山东省2014届高三数学 备考2013届名校解析试题精选分类汇编7 立体几何_图文

山东省 2014 届高三理科数学备考之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 7:
立体几何
一、选择题 1 .(山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视
图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为

()

A. 21 3

B. 6 ?15 3

C. 30 ? 6 3

D.42

【答案】C 由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形,两个侧面和底面垂直.其中侧棱 AA1 ? 2 .底面

边 长 AD ? 3 , 平 行 六 面 体 的 高 为 3 . BE ? 2 , 又 AE ? AA12 ? A1E2 ? 22 ? ( 3)2 ? 1 , 所 以 AB ? 1? 2 ? 3 . 所 以 平 行 六 面 体 的 表 面 积 为 2(3? 3 ? 3? 3 ? 3? 2)=30 ? 6 3 , 选

C. 2 .(山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)如图所示是以建筑物的三视图,现需将
其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆 0.2kg,则共需油漆大约公斤数为(尺寸如图所示,单位:米 π 取 3)
1

()

A.20

B.22.2

C.111

D.110

【答案】B

【解析】由三视图可知,该几何体上面是个圆锥,下面是个长方体.长方体的底面是边长为 3 的正方形,

高为 4,所以长方体的表面积(去掉上下两个底面)为 4 ? (3? 4)=48(m2 ) .圆锥的底面半径为 3,母线为

5, 所 以 圆 锥 的 侧 面 积 为 ? ? 3? 5 ? 15? ? 45(m2 ) , 底 面 积 ( 去 掉 一 个 正 方 形 ) 为

9? ? 3? 3 ? 9? ? 9 ? 18(m2 ) , 所 以 该 几 何 体 的 总 面 积 为 48 ? 45 ?18 ? 111(m2 ) , 所 以 共 需 油 漆

0.2?111 ? 22.2 公斤,选

B.

3 .(山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与

左视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的表面积是

正视图

左视图

俯视图

()

A.16?

B.14?

C.12?

D. 8?

【答案】A 由三视图可知,该几何体是一挖去 1 半球的球.其中两个半圆的面积为? ? 22 ? 4? . 3 个

2

4

球的表面积为 3 ? 4? ? 22 ? 12? ,所以这个几何体的表面积是12? ? 4? ? 16? ,选 4

()

A.

4 .(山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知 m 、 n 为两条不同的直线,? 、 ? 为两个

不同的平面,则下列命题中正确的是

()

A.若 l ? m , l ? n ,且 m, n ? ? ,则 l ? ?

2

B.若平面? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则? // ?

C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ?

D.若 m // n, n ? ? ,则 m ? ?

【答案】D 根据线面垂直的性质可知,选项 D 正确.

5 .(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)设 a,b 是不同的直线,?、? 是不

同的平面,则下列命题:

①若 a ? b, a //? ,则b // ?

②若 a //? ,? ? ? ,则a ? ?

③若 a ? ? ,? ? ? ,则a //?

④若 a ? b, a ? ? ,b ? ? ,则? ? ?

其中正确命题的个数是

A.0

B.1

【答案】B

C.2

D.3

()

【 解析】①当 a ? b, a / /? , 时 b 与 ? 可能相交,所以①错误.②中 a ? ? 不一定成立.③中 a ? ? 或

a / /? ,所以错误.④正确,所以正确的个数有 1 个,所以选 B.
6 .(山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)如右图,某几何体的三视图均为边长为 l 的 正方形,则该几何体的体积是

()

A. 5

B. 2

C.1

6

3

【答案】A 由题意三视图对应的几何体如图所示,

D. 1 2

所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积,即13 ? 1 ? 1 ?1?1?1 ? 5 ,选 ( )

32

6

A.
7 .(山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)已知直线 l ⊥平面 α ,直线 m ? 平面 β ,
给出下列命题:
3

①α ∥β ? l⊥m ②α ⊥β ? l∥m

其中正确命题的序号是

A.①②③

B.②③④

【答案】C

③l∥m ? α ⊥β
C.①③

④l⊥m ? α ∥β
D.②④

()

【解析】当? / /? 时,有 l ? ? ,所以 l ? m ,所以①正确.若 l / /m ,则 m ? ? ,又 m ? 平面 β ,所以

? / /? ,所以③正确,②④不正确,所以选 C.

8 .(山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)已知 m,n 是两条不同直线,? , ? 是两个不同平

面,给出四个命题:

①若? ? ? m, n ? ? , n ? m ,则? ? ?

②若 m ? ? , m ? ? ,则? / /?

③若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则? ? ?

④若 m / /? , n / /? m / /n ,则? / /?

其中正确的命题是

()

A.①②

B.②③

C.①④

D.②④

【答案】B 由面面垂直的性质可知②③正确.

9 .(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)下列命题正确的是

()

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

【答案】C

【解析】

()

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以错误.B 中,

若三点共线,则两平面不一定平行,所以错误.C

正确.D 若两个平面都垂直于第三个平

面,则这两个平面平行或相交,所以错误.所以命题正确的为 C,选

C.

10.(山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)一个几何体的三视图如图所示,

则该几何体的体积为

()

A.1

B. 1

C1

D3

3

.2

.2

【答案】B 由三视图可知,该几何体是四棱锥,以俯视图为底,高为 1,俯视图的面积为1?1=1 ,使用四棱

锥的体积为 1 ?1?1 ? 1 ,选

B.

3

3

4

11.(山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知 m 、 n 是两条不同的直线,? 、 ?
是两个不同的平面,给出下列命题:
① 若 ? ? ? , m / /? , 则 ? ? ? ;② 若 m ? ? , n ? ? , 且 m ? n, 则 ? ? ? ;③ 若 m ? ? , m / /? , 则

? ? ? ;④若 m / /? , n / /? ,且 m / /n ,则? / /? .其中正确命题的序号是

()

A.①④ 【答案】B

B.②③

C.②④

D.①③

【解析】①当? ? ? , m / /? 时,? ? ? 不一定成立,所以错误.②成立.③成立.④ m / /? , n / /? ,且

m / /n ,? , ? 也可能相交,所以错误.所以选

B.

12.(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)一个几何体的三视图如图所示,其中的长 度单位为 cm,则该几何体的体积为( )cm3.

A.18

B.48

C.45

D.54

()

【答案】D

由三视图可知,该几何体时底面是矩形的四棱柱,以俯 视图为底,底面直角梯形的上底为 4,下底为 5,高

为 3.棱柱的高为 4,所以四棱柱的体积为 4 ? 5 ? 3? 4 ? 54cm3 ,选

D.

2

13.(2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最

大的几何体的表面积为

()

A.13

B.7+3 2

C. 7 ? 2

D.14

【答案】D 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆

柱 . 由 图 象 可 知 四 棱 柱 的 体 积 最 大 . 四 棱 柱 的 高 为 1, 底 面 边 长 分 别 为 1,3, 所 以 表 面 积 为

2(1? 3 ?1?1? 3?1) ? 14 ,选

D.

14.(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的

5

体积不可能是

A.1
【答案】D

()

B.1.5

C. 2

D. 3

由三视图可知,该几何体时一个侧面和底面垂直的的三棱

锥,

, 其 中 底 面 三 角 形 BAC 为 直 径 三 角

形, PA ? ABC , AB ? 2 , PC ? 4 ,设 AC ? x, 0 ? x ? 4 ,则 PA ? 42 ? x2 ? 16 ? x2 ,所以三棱锥

的 体 积 为 1 ? 1 ? 2x ? 16 ? x2 ? x ? 16 ? x2 ? 1? x2 ? ( 16? x2 )2 ? 16 ? 8 , 当 且 仅 当

32

3

3

2

63

x ? 16 ? x2 ,即 x2 ? 8, x ? 8 ? 2 2 时取等号,此时体积有最大值 8 ? 2 2 ,所以该三棱锥的体积不 33

可能是 3,选

D.

15. (【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )已知 m,n 是空间两条不同的直线,? ,? ,?

是三个不同的平面,则下列命题正确的是

()

A.若? //? , m ? ? , n ? ? ,则 m//n B.若? ? =m,? ? =n,m//n ,则? //?

C.若 m ? ? ,? ? ? , 则 m ? ?

D.若 m ? ? ,m//? , 则? ? ?

【答案】D

【解析】根据线面垂直的判和性质可知,D 正确.

16.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理

()

A.)一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形,若

6

该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是

()

A.12?

B. 24?

C. 32?

D. 48?

【答案】D

【解析】该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面 ABCD 是边长

为 4 的正方形,高为 CC1=4,该几 何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为 AC1 ? 4 3 ? 2R ,所以

球 的 半 径 为 R ? 2 3 ,, 所 以 球 的 表 面 积 是 4? R2 ? 4? ? (2 3)2 ? 48? , 选

D. 17.(山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选
项中,不可能是该锥体的俯视图的是

【答案】C 【 解析】若俯视图为 C,则俯视图的宽和左视图的宽长度不同,所以俯视图不可能是 C. 18.(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)一个四棱锥的底面为正方形, 其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是
7

()

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】B 由题设及图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为 2 的正方形,故其底面

积为 4 ? 1 ?1?1 ? 2 .由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线 2

组成一个直角三角形由于此侧棱长为 13 ,对角线长为 2,故棱锥的高为 ( 13)2 ? 22 ? 9 ? 3 .此

棱锥的体积为 1 ? 2 ? 3 ? 2 ,选

B.

3

19.(山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为

第 11 题图

()

A. 20 3

B. 40 3

C. 20

D. 40

【答案】B

由三视图可知,该几何体是一个放到的四棱锥,其中四棱锥的底面是主视图,为直角梯形,直角梯形的

上 底 为 1, 下 底 为 4, 高 为 4. 棱 锥 的 高 位 4, 所 以 四 棱 锥 的 体 积 为 1 ? 1? 4 ? 4 ? 4 ? 40 , 选

32

3

B. 20.(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧
视图都是直角三角形,其直角边均为 1,则该几何体的体积为
8

()

A. 1

B. 1

C. 1

D.1

3

2

6

【答案】A

【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为 1 的正方形,高为 1 的四棱锥,所以体积为

1 ?1?1?1 ? 1 ,选

3

3

A.

()

21.(山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是

2
6 4

正视图

侧视图

4
5 俯视图
半圆),则该几何体的表面积为

第 7 题图

()

A. 92 ?14π

B.82 ?14π

C. 92 ? 24π

D.82 ? 24π

【答案】A 由几何体的三视图,知该几何体的下半部分是长方体,上半部分是半径为 2,高为 5 的圆柱的
一 半 . 长 方 体 的 中 EH ? 4,HG ? 4,GK ? 5 , 所 以 长 方 体 的 表 面 积 为 ( 去 掉 一 个 上 底

面) 2(4? 4 ? 4? 5) ? 4? 5=92 .半圆柱的两个底面积为? ? 22 =4? ,半圆柱的侧面积为? ? 2? 5=10? ,

所以整个组合体的表面积为 92+4? ?10? =92+14? ,选

()

A.

.

22.(山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)一个几何体的三视图如下所示,则该几

9

何体的表面积是

()

A. 6 ? 8 3

B.12 ? 7 3

C.12 ? 8 3

D.18 ? 2 3 [

【答案】C

【解析】由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,三棱柱的底面是一个腰长为 2,底面上的高是 1 的等

腰三角形,侧棱长是 3,所以该几何体的表面积为 2 ? 1 ? 2 3 ?1? 3(2 ? 2 ? 2 3) ? 12 ? 8 3 ,选 C. 2

23.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理

()

A.)设 m, n 是两条不同直线,? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是

()

A. m / /?, n / /?且? / /? ,则m / /n B. m ? ? , n ? ?且? ? ? ,则 m ? n

C. m ? ? , n ? ? , m ? n ,则? ? ? D. m ? ? , n ? ? , m / /? , n / /? ,则? / /?

【答案】B

【解析】A 中直线 m, n 也有可能异面,所以不正确.B 正确.C 中? , ? 不一定垂直,错误.D 当 m, n 相交时,

结论成立,当 m, n 不相交时,结论错误.所以选

B.

二、填空题

24.(山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知一圆柱内接于球 O,且圆柱的底面直径与母

线长均为 2,则球为 O 的表面积为_____.

【答案】8? 圆柱的底面直径与母线长均为 2,所以球的直径 22 ? 22 ? 8 ? 2 2 ,即球半径为 2 ,

所以球的表面积为 4? ? ( 2)2 ? 8? .
25.(山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5
的球 O 的球面上,且 AB ? 8, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为______.

【答案】16 2

球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上.所以对角线长为 82 ? (2 3)2 ? 2 19 ,所以棱锥的高为
52 ? ( 19)2 ? 6 ,所以棱锥的体积为 1 ? 6 ?8? 2 3 ? 16 2 . 3
26.(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体

10

积为16? ? 8 5 ,则图中 x 的值为_______________. 3
【答案】3 由三视图可知,该几何体下面是个圆柱,上面是个四棱锥.圆柱的体积为 4? ? 4 ? 16? ,四棱

锥的底面积为 1 ? 4? 4 ? 8 ,所以四棱锥的体积为 1 ?8? h ? 8h ,所以16? ? 8 5 ? 16? ? 8h ,所以

2

3

3

3

3

四棱锥的高 h ? 5 .所以 x2 ? h2 ? 22 ? 5 ? 4 ? 9 ,即 x ? 3 .
三、解答题 27 .( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 3 月 诊 断 性 测 试 数 学 理 试 题 ) 如 图 , 在 梯 形 ABCD
中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60o,四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE⊥平面 ABCD,CF=1. (1)求证:BC⊥平面 ACFE;
(2)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为? (? ≤90o),试求 cos? 的取
值范围.

【答案】

11

28.(【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次 模拟考试理科数学 )如图 1, O 的直径 AB=4,点 C、D 为 O 上两点,且 ? CAB=45°, ? DAB=60°,F 为弧 BC 的中点.沿直径 AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直,
如图 2.
(I) 求证:OF // 平面 ACD;[
(II) (Ⅱ)求二面角 C—AD—B 的余弦值;
(Ⅲ)在弧 BD 上是否存在点 G,使得 FG // 平面 ACD?若存在,试指出点 G 的位置;若不存在,请说明理由.
12

【答案】(方法一):证明:(Ⅰ)如右图,连接 CO ,

?

C

?F

A E

O?

B

?D

G

? ?CAB ? 45? ,?CO ? AB 又? F 为弧 BC 的中点,? ?FOB ? 45? ,?OF // AC . ? OF ?
平面 ACD , AC ? 平面 ACD , ? OF // 平面 ACD . 解:(Ⅱ)过 O 作 OE ? AD 于 E ,连 CE . ? CO ? AB ,平面 ABC ⊥平面 ABD . ? CO ⊥ 平 面 ABD . 又 ? AD ? 平 面 ABD , ?CO ? AD , ? AD ? 平 面 CEO , AD ? CE , 则 ∠ CEO 是 二 面 角 C - AD - B 的 平 面
角.? ?OAD ? 60? , OA ? 2 , ?OE ? 3 . 由 CO ⊥平面 ABD , OE ? 平面 ABD ,得 ?CEO 为

直角三角形,? CO ? 2 ,? CE ? 7 ? cos ?CEO = 3 = 21 77
(Ⅲ)取弧 BD 的中点 G ,连结 OG 、 FG ,则 ?BOG=?BAD=60
?OG // AD ? OF // 平面 ACD ,?平面 OFG // 平面 ACD FG //平面 ACD . 因此,在弧 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为弧 BD 的中点
(方法二):证明:(Ⅰ)如图,以 AB 所在的直线为 y 轴,以 OC 所在的直线为 z 轴,以 O 为原点,建立空

间直角坐标系 O ? xyz

z

?

C

?F

A

O?

B y

?D

G

x

则 A?0, ?2,0? C?0,0,2? AC ? (0,0,2) ? (0,?2,0) ? (0,2,2) ,

? ? 点 F 为弧 BC 的中点,?点 F 的坐标为 0, 2 , 2 , OF ? (0, 2, 2) .

? ? ?OF ? 2 AC 解:(Ⅱ) ?DAB ? 60 ,?点 D 的坐标 D 3,?1,0 , AD ? ( 3,1, 0) . 2

设二面角 C - AD - B 的大小为? , n1 ? ? x, y, z ? 为平面 ACD 的一个法向量.

? ? 由

??n1 ?

?

AC

?

0,

??n1 ? AD ? 0,



??? ??? ?

x, x,

y, y,

z z

? ?

? ?

?0, 2, 2?
3,1, 0

? 0, ? 0,



??2 ?

y

?

2z

?

0,

?? 3x ? y ? 0.

13

? ? 取 x ? 1,解得 y ? ? 3 , z ? 3 . ?n1 = 1,- 3, 3

取平面 ADB 的一个法向量 n2 = ?0,0,1?,

?cos? ?

n1 ? n2

1? 0 ? (? 3)? 0 ? 3 ?1

?

?

21

| n1 | ?| n2 |

7 ?1

7

(Ⅲ)设在弧 BD 上存在点 G (x, y,0) ,

? ? FG ? (x, y ? 2,? 2) ,由(Ⅱ)知平面 ACD 的一个法向量为 n = 1,- 3, 3 .
? ? FG ? n ? (x, y ? 2,? 2) ? 1,- 3, 3 = x ? 3( y ? 2) ? 6 ? x ? 3y ? 0 ①
? ? 又因为 x2 ? y2 ? 4 ②由①②两式联立解得 G( 3,1,0) , ?OG ? 3,1,0 ,因为 AD ? ( 3,1, 0) ,所
以 OG // AD ,则 G 为弧 BD 的中点,因此,在弧 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为弧
BD 的中点
29.(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)在如图所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正 三角形, AE ? 1, AE ? 平面 ABC,平面 BCD ? 平面 ABC,BD=CD,且 BD ? CD.
(I)若 AE=2,求证:AC、、平面 BDE; (II)若二面角 A—DE—B 为 60°,求 AE 的长.

【答案】解: (Ⅰ)分别取 BC,BA,BE 的中点 M,N,P ,连接 DM,MN,NP,DP ,
E
P D

A

N

C

M

B

则 MN ∥ AC , NP ∥ AE ,且 NP= 1 AE ? 1 2
因为 BD ? CD , BC ? 2 , M 为 BC 的中点, 所以 DM ? BC , DM ? 1
14

又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC 又 AE ? 平面 ABC , 所以 DM ∥ AE 所以 DM ∥ NP ,且 DM ? NP ,因此四边形 DMNP 为平行四边形, 所以 MN ∥ DP ,所以 AC ∥ DP ,又 AC ? 平面 BDE , DP ? 平面 BDE , 所以 AC ∥平面 BDE
(或者建立空间直角坐标系,求出平面 BDE 的法向量 n1 ,计算 n1 ? AC ? 0 即证)
E

D

N

A

C

M

B

(Ⅱ)解法一:
过 M 作 MN ? ED 的延长线于 N ,连接 BN . 因为 BC ? AM , BC ? DM , 所以 BC ? 平面 DMAE , ED ? 平面 DMAE 则有 BC ? ED . 所以 ED ? 平面 BMN , BN ? 平面 BMN , 所以 ED ? BN . 所以 ?MNB 为二面角 A ? ED ? B 的平面角,
即 ?MNB=60?

在 Rt?BMN 中, BM =1 ,则 MN = 1 , BN = 2 .

3

3

在 Rt?MND 中, DN = 6 . 3

设 AE ? h ?1 ,则 DE ? h2 ? 3 ,所以 NE ? h2 ? 3 ? 6 ,又 BE ? ?h ?1?2 ? 22
3



Rt?BNE

中,

BE 2

?

BN 2

?

NE 2

,即 ?h

? 1?2

?

22

=

? ?

?

2 3

?2 ??

?

? ???

h2 ? 3 ?

6 ?2 3 ???

解得 h ? 6 ,所以 AE ? 6 ?1
解法二:

15

zE

D
y A

C

M

Bx

由(Ⅰ)知 DM ? 平面 ABC , AM ? MB , 建立如图所示的空间直角坐标系 M ? xyz .

设 AE ? h ,则 M ?0, 0, 0? , B ?1, 0, 0? ,
? ? ? ? D ?0,0,1? A 0, 3,0 , E 0, 3, h , ? ? BD ? ??1, 0,1? , BE ? ?1, 3, h .

设平面 BDE 的法向量 n1 ? (x, y, z)



??BD ?

?

n1

?

0,

??BE ? n1 ? 0.

所以

??? x ?

?

z

?

0,

???x ? 3y ? zh ? 0.

令x ?1,

所以

n1

?

(1,1? h 3

,1)

又平面 ADE 的法向量 n2 ? (1, 0, 0)

所以 cos ? n1, n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

?

1

1

?

12 ?12 ? ?1? h?2 2

3

解得 h ? 6 ?1, 即 AE ? 6 ?1
30.(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形
ABCD 是矩形,AB//EF, ?EAB ? 90? , AB ? 2,AD ? AE ? EF ? 1 ,平面 ABFE ? 平面ABCD .

(1)求证: 面DAF ? 面BAF .
(2)求钝二面角 B-FC-D 的大小.

16

【答案】解:(1)?平面ABFE ? 平面ABCD,AD ? AB,? AD ? 平面BAF 又? AD ? 面DAF ?面DAF ? 面BAF
(2)分别以 AD,AB,AE 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立的空间直角坐标系,

则 A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、F(0,1,1)
? DC ?(0,2,0),DE ?(?1,0,1),

设 n1

?

(x,

y,

z)为平面CDEF的一个法向量,则???n1.DC ??n1.DE

?0 ?0

?

?y ???

?0 x?z

?

0

令x ? 1,得z ? 1,即n1 ? (1,0,1)

由平面ABFE ? 平面ABCD知AF ? BC,在?AFB中AF ? 2,AB ? 2, BF ? 2 ? AF ? 面FBC

?n2 ? AF ? (0,1,1)为平面BCF的一个法向量,

? cos?n1, n2 ?

n1.n2 n1 . n2

?1 2

?二面角B ? FC ? D的平面角为钝角, ?二面角B ? FC ? D的大小为120?
31.(山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)如图,几何体 ABCD ? B1C1D1 中,四边形 ABCD

17

为菱形, ?BAD ? 60 , AB ? a ,面 B1C1D1 ∥面 ABCD , BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,且

BB1 ? 2a , E 为 CC1 的中点, F 为 AB 的中点.

(Ⅰ)求证: ?DB1E 为等腰直角三角形;(Ⅱ)求二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值.

D1

C1

B1

E

D C

A

F

B

【答案】解:(I)连接 BD ,交 AC 于 O ,因为四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,所以 BD ? a

因为 BB1 、 CC1 都垂直于面 ABCD ,? BB1 // CC1 ,又面 B1C1D1 ∥面 ABCD ,? BC // B1C1

所以四边形 BCC1B1 为平行四边形 ,则 B1C1 ? BC ? a

因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则 DB1 ? DB2 ? BB12 ? a2 ? 2a2 ? 3a

DE ? DC 2 ? CE2 ? a2 ? a2 ? 6a 22

B1E ?

B1C12 ? C1E 2 ?

a2 ? a2 ? 2

6a 2

所以 DE2

? B1E 2

?

6a2

? 6a2 4

? 3a2

?

DB12

所以 ?DB1E 为等腰直角三角形
(II)取 DB1 的中点 H ,因为 O, H 分别为 DB, DB1 的中点,所以 OH ∥ BB1 ,以 OA, OB, OH 分别为 x, y, z 轴建立坐标系

18

z

D1

C1

B1

E H

xA

D C

O

F

By

则 D(0, ? a , 0), E(? 2

3 a, 0, 2

2 2

a),

B1(0,

a 2

,

2a), F( 3 a, a , 0) 44

所以 DB1 ? (0, a,

2a), DE ? (? 3 a, a , 2 a), DF ? ( 3 a, 3 a, 0)

2 22

44

设面 DB1E 的法向量为 n1 ? (x1, y1, z1) ,

则 n1 ? DB1 ? 0, n1 ? DE ? 0 ,即 ay1 ?

2az1 ? 0 且 ?

3a 2 ax1 ? 2 y1 ?

2 2 az1 ? 0

令 z1 ? 1,则 n1 ? (0, ? 2,1) 设面 DFE 的法向量为 n2 ? (x2 , y2 , z2 ) ,

则 n2 ? DF ? 0, n2 ? DE ? 0 即

3 4

ax2

?

3 4

ay2

?

0



?

3 2

ax2

?

a 2

y2

?

2 2

az2

?

0

令 x2 ? 1,则 n2 ? (1, ?

3,2 6) 33

则 cos n1, n2 ?

6?2 6 3 3? 3? 1? 1 ? 8

2 2

,则二面角

B1

?

DE

?

F

的余弦值为

2 2

33

32 .( 2013 年 临 沂 市 高 三 教 学 质 量 检 测 考 试 理 科 数 学 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ,PD ? 平 面 ABCD,PD//QA,QA=AD= 1 PD 2 (I)求证:平面 PQC ? 平面 DCQ;

(Ⅱ)若二面角 Q-BP-C 的余弦值为 ? 3 ,求 AB 的值 5 AD

19

【答案】
20

33.(山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD,?DAB 为直角, AB ∥ CD , AD ? CD ? 2AB, E, F 分别为 PC,CD 的中点. (Ⅰ)求证: CD ? 平面 BEF ; (Ⅱ)设 PA ? kAB(k > 0 ,且二面角 E ? BD ? C 的大小为 30 ,求此时 k 的值.
【答案】

34.(山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯



,

AB / /CD,



21

AC ? BD, AC与BD交于O, PO ? 底面ABCD, PO ? 2, AB ? 2CD ? 2 2, E、F 分 别 是 AB、AP 的中点. (1)求证: AC ? EF ; (2)求二面角 F ? OE ? A 的余弦值.
P

F

D

C

O

A

E

B

第 18 题图

【答案】证明:(1) E、F 分别是 AB、AP 的中点. EF 是 PB 的中位线,? EF / / PB, -----
由已知可知 PO ? ABCD,? PO ? AC, AC ? BD, ? AC ? 面POB,
PB ? 面POB ? AC ? PB ------------ ----------------------5 分 ? AC ? EF.
P

F

D

C

O

A

E

B

(2)以 OB,OC,OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建系{OB,OC,OP}

22

z
P

F D

O

A

E

y
C
B
x

由题设, OA ? OB ? 2,OC ? OD ? 1,
A?0, ?2, 0?, B ?2, 0, 0?,C ?0,1, 0?, D ??1, 0, 0?, P(0, 0, 2)

OE ? (1, ?1, 0),OF ? (0, ?1,1),

设平面 OEF 的法向量为 m ? (x, y, z)

?

??m ?

?

OE

?

0

可得

m

?

(1,1,1)

,

??m ? OF ? 0

平面 OAE 的法向量为 n ? (0, 0,1) 设二面角 F ? OE ? A 为? ,

cos? ? m ? n ? 3 | m || n | 3

35 .( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 正 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 ,AB

=2, AA1 ? 3 ,点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 AA1 上 (I)当 AE : EA1 ? 1: 2 时,求证 DE ? BC1 ;

(Ⅱ)是否存在点 E,使二面角 D-BE-A 等于 60 若存在求 AE 的长;若不存在,请说明理由

【答案】
23

36.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A))如图,五面体中,四边形 ABCD 是矩形,DA ? 面 ABEF,且 DA=1,AB//EF, AB ? 1 EF ? 2 2, AF ? BE ? 2 ,P、Q、M 分别为 AE、BD、EF 的中点. 2
(I)求证:PQ//平面 BCE;
(II)求证:AM ? 平面ADF;
【答案】
24

37.(山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)如图在多面体 ABCDEF 中,ABCD 为正
方形,ED ? 平面 ABCD,FB//ED,且 AD=DE=2BF=2. (I)求证: AC ? EF ;
(II)求二面角 C—EF—D 的大小; (III)设 G 为 CD 上一动点,试确定 G 的位置使得 BG//平面 CEF,并证明你的结论.
【答案】
25

38.(山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 是直角梯形, AB / /CD, AD ? AB, AD ? AB ? 1 CD ? 1 , PD ? 面ABCD , PD ? 2 , E 是 PC 的中点 2 (1)证明: BE / /面PAD ; (2)求二面角 E ? BD ? C 的大小.
26

(第 20 题)

【答案】证明:取 PD 的中点为 F, 连接 EF ,

z

EF // CD, EF ? 1 CD, 2 F



AB

//

CD且AB

?

1 2

CD,

? EF // AB, EF ? AB,

? ABEF是平行四边形,

?BE // AF,

x

又BE ? 面PAD,AF ? 面PAD, ?BE / /面PAD.
(2)建系:以 DA,DB,DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,

B(1,1,0),C(0,2,0), P(0,0,

2), 则

E (0,1,

2) 2

DB ? (1,1, 0), BE ? (?1, 0, 2 ) 2

设平面EDB的法向量为n ? (x, y, z)

?x ? y ? 0

?

? ???x ?

2 z?0 2

?n ? (x, ?x, 2x) ? x(1, ?1, 2)

令 x=1,则?n ? (1, ?1, 2)

y
27

又因为 平面ABCD的法向量为m ? (0, 0,1), cos m, n ? 2 , 二面角 E ? BD ? C 为 450.
2 39.(山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)如图所示,在棱锥 P ? ABCD 中, PA ?
平面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形, PA ? AD ? DC ? 2, AB ? 4 且 AB // CD , ?BAD ? 90? ,
(Ⅰ)求证: BC ? PC (Ⅱ)求 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值. 【答案】解:(Ⅰ)在直角梯形 ABCD 中,AC= 2 2 ,
取 AB 中点 E,连接 CE, 则四边形 AECD 为正方形,
?AE=CE=2,又 BE= 1 AB ? 2 , 2
则 ?ABC 为等腰直角三角形, ? AC ? BC , 又 PA ? 平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD , ? PA ? BC ,由 AC ? PA ? A 得 BC ? 平面 PAC,
PC ? 平面 PAC,所以 BC ? PC (Ⅱ)以 A 为坐标原点,AD,AB,AP 分别为 x, y, z 轴, 建立如图所示的坐标系.则 P(0,0,2) ,B(0,4,0),
C(2,2,0),
BP ? (0,?4,2), BC ? (2,?2,0) 由(Ⅰ)知 BC 即为平面 PAC 的一个法向量, cos ? BC, BP ?? BC ? BP ? 10 ,
| BC || BP | 5
28

即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 10 5
40.(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学 理)如图,四棱锥 P—ABCD 中, PB ? 底面 ABCD.底面

ABCD 为直角梯形, ?ABC ? 90 , AD / / BC, AB ? AD ? PB, BC ? 2AD. 点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA.

(I)求证: CD ? 平面 PBD;
【答案】

(II)求二面角 A—BE—D 的余弦值.

29

41.(山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,将四条边 对应的第腰三角形折起构成一个正四棱锥 P-ABCD.
30

(1)当 Q 为 PC 为中点时,证明 PA//平面 BDQ; (2)当等腰三角形的腰长为多少时,异面直线 PA 与 BC 所成的角为 60o; (3)当侧棱与底面所成的角为 60o 时,求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值. 【答案】
31

42 .( 山 东 省 德 州 市 2013 届 高 三 3 月 模 拟 检 测 理 科 数 学 ) 已 知 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 是 菱 形
∠BCD=60°,AB=PB=PD=2,PC= 3 ,AC 与 BD 交于 O 点,H 为 OC 的中点.
(1)求证 PH 平面 ABCD; (2)求侧面 PAB 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值. 【答案】
32

33

43.(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)三棱锥 P ? ABC ,底面 ABC 为边长为 2 3 的 正三角形,平面 PBC ? 平面 ABC , PB ? PC ? 2 , D 为 AP 上一点, AD ? 2DP , O 为底面三角形中
心.
(Ⅰ)求证 DO ∥面 PBC ; (Ⅱ)求证: BD ? AC ; (Ⅲ)设 M 为 PC 中点,求二面角 M ? BD ? O 的余弦值.
P
D

A

O

C

B

【答案】证明:(Ⅰ)连结 AO 交 BC 于点 E ,连结 PE .

O 为正三角形 ABC 的中心,∴ AO ? 2OE ,

且 E 为 BC 中点.又 AD ? 2DP ,

∴ DO ∥ PE ,

z

DO ? 平面 PBC , PE ? 平面 PBC

∴ DO ∥面 PBC

P

(Ⅱ) PB ? PC ,且 E 为 BC 中点, ∴ PE ? BC ,

又平面 PBC ? 平面 ABC ,

D

∴ PE ? 平面 ABC ,

M

由(Ⅰ)知, DO ∥ PE ,

∴ DO ? 平面 PBC , ∴ DO ? AC

x
A

连结 BO ,则 AC ? BO ,又 DO BO ? O ,

C
O E

∴ AC ? 平面 DOB ,∴ AC ? BD

B

(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知, EA, EB, EP 两两互相垂直,且 E 为 BC 中点,所y以分别以 EA, EB, EP 所在直线为

x, y, z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 如 图 , 则

A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), P(0, 0,1),D(1, 0, 2), C(0, ? 3, 0), M (0, ? 3 , 1)

3

22

∴ BM ? (0, ? 3 3 , 1), DB ? (?1, 3, ? 2)

22

3

34

设平面 BDM 的法向量为 n

?

(x,

y,

z)

,则

???n ?

?

DB

?

?

x

?

3y ? 2 z ? 0

3

,

???n ?

BM

?

?

33 2

y

?

1 2

z

?

0

令 y ? 1,则 n ? (? 3,1,3 3)

由 (Ⅱ) 知 AC ? 平 面 DBO ,∴ AC ? (?3,? 3,0) 为 平 面 DBO 的 法 向

量,∴ cos ? n, AC ?? n ? AC ? 3 3 ? 3 ? 31 , | n || AC | 3 ?1? 27 ? 9 ? 3 31

由图可知,二面角 M ? BD ? O 的余弦值为 31 31

44 .(山东省 潍坊 市 2013 届高 三第一次 模拟考试理科 数学) (本小题 满分 1 )如图 ,四边 形 ABCD
中, AB ? AD ,AD∥BC,A D =6,BC =4,AB =2,点 E,F 分别在 BC,AD 上,且 E 为 BC 中点,EF∥AB.现将四
边形 ABEF 沿 EF 折起,使二面角 A ? EF ? D 等于 60 .
( I )设这 P 为 AD 的中点,求证:CP∥平面 ABEF; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ACD 所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)取 AF 的中点 Q ,连 QE 、 QP , 则 QP 1 DF ,又 DF = 4, EC = 2, 且DF ∥ EC ,
2 所以 PQ EC ,即四边形 PQEC 为平行四边形,

所以 CP ∥ QE ,又 QE ? 平面 ABEF , CP ? 平面ABEF ,

故 CP ∥平面 ABEF . (Ⅱ)由题知折叠后仍有 EF ^ AF, EF ^ FD ,则 EF ^ 面AFD ,

\ ? AFD 为二面角 A- EF - D 的平面角,

即 ? AFD 60? ,



A



AO ^ FD于O, 又 Q AO ^ EF,\ AO ^ 平面CDFE ,

作 OG ∥ EF 交 EC 于 G ,则OG ^ FD, AO ^ OG ,

35

分别以 OG,OD,OA 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系O - xyz ,

在 RtD AOF 中, AF = 2,? AFO 60? ,则 FO = 1,OA = 3 ,

\ F (0,- 1,0), A(0,0, 3), D(0,3,0),C(2,1,0)

uuur

uuur

uuur

\ AF = (0,- 1,- 3), AD = (0,3,- 3),CD = (- 2, 2,0) ,

设平面

ACD

的一个法向量 n =

( x,

y,

z)



ì??镲眄镲镲?? nn

uuur ?AD uuur ?CD

0即ì? 3y - 3z = 0 , 0 ?- 2x+ 2y = 0

令 z = 3, 得y = 1, x = 1,

\ n = (1,1, 3),

则 cos <

uuur n, AF > =

|-

1-

3| =

2

5,

2? 5 5

\ 直线 AF 与平面 ACD 所成角的正弦值为 2 5 5
45.(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)(本小题满分 12 分) 如 图 所 示 的 几 何 体 中 ,ABCD 是 等 腰 梯 形 ,AB//CD,ACFE 是 矩 形 , 平 面
ABCD,AD=DC=CB=CF=a,∠ACB= ? . 2

ACFE⊥ 平 面

(1)若 M ? EF, AM //平面 BDF,求 EM 的长度;

(2)求二面角 B—EF—C 的平面角? 的大小.

【答案】

36

46.(山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 的中点, 沿 AO 将三角形 AOD 折起,使 DB= 3 . (Ⅰ)求证:平面 AOD⊥ABCO; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值.
37

D

D

O

C

O

C

A

BA

B

第 20 题图

【答案】(Ⅰ)∵在矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 中点, ∴△AOD,△BOC 为等腰直角三角形, ∴∠AOB=90?,即 OB⊥OA.

取 AO 中点 H,连结 DH,BH,则 OH=DH= 2 , 2
在 Rt△BOH 中,BH2=BO2+OH2= 5 , 2

在△BHD 中,DH2+BH2= ( 2 )2 ? 5 ? 3, 又 DB2=3, 22
∴DH2+BH2=DB2,∴DH⊥BH. 又 DH⊥OA, OA∩BH=H ∴DH⊥面 ABCO, 而 DH∈平面 AOD, ∴平面 AOD⊥平面 ABCO. (Ⅱ)解:分别以直线 OA,OB 为 x 轴和 y 轴,O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则

B(0, 2, 0) , A( 2, 0, 0) , D( 2 , 0, 2 ) , C(? 2 , 2 , 0) .

22

22

∴ AB ? (? 2, 2, 0), AD ? (? 2 , 0, 2 ), BC ? (? 2 , ? 2 , 0).

22

22

z

设平面 ABD 的一个法向量为 n ? (x, y, z),

D



??n ?

?

AB

?

0,



?? ? ?

??n ? AD ? 0,

?? ?

2x ? 2 x? 2

2 y ? 0, 2 z ? 0, 2

即 x ? y, x ? z, 令 x ? 1, 则 y ? z ?1 ,

取 n ? (1,1,1).

设? 为直线 BC 与平面 ABD 所成的角,

BC ? n

则 sin? ?

?

2?

6.

BC ? n 3 3

O H
A x

C B
y

38

即直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值为 6 . 3
47.(山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学(理))如图,五面体中,四边形 ABCD 是矩形,DA ? 面 ABEF,且 DA=1,AB//EF, AB ? 1 EF ? 2 2, AF ? BE ? 2 ,P、Q、M 分别为 AE、BD、EF 的中点. 2 (I)求证:PQ//平面 BCE; (II)求证:AM ? 平面 ADF;(III)求二面角,A—DF—E 的余弦值.
【答案】
39


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