高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第十一篇 第7讲 离散型随机变量的均值与方差

精品 第7讲 离散型随机变量的均值与方差 A级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.(2013· 西安模拟)样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均 值为 1,则样本方差为 A. 6 5 6 B.5 C. 2 D.2 ( ). 解析 由题意,知 a+0+1+2+3=5×1,解得,a=-1. ?-1-1?2+?0-1?2+?1-1?2+?2-1?2+?3-1?2 s= =2. 5 2 答案 D 2.签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签,从中任意取 3 支,设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个,则 X 的数学期望为 A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6 ( ). 解析 由题意可知,X 可以取 3,4,5,6, 1 1 C2 3 3 P(X=3)=C3=20,P(X=4)=C3=20, 6 6 C2 3 C2 4 5 1 P(X=5)=C3=10,P(X=6)=C3=2. 6 6 由数学期望的定义可求得 E(X)=5.25. 答案 B 3.若 p 为非负实数,随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 则 E(ξ)的最大值为 A.1 3 B.2 2 C.3 D.2 0 1 2-p 1 p 2 1 2 ( ). 精品 1 1 3 解析 由 p≥0,2-p≥0,则 0≤p≤2,E(ξ)=p+1≤2. 答案 B 4.(2013· 广州一模)已知随机变量 X+η=8,若 X~B(10,0.6),则 E(η),D(η)分 别是 A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6 ( ). 解析 由已知随机变量 X+η=8,所以有 η=8-X.因此,求得 E(η)=8-E(X) =8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4. 答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y 已知 ξ 的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为________. 解析 x+0.1+0.3+y=1,即 x+y=0.6. 又 7x+0.8+2.7+10y=8.9,化简得 7x+10y=5.4. 由①②联立解得 x=0.2,y=0.4. 答案 0.4 6. (2013· 温州调研)已知离散型随机变量 X 的分布列如右表, 若 E(X)=0, D(X)=1, 则 a=________,b=________. X P -1 a b 0 1 2 ① ② 1 c 12 解析 ? ? 1 由题意知?-a+c+6=0, ? ?a+c+1 3=1, 1 4 11 a+b+c=12, ? ? 1 解得?b=4, ? ?c=1 4. 5 a=12, 5 答案 12 精品 三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)若随机事件 A 在一次试验中发生的概率为 p(0<p<1),用随机变量 X 表 示 A 在一次试验中发生的次数. (1)求方差 D(X)的最大值;(2)求 2D?X?-1 的最大值. E?X? 解 随机变量 X 的所有可能的取值是 0.1, 并且有 P(X=1)=p,P(X=0)=1-p. 从而 E(X)=0×(1-p)+1×p=p, D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2. 1? 1 ? (1)D(X)=p-p2=-?p-2?2+4. ? ? 1 1 ∵0<p<1,∴当 p=2时,D(X)取最大值,最大值是4. 2D?X?-1 2?p-p2?-1 1? ? ?2p+p?. (2) = = 2 - p ? ? E?X? 1 ∵0<p<1,∴2p+p≥2 2. 1 2 当 2p= ,即 p= 时取“=”. p 2 2D?X?-1 2 因此当 p= 2 时, 取最大值 2-2 2. E?X? 8.(13 分)(2013· 汕头一模)袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个, 记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号. (1)求 X 的分布列、期望和方差; (2)若 η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,试求 a,b 的值. 解 (1)X 的分布列为 X P 0 1 2 1 1 20 2 1 10 3 3 20 4 1 5 1 1 1 3 1 ∴E(X)=0×2+1×20+2×10+3×20+4×5=1.5. 1 1 1 3 D(X) = (0 - 1.5)2× 2 + (1 - 1.5)2× 20 + (2 - 1.5)2× 10 + (3 - 1.5)2× 20 + (4 - 精品 1 1.5)2×5=2.75. (2)由 D(η)=a2D(X),得 a2×2.75=11,即 a=± 2. 又 E(η)=aE(X)+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2. 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ?a=2, ?a=-2, ∴? 或? 即为所求. ?b=-2 ?b=4, B级 能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概 2 1 率为 c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则a+3b的最小值 为 32 A. 3 28 B. 3 14 C. 3 16 D. 3 ( ). 解析 由已知得,3a+2b+0×c=2, 2 即 3a+2b=2,其中 0<a<3,0<b<1. 2 1 3a+2b?2 1 ? 又a+3b= 2 ?a+3b? ? ? 1 2b a 10 =3+3+ a +2b≥ 3 +2 2b a 16 a· 2b= 3 , 2b a 1 1 当

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