北师大版高中数学必修5第三章《不等式》一元二次不等式的解法(一)


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北师大版高中数学必修5第 三章《不等式》

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一、教学目标:1.知识与技能:理解一元二次方程、 一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元 二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨 论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等 式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相 应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的 精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联系的辩 证思想。 二、教学重点:从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型;一元二次不等式的解法。 教学难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次 不等式解集的关系。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程
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准备知识
1、一元一次函数y=ax+b(a≠0) 函数图像是一条直线 2、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时图象开口 向上 ; 当a<0时图象开口 向下 ; b 4ac ? b (? , 其顶点坐标为 2a 4a ) ; 对称轴为直线 x= -b/2a 。 2.不等式|x|<a的解集是 {x|-a<x<a} ; |x|>a的解集是 {x|x<-a或x>a}。
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探析新课
一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数 的关系
x y 2 -3 2.5 -2 3 -1 3.5 0 4 1 4.5 2 5 3 y y=2x-7

1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表 与图 像如下:

由对应值表与图像可以知道:
当x=3.5时,y__0, = 即2x-7__0; = > 即2x-7__0; > 当x<3.5时,y__0, < 即2x-7__0; < 当x>3.5时,y__0, 不等式2x-7>0的解即为 ﹛x|x>3.5﹜ 不等式2x-7<0的解即为 ﹛x|x<3.5﹜

o

3.5

x

-7

4

2、通过以上分析,得出以下结论
a>0 一次函数y=ax+b 的图像 方程ax+b=0的根 不等式ax+b>0的解集 不等式ax+b<0的解集
-b/a

a<0
-b/a

x=-b/a x>-b/a x<-b/a

x=-b/a x>-b/a x<-b/a

二、一元二次方程、一元二次不等式与二次函 数的关系
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1、作二次函数y=x2-x-6的图象。它的对应值表与图像如下:
x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 y y=x2-x-6 y>0 -2 o y<0
6

4 6

(-2,0) (3,0) (1).图象与x轴交点的坐标为___________, 该坐标与方程 x2-x-6=0的解有什么关系: 交点的横坐标即为方程的根 ______________________ (2).当x取 __________ 时,y=0? x= -2 或3 当x取 x<-2 或 x>3 时,y>0? __________ -2<x<3 当x取 __________ 时,y<0? y>0 (3).由图象写出 不等式x2-x-6>0 的解集为 ﹛x|x<-2或x>3﹜ ———————— 不等式x2-x-6<0 的解集为 ﹛x|-2<x<3﹜ ————————

3

x

2、通过师生讨论,得出以下结论
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 ax2+bx+c=0 的根 ⊿>0 ⊿=0 ⊿<0

x1

x2

x1(x2) 无实根

有两个相 有两个不等实 等实根 根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0(a>0) ﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜ 的解集

R Φ
7

ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集

Φ

例1:解不等式2x2-3x-2>0
解: 因为△=(-3)2-4*2*(-2)>0 方程2x2-3x-2=0的解是 x1=-1/2 ; x2=2 所以原不等式的解集为{x|x<-1/2或x>2}

例2:解不等式-3x2+6x>2
解: 整理,得 3x2-6x+2<0 因为△=(-6)2-4*3*2=12>0 方程3x2-6x+2=0的解是
所以原不等式的解集为
3 3 x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? 3 3

3 3 {x | 1 ? ? x ? 1? } 3 3

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例3:解不等式4x2-4x+1>0
解: 因为△=16-16=0

方程4x2-4x+1=0的解是 x1=x2=1/2
所以原不等式的解集为{x|x≠1/2}

例4:解不等式- x2+2x-3>0
解:整理,得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程2x2-3x-2=0无实数根 所以原不等式的解集为ф
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小结
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2) 判 定 ⊿ 与 0 的 关 系 , 并 求 出 方 程 ax2+bx+c=0 的实根 (3)写出不等式的解集
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(a>0) 的步骤是:

课堂练习1.解下列不等式
(1)3x2-7x+2<0
(2)–6x2-x+2? 0

解:因为⊿=49-24=25>0 解:整理,得6x2+x-2 ? 0 方程3x2-7x+2=0的解是 因为⊿=1+48=49>0 x1=1/3,x2=2 方程6x2+x-2=0的解是 x1= -2/3,x2=1/2 所以原不等式的解集为 ﹛x|1/3<x<2﹜ 所以原不等式的解集为: {x|x ?-2/3或x? 1/2 }

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(3)4x2+4x+1<0
解:因为⊿=42-4*4=0 方程4x2+4x+1=0的根为 x1=x2=-1/2 所以原不等式的 解集为?

(4)x2-3x+5>0
解:因为⊿=9-20<0 方程x2-3x+5=0无解 所以原不等式的 解集为R

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课堂练习2. x是什么实数时,函数y=x2-4x+1的值 (1) 等于0? (2) 是正数? (3) 是负数?
解:1)函数值等于0,即x2-4x+1=0,解得:

x1 ? 2 ? 3, x2 ? 2 ? 3

即,当 x1 ? 2 ? 3 , x2 ? 2 ? 3 时,原函数的值 等于0。 2)函数值是正数,即x2-4x+1>0,解得:

{x | x ? 2 ? 3或x ? 2 ? 3} ,即,当
时,原函数的值是正数。 x ? 2 ? 3或x ? 2 ? 3
3)函数值是负数,即x2-4x+1<0,解得: ,即,当

{x | 2 ? 3 ? x ? 2 ? 3} 2 ? 3 ? x ? 2 ? 3 时,原函数的值是负数。

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课堂练习3. 是什么实数时,

x ? x ? 12 有意义?
2
2

解:要想原式有意义,即要使 x ? x ? 12 ? 0 , 解这个不等式得:{x|x<-4或x>3} 所以,原式当x<-4或x>3时有意义。

作业:课本第89页习题3.2[A]组 第1、2、3题

教后反思:
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再 见

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