2016年专项练习题集-定积分的计算

2016 年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.

? 1(5 ? x
2 A. 3

2

2

)dx =(



3

B. C.

1 3
4 3

8 D. 3 【分值】5 分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数,应用微积分基本定理求解。 【解析】

2 1 32 8 2 = 5 x ? x = . ( 5 ? x ) dx ?1 3 1 3
3

2.直线 y ? 9 x 与曲线 y ? x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A、 2 2 B、 4 2 C、2 D、4 【分值】5 分 【答案】D



【易错点】求曲线围成的图形的面积,可转化为函数在某个区间内的定积分来解决,被积函

数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点,再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图 形的面积. 【解析】由 ?

? y ? 9x ,得交点为 ?0,0?, ?3,27?, ?? 3,?27? , 3 ?y ? x
3

所以 S ?

x ? ?9x ? x ?dx ? ? ?2
3

?9

2

0

1 ? 3 81 ? x 4 ? ? ,故选 D. 4 ?0 4


2 3. ? 2 ?2 12 ? 4 x ? x dx=(

A. 4? B. 2? C. ? D. 3? 【分值】5 分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义,一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数,注意 理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。
2 【解析】设 y= 12 ? 4x ? x 2 ,即(x-2)2+y2=16(y≥0).∵ ? 2 ?2 12 ? 4 x ? x dx 表示以 4 为半 2 4? . 径的圆的四分之一面积.∴ ? 2 ?2 12 ? 4 x ? x dx=

4.F4 遥控赛车组织年度嘉年华活动,为了测试一款新赛车的性能,将新款赛车 A 设定 v= 3t2+1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶,老款赛车 B 设定在 A 的正前方 5 m 处,同时以 v

=10t(m/s)的速度与 A 同向运动,出发后赛车 A 追上赛车 B 所用的时间 t(s)为( A.3 B.4 C.5 D.6 【分值】5 分 【答案】A 【易错点】将问题转化为定积分的理解 【考查方向】本题主要考查了变速直线运动的路程问题。

)

【解题思路】先表示出变速直线运动物体的速率 v 关于时间 t 的函数是 v=v(t)(v(t)≥0),然 后应用“物体从时刻 t=a 到 t=b(a<b)所经过的路程为 s=

? a v(t)dt”求解定积分问题.
t

b

【解析】 因为赛车 A 在 t 秒内行驶的路程为

赛车 B 在 t 秒内行驶的路程为 ? ? 0 (3t +1)dt, 0
2

t

10tdt,所以

?t t 2 + 1 - 10t)dt = (t3 + t - 5t2) ? (3 t ?0 ?0 ?

= t3 + t



5t2=5?(t-5)(t2+1)=0,即 t=5. 5.如图,阴影部分的面积为( A.9 )

13 6 9 C. 2 7 D. 3
B. 【分值】5 分 【答案】C 【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。 【考查方向】本题主要考查了曲线围成面积的求法。

【解题思路】首先应该根据图形的面积所表达的条件找出被积函数,写出积分形式,以 x 为 变量设定,被积函数即为 y=-x2-x+2,然后求定积分。 【解析】由 ?

? y ? x ? 2, 求得两曲线交点为 A(-2,-4),B(1,-1).结合图形可知阴影部 2 ? y ? ?x

分的面积为 S=

?

1 ?2

[-x2-(x-2)]dx=
1 ?2

?

1 ?2

(-x2-x+2) dx=

? 1 3 1 2 ? ? ? x ? x ? 2x ? 2 ? 3 ?
二、填空题 6.

9 ? .所以选 C. 2

?

1

?1

( x 3 ? sin x)dx ? ___________.

【分值】5 分 【答案】0 【易错点】微积分基本定理即导数的逆运算的应用。 【考查方向】本题主要考查了定积分的求解。 【解题思路】先将被积函数进行求导的逆运算,然后计算函数值的增量。 【解析】

?

1 ( x 3 ? sin x)dx ? ( x 4 ? cos x) 1 ?1 ? 0 ?1 4
1

e ?e x , x ? ?0,1? f ( x)dx ? ? 0 7.设 f(x)= ? 1 (e 为自然对数的底数),则 =________. ? ?1, e? ? ? x
【分值】5 分 【答案】e 【易错点】应用微积分定理求积分的关键是求被积函数的原函数,注意求一个函数的原函数 与求一个函数的导数是互逆运算;当被积函数是分段函数时,依据定积分的性质,分段求定 积分,再求和. 【考查方向】本题主要考查了分段函数定积分的求解。 【解题思路】先将被积函数的各段进行求导的逆运算,然后分别计算函数值的增量。

【解析】

? 0 f ( x)dx ? ? 0e dx ? ? 1 x dx ? e
x

e

1

e1

x

1

e ? ln x =e-1+lne=e. 0 1

8.设 a ? 0 .若曲线 y ? 【分值】5 分 【答案】0

x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积为 a 2 ,则 a ? ______.

【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。 【考查方向】本题主要考查了定积分的几何意义。 【解题思路】先分清是求曲边图形面积,还是利用曲边图形面积解决其他问题,再正确作出 图形,确定积分区间和被积函数,然后根据条件,建立等量关系或方程,进行求解. 【解析】由已知得 S ? 三、解答题 9.已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 且 f(-1)=2, f′(0)=0,

?

a

0

4 2 2 2 a x ? x 2 |0 ? a 2 ? a 2 ,所以 a 2 ? ,所以 a ? . 9 3 3 3

3

3

1

? 0 (x)dx=-2,求 a,b,c 的值.

1

【分值】10 分 【答案】a=6,b=0,c=-4 【易错点】定积分与导数逆运算的关系 【考查方向】本题主要考查了定积分的运算。 【解题思路】 根据题设条件,列出方程组,求出 a,b,c. 【解析】由 f(-1)=2,得 a-b+c=2.① 因为 f′(x)=2ax+b,所以 f′(0)=b=0.② 又因为

? 0 f(x)dx= ? 0 (ax +bx+c)dx
2

1

1

?1 ?1 1 1 1 =? ax3+ bx2+cx?| 0= a+ b+c, 2 3 2 ?3 ?
1 1 所以 a+ b+c=-2.③ 3 2

联立①②③,解得 a=6,b=0,c=-4. 10.已知两抛物线 y=-x2+2x,y=x2,以其图像在第一象限的交点为对角顶点恰好能 构建一正方形, 设两抛物线所围成的图形区域为 M, 则某人向该正方形区域内撒一粒黄豆, 求黄豆能落在 M 内的概率. 【分值】10 分 1 【答案】 3 【易错点】注意应用定积分求面积,构建几何概型的几何测度。 【考查方向】本题主要考查了定积分的几何意义及运算,几何概型。 【解题思路】求出两抛物线的交点,画出图象,利用定积分求解. 【解析】函数 y=-x2+2x,y=x2 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示. 由图可知,图形 M 的面积 S=

? 0 (-x +2x-x )dx
2 2

1

1 ? 2 ?? 1 1 ? 3 2 2 = ? (-2x +2x)dx=?- x +x ? = . 0 ? 3 ?? ?0 3

1 1 正方形面积为 1,有几何概型的概率公式可得黄豆能落在 M 内的概率 P= 3 ? 。 1 3


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