江西省新干二中2011-2012学年高一第三次段考数学试题(尖,答案不全)

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一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

1、一个半径为 R 的圆中, 600 的圆心角所对的弧长为( )

A.60R

B. ? R 6

C. 1 R 3

D. ? R 3

2、为了得到 y ? sin 3x 的图像只需把 y ? sin(3x ? ? ) 的图像( ) 6

A.向左平移 ? 个单位 6

B.向左平移 ? 个单位 18

C.向右平移 ? 个单位 6

D.向右平移 ? 个单位 18

3、若函数 f ?x? ? x2 ? ax ? b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g?x? ? bx2 ? ax ?1 的零点

是( )

A. ?1 和 ? 2

B.1 和 2

C. 1 和 1 23

D. ? 1 和 ? 1 23

4、某学生离家去学校,由于怕迟到,一开始就跑步,等跑累了再步行走完余下

的路程,若以纵轴表示离家的距离,横轴表示离家后的时间,则下列四个图形中,

符合该学生走法的是( )

5、已知定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x ? 4) ? ? f (x) ,且在区间[0, 4] 上是

() A. f (10) ? f (13) ? f (15)

B. f (13) ? f (10) ? f (15)

C. f (15) ? f (10) ? f (13)

D. f (15) ? f (13) ? f (10)

6、已知右图是函数 y=2sin(ω x+φ )(|φ |< π )
2
的图象,那么( )

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A.ω = 10 ,φ ? π
11 6

B.ω = 10 ,φ ? ? π

11

6

C.ω =2,φ = π D.ω =2,φ =- π

6

6

7、使函数 f(x)=sin(2x+? )+ 3 cos(2x ? ? ) 是奇函数,且在[0, ? ] 上是减函数的? 的
4

一个值是( )

A. ?
3

B. 2?
3

C. 4? 3

D. 5? 3

8、曲线 y ? Asin?x ? a(A ? 0,? ? 0) 在区间[0, 2? ] 上截直线 y ? 2 及 y ? ?1所得的 ?
弦长相等且不为 0 ,则下列对 A, a 的描述正确的是( )

A a? 1,A? 3 22

B a? 1,A? 3 22

C a ? 1 ,A ? 1

D a ? 1 ,A ? 1

9、△ABC 中三个内角为 A、B、C,若关于 x 的方程 x2 ? x cos Acos B ? cos2 C ? 0 有一
2

根为 1,则△ABC 一定是( )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 锐角三角形 D. 钝角三角形

10、已知函数 f (x) ? 2mx 2 ? 2(4 ? m)x ? 1,g(x) ? mx ,若对于任一实数 x , f (x)

与 g(x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( )

A.(0,8) B.(0,2) C.(2,8) D.(-∞,0)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11、P 从(1,0)出发,沿圆 x2 ? y2 ? 1按顺时针方向运动 4? 弧长到达 Q 点, 3

则 Q 的坐标为______________.
? ? 12、函数 y ? log 1 3x2 ? ax ? 5 在 ??1,???上是减函数,则实数 a 的取值范围是
2

13、直线 y ? 3 与曲线 y=2sinω x(ω >0)交于最近两个交点间距离为 ? ,则 y=2sin
6

ω x 的最小正周期为

.

14、设? ? 0 ,若函数 f (x) ? 2sin? x 在[? ? , ? ] 上单调递增,则? 的取值范围是
34

________

15、关于函数 f ? x? ? cos 2x ? 2 3 sin x cos x ,下列命题:

①若存在 x1 , x2 有 x1 ? x2 ? ? 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立;

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f

?

x? 在区间

????

? 6

,? 3

? ??

上是单调递增;

③函数

f

?x?

的图像关于点

?? ?? 12

,

0

? ??

成中心对称图像;

④将函数 f ? x? 的图像向左平移 5? 个单位后将与 y ? 2sin 2x 的图像重合.
12

其中正确的命题序号

(注:把你认为正确的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤)

16、已知函数 f (x) ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1,

(1)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递减区间; (2)若 x ?[? ? , ? ]时, f (x) ? 3 ? m 恒成立,试确定 m 的取值范围。
63

17、已知 cos?? ? ? ? ? 4 ,cos?? ? ? ? ? ? 4 ,? ? ? ? ?? 7? ,2? ??,? ? ? ? ?? 3? ,? ?? ,求 cos 2? 的

5

5

?4 ?

?4 ?



18、已知函数

f

(x2

? 1)

?

log m

x2 2 ? x2

(m

?

0且m

? 1) ,

(1) f (x) 的解析式,并判断 f (x) 的奇偶性;

(2)解关于 x 的不等式 f (x) ? log m (3x ? 1) 。

19、已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1} ①若 x∈Z,求 A 的非空真子集个数; ②当 x∈R,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围。

20、已知函数 f (x) ? 2sin x[1? cos(? ? x)] ? 2cos2 x ?1 2
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(1)设? >0 为常数,若函数 y ? f (? x) 在区间[? ? , 2 ? ]上是增函数,求? 的取值 23
范围;

(2)设集合

A

?

? ?

x

?

|

? 6

≤x≤

2? 3

? ? ?

,B

? ?x

||

f

(x)

?

m |?

2? ,若

A?B

?B

,求实数

m

的取值范围.

21.某居民小区内建有一块矩形草坪 ABCD,AB=50 米,BC= 25 3 米,为了便于
居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路 OE、EF 和 OF,考虑到小区整体规划,要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且∠EOF=90°,如图所示. (1)设∠BOE=? ,试将 ?OEF 的周长 l 表示成? 的函数关系式,并求出此函数的 定义域; (2)经核算,三条路每米铺设费用均为 400 元,试问如何设计才能使铺路的总 费用最低?并求出最低总费用.

21. 解:(1)∵在 Rt△BOE 中,OB=25, ∠B=90°,∠BOE=? ,∴OE= 25 cos?
在 Rt△AOF 中,OA=25, ∠A=90°,∠AFO=? ,∴OF= 25 . sin ?
又∠EOF=90°,∴EF= ? OE2 ? OF 2 ? ( 25 )2 ? ( 25 )2 = 25 , cos? sin? cos? sin?
∴ l ? OE ? OF ? EF ? 25 ? 25 ? 25 cos? sin? cos? sin?
即 l ? 25(sin? ? cos? ?1) . cos? sin?
当点 F 在点 D 时,这时角? 最小,求得此时? = π ;
6
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当点 E 在 C 点时,这时角? 最大,求得此时? = π .
3

故此函数的定义域为[ π , π] 63

(2)由题意知,要求铺路总费用最低,只要求 ?OEF 的周长 l 的最小值即可.

由(1)得, l ? 25(sin? ? cos? ?1) ,? ?[ π , π]

cos? sin?

63

设 sin? ? cos? ? t ,则 sin? ? cos? ? t2 ?1 , 2



l

?

25(sin? ? cos? cos? sin?

? 1)

?

25(t ?1) t2 ?1

?

50 t ?1

2

由, 5π ? ? ? π ? 7π ,得 3 ?1 ? t ? 2 ,∴ 3 ?1 ? t ?1 ? 2 ?1,

12

4 12

2

2

从而

2 ?1? 1 ? t ?1

3

? 1 ,当 ?

?

π 4

,即

BE=25

时, lmin

?

25(

2 ?1) ,

所以当 BE=AE=25 米时,铺路总费用最低,最低总费用为10000( 2 ?1) 元.

20.(16 分)已知函数 f (x) ? 2sin x[1? cos(? ? x)] ? 2cos2 x ?1 2
(1)设? >0 为常数,若函数 y ? f (? x) 在区间[? ? , 2 ? ]上是增函数,求? 的取值 23
范围;

(2)设集合

A

?

? ?

x

?

|

? 6

≤x≤

2? 3

? ? ?

,B

? ?x

||

f

(x)

?

m |?

2? ,若

A?B

?B

,求实数

m

的取值范围.

20.解: f (x) ? 2sin x ? 2sin2 x ? 2 cos2 x ?1 ? 2sin x ?1

(1) y ? f (?x) ? 2sin?x ?1在[? ? , 2 ? ]上增函数 23

∵ ? ? ? ? ?x ? 2 ??

2

3



????

? 2

?

?

?

? 2

? ? ??

2 3

??

?

? 2

?? ? 1

?

????

?

3 4

∴ 0??? 3 4

(2) ?2 ? f (x) ? m ? 2

?m ? f (x) ? 2 ??m ? f (x) ? 2

又 AU B ? B ,∴ A ? B

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∴对于任意

x ?[? 6

,

2 3

?

]

,不等式

?m ??m

? ?

f f

(x) ? (x) ?

2 2

恒成立

而 f (x) ? 2sin x ?1

x?[? , 2?] 且 最 大 值 63

f (x)max ? 3 , 最 小 值

f (x)min ? 2



?m ? 4 ??m ? 1

∴1? m ? 4

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