江苏省南师大附校2010高三数学一轮复习教学案:第1课时变化率与导数、导数的计算

南京师范大学附属实验学校

2010 届高三一轮复习

理科数学教学案

导数

导数及其应用

【本章知识结构】

导数的概念

导数

导数的求法

和、差、积、商、复合函数的导数 函数的单调性

导数的应用

函数的极值 函数的最值

第 1 课时

变化率与导数的概念、导数的计算

【复习目标】 1. 了解导数的定义、 掌握函数在某一点处导数的几何意义——图象在该点处的切线的斜率; 2.掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两 个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式,并会运用它们进行 求导运算; 【重点难点】 导数的定义,求导公式.理解导数的物理、几何意义,求函数在某点处切线的斜率和物 体运动到某点处的瞬时速度. 【高考要求】B 级 【基础过关】 1.导数的概念:函数 y= f ( x) 的导数 f ?( x) ,就是当 Δ x ? 0 时,函数的增量 Δ y 与自变量 的增量 Δ x 的比
?y 的 ?x

,即 f ?( x) =





2.导函数:函数 y= f ( x) 在区间(a, b)内 的导数都存在,就说 f ( x) 在区间( a, b ) 内 ,其导数也是(a ,b )内的函数,叫做 f ( x ) 的 ,记作 f ?( x) 或 y?x ,函 数 f ( x ) 的导函数 f ?( x) 在 x ? x0 时的函数值 ,就是 f ( x ) 在 x 0 处的导数. 3.导数的几何意义:设函数 y= f ( x) 在点 x 0 处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示 曲线在相应点 M ( x0 , y0 ) 处的 . 4.求导数的方法 (1) 八个基本求导公式
(C ) ? = (sin x ) ? =



( x n )? =

;(n∈Q)

, (cos x)? = ,
(a x )? =

(e x )? =
(ln x )? =

, (loga x)? =

(2) 导数的四则运算

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( u ? v )? = (uv )? = [Cf ( x )]? =

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导数

, (u )? = v

(v ? 0)

(3) 复合函数的导数 设 u ? ? ( x ) 在点 x 处可导,y ? f (u ) 在点 u ? ? ( x ) 处可导, 则复合函数 f [? ( x)] 在点 x 处可导, 且 ? ? ? u? f ( x) = ,即 y ? x ? yu x. 【典型例题】 例 1.求函数 y= x2 ? 1 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率.
2 解 ∵Δ y= ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ?1 ? 2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ?1 2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ?1

?

2 x0?x ? (?x)2 ( x0 ? ?x) ? 1 ?
2 2 x0

?1

,?

?y 2 x0 ? ?x ? . 2 ?x ( x0 ? ?x)2 ? 1 ? x0 ?1

变式训练 1. 求 y= x 在 x=x0 处的导数. 例 2. 求下列各函数的导数: (1) y ?
x ? x5 ? sin x x2
2?

;

(2) y ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3); (4) y ?
3 2

x x? (3) y ? ? sin ? ?1 ? 2 cos2 ?; 4?
1

1 1? x

?

1 1? x

.



(1)∵ y ?
? 3

x 2 ? x5 ? sin x x2

?x

?

? x3 ?
3 2
? 5 2

sin x x2

,

∴y′ ? ( x 2 )? ? ( x3 )? ? ( x ? 2 sin x)? ? ? x (2)方法一 方法二
2

? 3 x 2 ? 2 x ?3 sin x ? x ? 2 cos x.
3 2 2

y=(x +3x+2) (x+3)=x +6x +11x+6,∴y′=3x +12x+11.
?

y ? = ?( x ? 1)(x ? 2)? ( x ? 3) ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)?

=(? x ? 1)? ( x ? 2) ? ( x ? 1)(x ? 2)?? (x+3)+(x+1) (x+2) =(x+2+x+1) (x+3)+(x+1) (x+2)=(2x+3) (x+3)+(x+1) (x+2)=3x +12x+11.
x x? 1 (3)∵y= ? sin ? ? ? cos ? ? sin x, 2?
1 2
2

2?

2

∴ y? ? ? sin x ? ? (sin x)? ? cos x.
?

?1 ?2

? ?

1 2

(4) y ?

1 1? x

?

1 1? x

?

1? x ?1? x (1 ? x )(1 ? x )

?

2 , 1? x

∴ y? ? ?

? 2 ? 2 ? ? 2(1 ? x)? ? . ? ? (1 ? x) 2 (1 ? x) 2 ?1? x ?

变式训练 2:求 y=tanx 的导数.

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y′ ? ?

? 1 ? sin x ? (sin x)? cos x ? sin x(cos x)? cos2 x ? sin 2 x ? ? . ? ? cos2 x cos2 x cos2 x ? cos x ?

例 3. 已知曲线 y= x3 ? . (1)求曲线在 x=2 处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 2 解 (1)∵y′=x ,∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y ? |x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. (2)设曲线 y= x3 ? 则切线的斜率 k= y ? |
1 3 4 1 3 4? 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? ? ?, ? x0 , x0 3 3? ? 3

1 3

4 3

x ? x0

=x .
2 0

2 4 1 3 4? 2 ∴切线方程为 y ? ? ? ? ? x0 ( x ? x0 ), 即 y ? x ? x ? x ? . ? x0
2 3

?3

3?

0

3

0

3

2 3 ? x0 ? , ∵点 P(2,4)在切线上,∴4= 2 x0

2 3

4 3

3 2 3 2 2 2 即 x0 ? 3x0 ? 4 ? 0,? x0 ? x0 ? 4 x0 ? 4 ? 0, ∴ x0 ( x0 ? 1) ? 4( x0 ? 1)(x0 ? 1) ? 0,

∴(x0+1)(x0-2) =0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 3 2 变式训练 3:若直线 y=kx 与曲线 y=x -3x +2x 相切,则 k= 答案 2 或?
1 4

2

.

例 4. 设函数 f ( x) ? ax ?

1 (a,b∈Z),曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2)) 处的切线方程为 y=3. x?b

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x ) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值, 并求出此定值. (1)解
f ?( x) ? a ? 1 , ( x ? b) 2

1 ? 9 ? a? , ?2a ? 2 ? b ? 3, ? ?a ? 1, ? ? 于是 ? 解得 ? 或? 4 1 b ? ? 1 , ?a ? ? ?b ? ? 8 . ? 0, ? ? ( 2 ? b) 2 3 ? ?

因为 a,b ? Z,故 f ( x) ? x ? (2)证明

1 . x ?1
? ?
0 0

在曲线上任取一点 ? ?x ,x ?

1 ? ?. x0 ? 1 ? ?

1 由 f ?( x0 ) ? 1 ? 知,过此点的切线方程为 ( x0 ? 1) 2
y? ? x02 ? x0 ? 1 ? 1 ? ?1 ? ( x ? x0 ) . 2 ? x0 ? 1 ( x ? 1 ) 0 ? ?

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令 x=1,得 y ?

? x0 ? 1 ? x0 ? 1 ? ,切线与直线 x=1 交点为 ? ?1, x ? 1 ? . x0 ? 1 ? 0 ?
0 0 0

令 y=x,得 y ? 2 x ? 1 ,切线与直线 y=x 的交点为 (2 x ? 1,2 x ? 1) . 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1). 从而所围三角形的面积为
1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

所以,所围三角形的面积为定值 2. 4 3 2 变式训练 4:偶函数 f(x)=ax +bx +cx +dx+e 的图象过点 P(0,1) ,且在 x=1 处的切线方 程为 y=x-2,求 y=f(x)的解析式. 解 ∵f(x)的图象过点 P(0,1) ,∴e=1. ① 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 4 3 2 4 3 2 故 ax +bx +cx +dx+e=ax -bx +cx -dx+e. ∴b=0,d=0. ② 4 2 ∴f(x)=ax +cx +1. ∵函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,∴可得切点为(1,-1). ∴a+c+1=-1. ③ 3 ∵ f ?(1) =(4ax +2cx)|x=1=4a+2c,∴4a+2c=1. ④ 由③④得 a= ,c= ? . ∴函数 y=f(x)的解析式为 f ( x) ? x 4 ? x 2 ? 1. 【小结归纳】 1.理解平均变化率的实际意义和数学意义。 2.要熟记求导公式,对于复合函数的导数要层层求导. 3.搞清导数的几何意义,为解决实际问题,如切线、加速度等问题打下理论基础. 【课后练习】 2 1. 函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a= 2.在曲线 y=x2+1 的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x,2+△y),则
5 2 9 2
5 2 9 2

?y 为 ?x

3.一质点的运动方程为 s=5-3t2,则在一段时间[1,1+△t]内相应的平均速度为 4.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为
4

5.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0. 且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3) ( )

3 2 6.函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =

7.在函数 y ? x ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于
3

? 的点中,坐标为整数的点的个数 4


2

个。
3

8.函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a= 9 . 曲线 y?x 在点 (1,1)处的切线与 x 轴、直线 x?2 所围成的三角形的面积为

_________。
10.曲线 y ? x ? x ? 1 在点(1,3)处的切线方程是
3

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11.曲线 y ? 2 x ? x3 在点(1,1)处的切线方程为 12.设函数 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? a),(a ? 1) (1)求导数 f / ( x) ; 并证明 f ( x ) 有两个不同的极值点 x1 , x2 ; (2)若不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围. 解: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a.

令f ?( x) ? 0得方程 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a ? 0. 因? ? 4(a 2 ? a ? 1) ? 4a ? 0, 故方程有两个不同实根 x1 , x 2 不妨设x1 ? x 2 ,由f ?( x) ? 3( x ? x1 )(x ? x 2 )可判断f ?( x)的符号如下: 当x ? x1时, f ?( x) ? 0; 当x1 ? x ? x 2时, f ?( x) ? 0; 当x ? x 2时, f ?( x) ? 0
因此 x1 是极大值点, x2 是极小值点. (II)因 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 故得不等式
3 2 x13 ? x2 ? (1 ? a)(x12 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 0.

即( x1 ? x2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 3x1 x2 ] ? (1 ? a)[(x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? a( x1 ? x2 ) ? 0.
2 ? x1 ? x 2 ? (1 ? a), ? 3 又由(I)知 ? ? a ?x x ? . 1 2 ? 3 ? 代入前面不等式,两边除以(1+a) ,并化简得 2 2a ? 5a ? 2 ? 0.

1 (舍去) 2 因此,当a ? 2时, 不等式f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0成立. 解不等式得 a ? 2或a ?


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