山西省太原五中2011届高三5月月考试题数学理

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太 高

原 三

五 数

中 学(理)

2010——2011 学年度第二学期月考(5 月)

命题人、校题人:廉海栋 禹海清 选择题( 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A = {x | x ≥ 3}, B = {x | ( x ? 2)( x ? 4) < 0} ,则 A I B = A. {x | x < 2} B. {x | 3 ≤ x < 4} C. {x | 3 ≤ x ≤ 4} D. {x | x > 4}

2.已知复数 z 的实部为 2,虚部为-1,则 A. 2-i B. 2+i C . l+2i

5i = z

D . -l+2i

3.设向量 a = (1, x ? 1) , b = ( x + 1,3) ,则 x = 2” “a // b ”的 “ 是 A.充分但不必要条件 C.充要条件
1 2

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知 a = 2 , b = ( ) 2 ,运算原理图所示,则输出的值为 A.

1 2

1 + 2 4

开始

B. 4 + C. 4 2

2


输入 a、b

a>b



D.

2 4

输出 a ? b

输出 a

结束 5.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1⊥面 A1B1C1,正视 图是边长为 2 的正方形,俯视图为一个等边三角形,该三棱柱的左视图面积为
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A. 2 3 B. 3 C. 2 2 D.4 6.等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3 = A.1 7.设函数 f ( x ) = B. ?



3

0

4 xdx ,则公比 q 的值为(
1 2
D. ?1 或 ?



1 2

C.1 或 ?

1 2

1 x ? ln x ( x > 0) ,则函数 f ( x ) 3

(A) 在区间 (0,1),  +∞ ) 内均有零点 (1, (B) 在区间 (0,1),  +∞ ) 内均无零点 (1, (C) 在区间 (0,1) 内有零点,在区间 (1, +∞ ) 内无零点 (D) 在区间 (0,1) 内无零点,在区间 (1, +∞ ) 内有零点 8.把函数 y = sin(ωx + φ )(ω > 0, | φ |< π ) 的图象向左平移

π 个单位,再将图像上 6 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)所得图象解析式为 y = sin x ,则
(A) ω = 2,φ =

π
6

(B) ω = 2,φ = ?

1 π (C) ω = ,φ = 2 6

π 3 1 π (D) ω = ,φ = 2 12

9.已知函数 f ( x ) =| lg x | , 0 < a < b ,且 f ( a ) = f (b) , 2a + b的取值范围是 若 则 A. (2 2 ,+∞) 10.已知 P 为抛物线 y= (6, B. [ 2 2 ,+∞) C. (3,+∞) D. [3,+∞) .

1 2 x 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是 2
( (D) )

17 ),则|PA|+|PM|的最小值是 2 19 (A)8 (B) (C)10 2
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21 2

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11.已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的内切球, 则平面 ACD1 截球 O 所得 的截面面积为 A.

π
36

B.

6 π 6

C.

π
9

D.

π
6

12 . 对 于 定 义 域 和 值 域 均 为 [0 , 1] 的 函 数 f(x) , 定 义 f1 ( x) = f ( x) ,

f 2 ( x) = f ( f1 ( x)) ,…, f n ( x) = f ( f n ?1 ( x)) ,n=1,2,3,….满足 f n ( x) = x 的 1 ? 0≤ x≤ , ? 2 x, ? 2 则 f 的 n 阶周 设 点 x∈[0, 1]称为 f 的 n 阶周期点. f ( x) = ? ?2 ? 2 x, 1 < x ≤ 1, ? ? 2
期点的个数是 (A) 2n (B) 2(2n-1) (C) 2
n

(D) 2n

2

高考资源网 高考资源网 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)高考资源网 填空题(

13.二项式 ( x +

2 12 ) 的展开式中常数项是第 x

项。

14.若双曲线 心率为

x2 y2 - 2 =1 的渐近线与圆 ( x ? 2) 2 + y 2 = 3 相切,则此双曲线的离 a2 b 高考资源网 ;高考资源网 高考资源网

?x ≥ 0 ? 15.已知 x, y满足 ? y ≤ x (k为常数)若 z = x + 3 y 的最大值为 8,则 k=__ , ?2 x + y + k ≤ 0 ?
16.给出定义:若 m ?

1 1 < x ≤ m + (其中 m 为整数) m 叫做离实数 x 最近的 ,则 2 2

整数,记作 {x} = m ,在此基础上给出下列关于函数 f ( x ) = x ? {x} 的四个命题: ①函数 y = f (x) 的定义域为 R ,值域为 ?0, ? ;②函数 y = f (x) 在 ?? , ? 上是 ? 2? ? 2 2? 增函数;③函数 y = f (x) 是周期函数,最小正周期为 1;④函数 y = f (x) 的图象关

? 1?

? 1 1?

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于直线 x =

k ( k ∈ Z )对称.其中正确命题的序号是__________ 2

三、解答题: 解答题: 解答题
17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 ? sin ? 2 x +

? ?

π?

2 ? ? 2 sin x , x ∈ R 6?

高考资源网 (1) 求函数 f (x ) 的最小正周期;高考资源网 高考资源网

( 2 ) 记 ?ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 长 分 别 为 a , b, c , 若

B f ( ) = 1, b = 1, c = 3 ,求 a 的值。 2
18.(本小题满分 12 分)
D1

如图所示,正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, AB = 2 AD = 2 ,点 E 为 AB 的中点。 (Ⅰ)求证: BD1 // 平面A1 DE (Ⅱ)在线段 AB 上是否存在点 M ,使二 面角 D1 ? MC ? D 的大小为
A E A1 D C

π

6

?若存在,

B

求出 AM 的长;若不存在,请说明理由。 19. (本小题满分 12 分) 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条件 的 500 名志愿者中随机抽样 100 名志原者的年龄情况如下表所示。 (Ⅰ)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布 直方图(如图) ,再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在

[30,35) 岁的人数;
(Ⅱ) 在抽出的 100 名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广 场的宣传活动,从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人,记这 2 名 志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望。

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20. (本小题满分 12 分) 如 图 : 平 行 四 边 形 AMBN 的 周 长 为 8 , 点 M , N 的 坐 标 分 别 为

(?

3,0 ,

)(

3,0 .

)

y A

(Ⅰ)求点 A, B 所在的曲线方程; (Ⅱ) 过点 C ( ?2, 0) 的直线 l 与(Ⅰ)中曲线交于点

D , 与 Y 轴 交 于 点 E , 且 l // OA , 求 证 : uuu uuu r r CD ? CE uuu 2 为定值. r OA
21.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) = x ln x (1) 求 g(x)=

M

O

N

x

B

f ( x) + k (k ∈ R ) 的单调区间; x x2 ?1 恒成立; 2

(2) 证明:当 x ≥ 1 时,2x-e ≤ f (x ) ≤

(3) 任 取 两 个 不 相 等 的 正 数 x1、x 2 , 且 x1 < x 2 , 若 存 在 x 0 > 0 使

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f ′( x0 ) = f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立,证明: x0 > x1 。 x1 ? x 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22、23、 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做答时, 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆 交于点 P,交 BC 延长线于点 D。

PC PD ; = AC BD (2)若 AC=3,求 AP ? AD 的值。
(1)求证:

A P

B

C

D

高考资源网 高考资源网 23.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)高考资源网

已 知 曲 线 C 1 的 极 坐 标 方 程 为 ρ = 6 cosθ , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 θ = ( ρ ∈ R) ,曲线 C1,C2 相交于点 A,B。 (1)将曲线 C1,C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求弦 AB 的长。 24. 选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知 | x1 ? 2 |< 1 , | x 2 ? 2 |< 1 . (I)求证: 2 < x1 + x 2 < 6 , | x1 ? x2 |< 2 ;

π
4

f ( x ) = x 2 ? x + 1,x1 ≠ x2 | x1 ? x2 |<| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |< 5 | x1 ? x2 | .
( II ) 若









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数学(理)参考答案及评分标准:
一.选择题 BDADA CDBBB DC 二.填空题 9;2;-6;134 三.解答题 17.解(1) f ( x ) = 2 ? sin( 2 x +

π
6

) ? 2 sin 2 x

= 2 ? (sin 2 xcox

π

+ cos 2 x sin ) ? (1 ? cos 2 x ) 6 6

π

= 1 + cos 2 x ? (

3 1 sin 2 x + cos 2 x) 2 2
……5 分

=

1 3 π cos 2 x ? sin 2 x + 1 = cos( 2 x + ) + 1 2 2 3
…… 6 分

所以函数 f (x ) 的最小正周期为 π 。 (2)由 f ( ) = 1 得 cos( B + 又因为 0 < B < π ,所以 所以 B +

B 2

π π
3 3

) + 1 = 1 ,即 cos( B + < B+
.

π
3

)=0

π
3

<

π
3

=

π
2

,即 B =

π
6

4 π 3

高考资源网 ………….8 分高考资源网 高考资源网

因为 b = 1, c = 故C = 当C =

3

所以由正弦定理

b c 3 ,得 sin C = = sin B sin C 2

π

π

2 或 π 3 3
时,A =

…….10 分

π

3 2 2π π π 当C = 时,A = ,又B = ,从而 a = b = 1 3 6 6 故 a 的值为 1 或 2. ………….12 分
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,从而a = b 2 + c 2 = 2

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18.解: (Ⅰ)四边形ADD1 A1为正方形,O是AD1的中点 , 点 E 为 AB 的中点, 连接 OE 。∴ EO为?ABD1 的中位线 ∴ EO // BD1 ……4 分 又Q BD1 ? 平面A1 DE, OE ? 平面A1 DE ∴ BD1 // 平面A1 DE ……6 分 (II)由题意可得: D1 D ⊥ 平面ABCD ,以点 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则

D(0,0,0), C (0,2,0), A1 (1,0,1), D1 (0,0,1) , 7 分
D1

z

设 M (1, y 0 ,0)(0 ≤ y 0 ≤ 2)
A1 o D

Q MC = (?1,2 ? y 0 ,0), D1C = (0,2,?1)
设平面 D1 MC 的法向量为 n1 = ( x, y, z ) 则?

8分
A x E B

C y

?n1 ? MC = 0 ? ?n1 ? D1C = 0 ?

得 ?

?? x + y ( 2 ? y 0 ) = 0 ?2 y ? z = 0

……9 分

取 y = 1, 则n1 = ( 2 ? y 0 ,1,2) 是平面 D1 MC 的一个法向量,而平面 MCD 的一个法 向量为 n2 = (0,0,1) 要使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 而 cos ……10 分

π
6

高考资源网 高考资源网 高考资源网

π
6

=| cos < n1 , n2 >|=

| n1 ? n2 | 2 3 = = 2 2 2 | n1 | ? | n2 | 2 (2 ? y0 ) + 1 + 2

解得: y 0 = 2 ?

3 ( 0 ≤ y 0 ≤ 2) 3
KKK 12 分

当 AM = 2 ? 19.

3 π 时,二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 3 6

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20.解: (Ⅰ)因为四边形 AMBN 是平行四边形,周长为 8,所以两点 A, B 到 M , N 的距离之和均为 4,可知所求曲线为椭圆 …………1 分 由椭圆定义可知, a = 2, c = 3 , b = 1 所求曲线方程为

x2 + y 2 = 1 …4 分 4

(Ⅱ)由已知可知直线 l 的斜率存在,又直线 l 过点 C ( ?2, 0)
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设直线 l 的方程为: y = k ( x + 2) ………5 分

代入曲线方程

x2 + y 2 = 1( y ≠ 0) ,并整理得 (1 + 4k 2 ) x 2 + 16k 2 x + 16k 2 ? 4 = 0 点 4

?8k 2 + 2 4k , ) ……8 分 C ( ?2, 0) 在曲线上,所以 D ( 1 + 4k 2 1 + 4 k 2 uuu r uuu r 4 4k E (0, 2k ) , CD = ( , ) , CE = (2, 2k ) ………………9 分 1 + 4 k 2 1 + 4k 2
因为 OA // l ,所以设 OA 的方程为 y = kx ………10 分 代入曲线方程,并整理得 (1 + 4k 2 ) x 2 = 4 所以 A( ±

2 1 + 4k 2



2k 1 + 4k 2

) ……………11 分

uuu uuu r r uuu uuu r r 8 8k 2 + CD ? CE CD ? CE 2 2 1 + 4k 1 + 4k = 2 所以: uuu 2 = r uuu 2 为定值 …12 分 r 4 4k 2 OA OA + 1 + 4k 2 1 + 4k 2 k x?k ——2 21、 = 0 得 x=k Q x > 0 ——2 分 21、解:(1)g(x)=lnx+ ∴ 令g ′( x ) = x x2

∴ k ≤ 0 时 g ′( x ) > 0 所以函数 g(x)的增区间为 (0,+∞ ) ,无减区间; g(x)的增区间为 无减区间;
当 k>0 时 g ′( x ) > 0 得 x>k ; g ′( x ) < 0 得 0<x<k 减区间为(0,k)————————————4 (0,k)———————————— ∴ 增区间为 ( k ,+∞) , 减区间为(0,k)————————————4 分 (2)设 h(x)=xlnx1)令 (2)设 h(x)=xlnx-2x+e(x ≥ 1)令 h ′( x ) = ln x ? 1 = 0 得 x=e 所以 x 1 (1,e) e-2 e 0 0 (e,+ ∞ ) +

h ′(x)
h(x)


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所以 h(x) ≥ 0
2

2x- ——————————-————6 ∴ f(x) ≥ 2x-e——————————-————6 分

1 1 1 ? ( x ? 1) 2 ? (1 + 2 ) = ≤0 x ?1 设 G(x)=lnxG(x)=lnx( x ≥ 1) x 2 x 2x 2 2x 当且仅当x = 1时G ′( x) = 0 G ′( x) =
G(x)为增函数 为增函数, 所以 G(x)为增函数,所以 G(x) ≤ G (1) = 0

lnx所以 lnx-

x2 ?1 x2 ?1 x2 ?1 ≤ 0,所以x ln x ≤ ( x ≥ 1)成立 所以 f (x ) ≤ 2x 2 2 x2 ?1 恒成立——————— ———————8 恒成立———————8 分 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ln x1 ? x 2 ln x 2 = x1 ? x 2 x1 ? x 2

2x综上: 综上:当 x ≥ 1 时,2x-e ≤ f (x ) ≤

(3)Q f ′( x ) = ln x + 1 ∴ ln x 0 + 1 =

∴ ln x0 =

x1 ln x1 ? x 2 ln x 2 x ln x1 ? x 2 ln x 2 ? 1 ∴ ln x0 ? ln x1 = 1 ? 1 ? ln x1 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x 2 ln x1 ? x 2 ln x 2 + x 2 ? x1 = x1 ? x 2 x 2 ln x1 + x 2 ? x1 x2 x1 ? x 2

=

ln =

x1 x +1? 1 x2 x2 x1 ?1 x2

——10 分 10

H(t)=lnt+1设 H(t)=lnt+1-t(0<t<1)

1 1? t H ′(t ) = ? 1 = > 0(0 < t < 1) t t

H(t)在 上是增函数, H(t)在 所以 H(t)在(0,1)上是增函数,并且 H(t)在 t=1 处有意义 所以 H(t)<H(1)=0

Q

x1 ∈ (0,1) ∴ x2

ln

x1 x x +1? 1 H( 1 ) x2 x2 x2 = >0 x1 x1 ?1 ?1 x2 x2
∴ x 0 > x1 ——12 分 12
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∴ ln x 0 ? ln x1 > 0

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22.解 (1 22.解: 1)Q ∠CPD = ∠ABC , ∠D = ∠D , (

PC PD = AB BD PC PD = (5 分) 又Q AB = AC ,∴ AC BD (2)Q ∠ACD = ∠APC , ∠CAP = ∠CAP , AP AC 2 ∴ ?APC ~ ?ACD ∴ = ,∴ AC = AP ? AD = 9 (10 分) AC AD

∴ ?DPC ~ ?DBA ,∴

23. 23.解:(1)以极点为原点以极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线C1 (1)以极点为原点以极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线C
2 2 的直角坐标方程为 x + y ? 6 x = 0

曲线 C2 的直角坐标方程为 y=x

_____________5 分

(2)圆 3 0),C1到直线y = x的距离为 (2)圆 C1的圆心为( ,

3 2

所以|AB|= 圆的半径为 3,所以|AB|= 2 9 ? 24. (

9 = 3 2 _________10 分 2
1 )

Q x1 ? 2 < 1, x1 ? 2 < 1;∴ 2 ? 1 < x1 < 2 + 1, 2 ? 1 < x2 < 2 + 1;即1 < x1 < 3,1 < x2 < 3; x1 ? x2 = ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ≤ x1 ? 2 + x1 ? 2 < 1 + 1 = 2;即 x1 ? x2 < 2;

∴ 2 < x1 + x2 < 6, x1 ? x2 < 2. ……………………5 分
( 2 )

Q f ( x) = x 2 ? x + 1∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) = x12 ? x1 ? x2 2 + x2 = ( x1 ? x2 )( x1 + x2 ? 1)
= x1 ? x2 ? x1 + x2 ? 1 .

Q 2 < x1 + x2 < 6, x1 ? x2 > 0 ∴ x1 ? x2 < x1 ? x2 ? x1 + x2 ? 1 < 5 x1 ? x2 ;
即 x1 ? x2 < f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 5 x1 ? x2 .
………10 分



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