) ? ,1? ? ? 2, +? ? ????6 分

y1+y2 2

6

3

6

?1 ? ?3 ?

1 (1)a ? 0时, x ?(2)a ? 0时, x ? 1或x ? (3)a=1时,? 1 a (2) 分类讨论 1 1 (4)0 ? a ? 1时,1 ? x ? (5)? a时, ? x ? 1. 1 a a
????12 分 20.解: (Ⅰ) A1 ? 3, 0 , A2

?

? ?
y0 ?

3, 0 , M ? x0 , y0 ?

?

k1 ? k2 ?

y0

x0 ? 3 x0 ? 3

?

y02 ??????????4 分 x02 ? 3

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M ? x0 , y0 ? 在椭圆上有

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x0 2 y0 2 2 ? ? 1 得 y0 2 ? ? 3 ? x0 2 ? ??????6 分 3 3 2

2 ? 3 ? x02 ? 2 y0 2 ?3 2 ? ? ??????????8 分 所以 k1 ? k2 ? 2 x0 ? 3 x0 ? 3 3
(Ⅱ) k1 ? k2 ? ?

b2 ??????????????????12 分 a2

21. 解:因为函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 的递减函数, 所以 f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2)对 x∈(0,1 ] 恒成立.
2 ? ?3mx ? 1 ? 1 ? mx ? x 在 x∈(0,1 ] 恒成立.????????????3 分 ?? ?1 ? mx ? x 2 ? m ? 2 ?

整理,当 x∈ ? 0,1? 时, ?

?2mx ? 2 ? x 2 ? 恒成立, 2 ?m( x ? 1) ? x ? 1 ?

(1)当 x=1 时, ?

? 2m ? 1 1 ,所以 m ? ??????????????5 分 2 ? 0?2

? 2 ? x2 m? ? ? 2x (2)当 x∈(0,1)时, ? 恒成立, 2 ?m ? x ? 1 ? x ?1 ?


2 ? x2 1 x 2 ? x2 1 ? ? 在 x∈(0,1)上为减函数,∴ ? , 2x x 2 2x 2
1 2 ? x2 恒成立 ? m ? .①??????????????8 分 2 2x

∴m<

又∵

x2 ? 1 2 x2 ? 1 ? ( x ? 1) ? ? 2 ,在 x∈(0,1)上是减函数,?∴ <-1. x ?1 x ?1 x ?1
x2 ? 1 恒成立 ? m ? ?1 ②??????????????10 分 x ?1

∴m>

∴①、②两式求交集 m∈ ? ?1, ? ??????????????11 分 2

? ?

1? ?

由(1) (2)可知当 m ? ? ?1, ? 时,对任意 x∈(0,1 ] 时,f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2)

? ?

1? 2?

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恒成立。????????????12 分 22.解: (Ⅰ )由已知得 a=2,b=1,所以 c= a2-b2= 3. c 3 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0),离心率为 e= = .…………2 分 a 2 (Ⅱ)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1, 点 A,B 的坐标分别为(1, 3 3 ),(1,- ),此时|AB|= 3. 2 2

当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3.………………………………4 分 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m).

?y=k?x-m?, ? 由?x2 2 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0. ? ? 4 +y =1.
设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 4k2m2-4 8k2m x1+x2= .…………………………6 分 2,x1x2= 1+4k 1+4k2 又由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得 |km| =1,即 m2k2=k2+1.…………………………8 分 k2+1

所以|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] =
2 2 64k4m2 4?4k m -4? 4 3|m| ?1+k ?[ - ]= 2 .………………10 分 ?1+4k2?2 1+4k2 m +3 2

由于当 m=± 时,|AB|= 3, 1 所以|AB|= 因为|AB|= 4 3|m| ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m2+3 4 3|m| 4 3 = ≤2,且当 m=± 3时,|AB|=2, 3 m2+3 |m|+ |m|

所以|AB|的最大值为 2…………………………………………12 分

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