福建省泉州市安溪一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

福建省泉州市安溪一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡相应位置) 3 2 1. (5 分)命题 p:?x∈N,x >x 的否定形式¬p 为() 3 2 3 2 3 2 3 2 A.?x∈N,x ≤x B.?x∈N,x >x C.?x∈N,x <x D.?x∈N,x ≤x 2. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为()

A.3

B. 4
2

C. 5

D.6

3. (5 分)已知命题 p:5x﹣6≥x ,命题 q:|x+1|>2,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. (5 分) 若椭圆 是() A.钝角三角形

+

=1 的两个焦点 F1, F2, M 是椭圆上一点, 且|MF1|﹣|MF2|=1, 则△ MF1F2

B.直角三角形
2 2

C.锐角三角形

D.等边三角形

5. (5 分)已知双曲线 mx ﹣ny =1(mn>0)的渐近线方程为 y=± x,此双曲线的离心率为() A. B. C. 或 D.

6. (5 分)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表: x 1 2 3

4

5

6

y

0

2

1

3

3

4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 = x+ 中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得 的直线方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是() A. >b′, >a′ B. >b′, <a′ C. <b′, >a′ D. <b′, <a′

7. (5 分)如图,F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直

线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,则双曲线的离心 率为()

A.

B.

C. 2

D.

8. (5 分) 若直线 mx+ny=4 和⊙O: x +y =4 没有交点, 则过点 (m, n) 的直线与椭圆 的交点个数为() A.0 个

2

2

B. 1 个

C.至多 1 个

D.2 个

9. (5 分)将长为 1 的小棒随机拆成 3 小段,则这 3 小段能构成三角形的概率为() A. B. C. D.

10. (5 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2AD,设∠DAB=θ,θ∈(0,

) ,

以 A,B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1,以 C,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率 为 e2,则()

A.随着角度 θ 的增大,e1 增大,e1e2 为定值 B. 随着角度 θ 的增大,e1 减小,e1e2 为定值 C. 随着角度 θ 的增大,e1 增大,e1e2 也增大

D.随着角度 θ 的增大,e1 减小,e1e2 也减小

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分)直线 x+2y﹣2=0 经过椭圆 圆的离心率等于. 12. (4 分)如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其 中 m 为数字 0~9 中的一个) ,去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均 数分别为 a1、a2,则它们的大小关系是. + =1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭

13. (4 分)已知动圆 C 与圆 C1:x +(y﹣3) =1 和圆 C2:x +(y+3) =9 都外切,则动圆圆 心 C 的轨迹方程是. 14. (4 分)已知双曲线的渐近线方程为 y=± 程为. x,且过点 M(﹣1,3) ,则该双曲线的标准方

2

2

2

2

15. (4 分)给出以下四个命题: ①若 A>B,则 cosA<cosB; ②“若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1”的逆命题; 2 2 ③“若 x +y =0,则 x,y 都为 0”的否命题; ④若 x+y≠3,则 x≠1 或 y≠2. 其中真命题是.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (13 分)命题 p:“方程 + =1 表示双曲线”(k∈R) ;命题 q:y=log2(kx +kx+1)
2

定义域为 R,若命题 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 k 的取值范围. 17. (13 分)某高校在 2009 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成 绩分组,得到的频率分布表如图所示. 组号 分组 频数 频率

第1组 [160,165) 5 0.050 第2组 [165,170) ① 0.350 第3组 [170,175) 30 ② 第4组 [175,180) 20 0.200 第5组 [180,185) 10 0.100 合计 100 1.00 (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试,求: 第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率?

18. (13 分)命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x ﹣x﹣6≤0 2 或 x +2x﹣8>0;若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.
2

2

2

2

19. (13 分)椭圆 C:

+y =1,直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点.

(1)若 l 过点 P(1, )且弦 AB 恰好被点 P 平分,求直线 l 方程. (2)若 l 过点 Q(0,2) ,求△ AOB(O 为原点)面积的最大值.

20. (14 分)已知双曲线 x ﹣

2

=1 的顶点、焦点分别为椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的焦

点、顶点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知一直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F2,交椭圆于点 A、B.当直线 l 与两坐标轴都不垂直 时, 在 x 轴上是否总存在一点 P,使得直线 PA、 PB 的倾斜角互为补角?若存在,求出 P 坐标; 若不存在,请说明理由.

21. (14 分)已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)过点 A(1,

) ,其焦距为 2.

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为 + =1(a>b>0) ,则椭圆在其上一点 A

(x0,y0)处的切线方程为

+

=1,试运用该性质解决以下问题:

(i)如图(1) ,点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l,l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C,D 两点,求△ OCD 面积的最小值; (ii)如图(2) ,过椭圆 C2: + =1 上任意一点 P 作 C1 的两条切线 PM 和 PN,切点分别

为 M,N.当点 P 在椭圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切?若存在,求出圆的 方程;若不存在,请说明理由.

福建省泉州市安溪一中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡相应位置) 3 2 1. (5 分)命题 p:?x∈N,x >x 的否定形式¬p 为() 3 2 3 2 3 2 3 2 A.?x∈N,x ≤x B.?x∈N,x >x C.?x∈N,x <x D.?x∈N,x ≤x 考点: 专题: 分析: 解答: 特称命题;命题的否定. 阅读型. 命题 P 为全称命题,根据全称命题的否定是特称命题解答. 3 2 解:命题 p:?x∈R,x >x 的否定形式是特称命题;

∴¬p:“?x∈R,x ≤x ”. 故选 D. 点评: 通常像“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,通常用 符号“?x”表示“对任意 x”,一般形式为:全称命题:?x∈M,p(x) ;“有一个”、“有些”、“存在 一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词, 通常用符号“?x”表示“存在 x”, ?x∈M, p (x) ; 特称命题?x∈M,p(x) .全称命题与特称命题互为否定命题. 2. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为()

3

2

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 通过程序框图的要求,写出前四次循环的结果得到输出的值. 解答: 解:该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1,a=2; 经第二次循环得到 i=2,a=5; 经第三次循环得到 i=3,a=16; 经第四次循环得到 i=4,a=65 满足判断框的条件,执行是,输出 4 故选 B 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环结果,找规律. 3. (5 分)已知命题 p:5x﹣6≥x ,命题 q:|x+1|>2,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 阅读型. 分析: 把 p 和 q 中的不等式解出,根据解出的 x 的范围分析 p 与 q 的互推情况,从而判断 p 是 q 的什么条件. 2 解答: 解:由 5x﹣6≥x ,得 2≤x≤3; 由|x+1|>2,得:x<﹣3 或 x>1.
2

由 2≤x≤3 能推出 x<﹣3 或 x>1,反之,由 x<﹣3 或 x>1 不能推出 2≤x≤3, 所以由 p 能推出 q,由 q 不能推出 p,即 p 是 q 的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查了必要条件、充分条件与充要条件,判断充要条件的方法是: ①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. 此题是基础题.

4. (5 分) 若椭圆 是() A.钝角三角形

+

=1 的两个焦点 F1, F2, M 是椭圆上一点, 且|MF1|﹣|MF2|=1, 则△ MF1F2

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.等边三角形

考点: 椭圆的简单性质;三角形的形状判断. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆的定义知,|F1F2|=2,|MF1|+|MF2|=4,又由|MF1|﹣|MF2|=1 可知, 2 2 2 |MF2| +|F1F2| =|MF1| . 解答: 解:由题意, |F1F2|=2,|MF1|+|MF2|=4, ∵|MF1|﹣|MF2|=1, ∴|MF1|= ,|MF2|= , ∴|MF2| +|F1F2| =|MF1| , 故选 B. 点评: 本题考查了椭圆的定义应用,属于基础题.
2 2 2 2 2

5. (5 分)已知双曲线 mx ﹣ny =1(mn>0)的渐近线方程为 y=± x,此双曲线的离心率为() A. B. C. 或 D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 双曲线 mx ﹣ny =1(mn>0)的一条渐近线方程为 y=y=± x,可得 = 或 ,利用双 曲线的离心率为 e= =
2 2 2 2

,即可得出结论.

解答: 解:∵双曲线 mx ﹣ny =1(mn>0)的一条渐近线方程为 y= x,

∴ = 或 , ∴双曲线的离心率为 e= = = 或 .

故选:C. 点评: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,体现了分类讨论的数 学思想,比较基础. 6. (5 分)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表: x 1 2 3 y 0 2 1

4 3

5 3

6 4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 = x+ 中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得 的直线方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是() A. >b′, >a′ B. >b′, <a′ C. <b′, >a′ D. <b′, <a′

考点: 线性回归方程. 专题: 压轴题;概率与统计. 分析: 由表格总的数据可得 n, , ,进而可得 ,和 ,代入

可得 ,进而可得 ,再由直线方程的求法可得 b′和 a′,比较可得答案. 解答: 解:由题意可知 n=6, = = = , = = ,



=91﹣6×

=22,

=58﹣6× ×

=



故可得 =

= , =

=

﹣ × =



而由直线方程的求解可得 b′= 比较可得 <b′, >a′,

=2,把(1,0)代入可得 a′=﹣2,

故选 C 点评: 本题考查线性回归方程的求解,涉及由两点求直线方程,属中档题.

7. (5 分)如图,F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直

线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,则双曲线的离心 率为()

A.

B.

C. 2

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据双曲线的定义可求得 a=1,∠ABF2=90°,再利用勾股定理可求得 2c=|F1F2|,从 而可求得双曲线的离心率. 解答: 解:∵|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,不妨令|AB|=3,|BF2|=4,|AF2|=5, ∵|AB| +
2

=



∴∠ABF2=90°, 又由双曲线的定义得:|BF1|﹣|BF2|=2a,|AF2|﹣|AF1|=2a, ∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|, ∴|AF1|=3. ∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a, ∴a=1. 在 Rt△ BF1F2 中, ∴4c =52, ∴c= . ∴双曲线的离心率 e= = .
2

=

+

=6 +4 =52,又

2

2

=4c ,

2

故选 A. 点评: 本题考查双曲线的简单性质,求得 a 与 c 的值是关键,考查转化思想与运算能力,属 于中档题.

8. (5 分) 若直线 mx+ny=4 和⊙O: x +y =4 没有交点, 则过点 (m, n) 的直线与椭圆 的交点个数为() A.0 个

2

2

B. 1 个

C.至多 1 个

D.2 个

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题. 分析: 先根据题意可知圆心(0,0)到直线 mx+ny﹣4=0 的距离大于 2 求得 m 和 n 的范围, 可推断点 P(m,n)是以原点为圆心,2 为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆 内切于椭圆,进而可知点 P 是椭圆内的点,进而判断可得答案. 解答: 解:由题意可得, ∴m +n 4 所以点 P(m,n)是在以原点为圆心,2 为半径的圆内的点. ∵椭圆的长半轴 3,短半轴为 2 ∴圆 m +n =4 内切于椭圆 ∴点 P 是椭圆内的点 ∴过点 P(m,n)的一条直线与椭圆相交,它们的公共点数为 2. 故选 D. 点评: 此题要求学生掌握直线与圆的位置关系,会用点到直线的距离公式化简求值,以及 掌握椭圆的简单性质,考查了数形结合的思想方法. 9. (5 分)将长为 1 的小棒随机拆成 3 小段,则这 3 小段能构成三角形的概率为() A. B. C. D.
2 2 2 2<

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 先设木棒其中两段的长度分别为 x、y,分别表示出木棒随机地折成 3 段的 x,y 的约 束条件和 3 段构成三角形的约束条件, 再画出约束条件表示的平面区域, 利用面积测度即可求 出构成三角形的概率. 解答: 解:设三段长分别为 x,y,1﹣x﹣y,

则总样本空间为



其面积为 ,

能构成三角形的事件的空间为



其面积为 ,

则所求概率为

故选 C. 点评: 本题主要考查了几何概型, 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面 积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 10. (5 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2AD,设∠DAB=θ,θ∈(0,

) ,

以 A,B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1,以 C,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率 为 e2,则()

A.随着角度 θ 的增大,e1 增大,e1e2 为定值 B. 随着角度 θ 的增大,e1 减小,e1e2 为定值 C. 随着角度 θ 的增大,e1 增大,e1e2 也增大 D.随着角度 θ 的增大,e1 减小,e1e2 也减小 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 连接 BD、AC,假设 AD=t,根据余弦定理表示出 BD,进而根据双曲线的性质可得 到 a 的值,再由 AB=2c,e= 可表示出 e1= ,最后根据余弦函数的单调性可

判断 e1 的单调性;同样表示出椭圆中的 c'和 a'表示出 e2 的关系式,最后令 e1、e2 相乘即可得 到 e1e2 的关系. 解答: 解: 连接 BD,AC 设 AD=t, 则 BD= =

∴双曲线中 a=

e1=

∵y=cosθ 在(0,

)上单调减,进而可知当 θ 增大时,

y=

=

减小,即 e1 减小

∵AC=BD

∴椭圆中 CD=2t(1﹣cosθ)=2c∴c'=t(1﹣cosθ) AC+AD= e2= = +t,∴a'= ( +t)

∴e1e2=

×

=1

故选 B.

点评: 本题主要考查椭圆和双曲线的离心率的表示,考查考生对圆锥曲线的性质的应用, 圆锥曲线是高考的重点每年必考,平时要注意基础知识的积累和练习. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分)直线 x+2y﹣2=0 经过椭圆 + =1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭

圆的离心率等于



考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: 先根据椭圆的焦点在 x 轴上,又直线 x+2y﹣2=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0) 、 (0,1) ,它们分别是椭圆的焦点与顶点,进而可求得 b 和 c,根据 a= 求得 a,则椭

圆的离心率可得. 解答: 解: 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上, 又直线 x+2y﹣2=0 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 ( 2, 0) 、 (0,1) ,它们分别是椭圆的焦点与顶点,∴b=1,c=2, ∴a= ,e= = .

故答案为 点评: 本题主要考查了直线与过椭圆的关系,及求椭圆离心率的求法.属基础题. 12. (4 分)如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其 中 m 为数字 0~9 中的一个) ,去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均 数分别为 a1、a2,则它们的大小关系是 a2>a1.

考点: 茎叶图. 专题: 图表型. 分析: 由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后,两组数据都有五个数据,根据样本平 均数的计算公式,代入数据可以求得甲和乙的平均分,把两个平均分进行比较,得到结果. 解答: 解:由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后,两组数据都有五个数据, 代入数据可以求得甲和乙的平均分, a1= a2= +80=84, +80=85,

∴a2>a1 故答案为 a2>a1. 点评: 本题考查茎叶图:当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个 有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分 像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫茎叶图. 13. (4 分)已知动圆 C 与圆 C1:x +(y﹣3) =1 和圆 C2:x +(y+3) =9 都外切,则动圆圆 心 C 的轨迹方程是 (y>0) .
2 2 2 2

考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由两圆的方程分别找出圆心 C1 与 C2 的坐标,及两圆的半径 r1 与 r2,设圆 P 的半径 为 r,根据圆 C 与 C1 外切,又圆 C 与 C2 外切,得到 CC2﹣CC1=2,判断结果即可. 2 2 2 2 解答: 解:由圆 C1:x +(y﹣3) =1 和圆 C2:x +(y+3) =9, 得到 C1(0,3) ,半径 r1=1,C2(0,﹣3) ,半径 r2=3, 设圆 C 的半径为 r, ∵圆 P 与 C1 外切而又与 C2 外切, ∴CC1=r+1,CC2=3+r, ∴CC2﹣CC1=(r+3)﹣(1+r)=2<r1+r2, 满足双曲线的定义,是双曲线的一支.且 a=1,c=3, ∴b= =8, (y>0) .

∴动圆圆心 C 的轨迹方程是

故答案为:

(y>0) .

点评: 此题考查了圆与圆的位置关系,双曲线的基本性质,以及动点的轨迹方程,两圆的 位置关系由圆心角 d 与两圆半径 R,r 的关系来判断,当 d<R﹣r 时,两圆内含;当 d=R﹣r 时,两圆内切;当 R﹣r<d<R+r 时,两圆相交;当 d=R+r 时,两圆外切;当 d>R+r 时,两 圆外离. 14. (4 分)已知双曲线的渐近线方程为 y=± 程为 . x,且过点 M(﹣1,3) ,则该双曲线的标准方

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设双曲线方程为 =λ,λ≠0,把点 M(﹣1,3)代入,能求出该双曲线的标准

方程. 解答: 解:∵双曲线的渐近线方程为 y=± ∴设双曲线方程为 =λ,λ≠0,

x,

把点 M(﹣1,3)代入,得 1﹣3=λ=﹣2, ∴x ﹣
2

=﹣2,

整理,得



故答案为:



点评: 本题考查双曲线的标准方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线性 质的合理运用. 15. (4 分)给出以下四个命题: ①若 A>B,则 cosA<cosB; ②“若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1”的逆命题; 2 2 ③“若 x +y =0,则 x,y 都为 0”的否命题; ④若 x+y≠3,则 x≠1 或 y≠2. 其中真命题是③④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑.

分析: ①,若 A>B,则 cosA<cosB,举例如

>π,则 cos

>cosπ,可判断①;

②,写出“若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1”的逆命题,可判断②; ③,利用原命题的否命题与其逆命题的等价性可判断③; ④,利用原命题与其逆否命题等价可判断④. 解答: 解: 对于①, 若 A>B, 则 cosA<cosB, 错误, 如 >π, 但 cos = >﹣1=cosπ,

故①错误; 对于②, “若 a+b≥2, 则 a, b 中至少有一个不小于 1”的逆命题为“a, b 中至少有一个不小于 1, 则 a+b≥2”错误,如 a=2>1,b=﹣1,a+b=1<2,故②错误; 2 2 对于③,∵“若 x +y =0,则 x,y 都为 0”的否命题与其逆命题为等价命题,而其逆命题为“若 2 2 x,y 都为 0,则 x +y =0”为真命题,故③正确; 对于④,∵原命题与其逆否命题真假性一致(等价) , ∵命题若 x+y≠3,则 x≠1 或 y≠2 的逆否命题为:若 x=1 且 y=2,则 x+y=3 为真命题, ∴若 x+y≠3,则 x≠1 或 y≠2 为真命题,故④正确. 故答案为:③④. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查四种命题之间的关系及真假判断,突出 原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与其否命题的等价性的考查,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (13 分)命题 p:“方程 + =1 表示双曲线”(k∈R) ;命题 q:y=log2(kx +kx+1)
2

定义域为 R,若命题 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 k 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题;简易逻辑. 分析: 先对命题 p,q 化简,再由命题 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题知命题 p,q 一个为真, 一个为假.从而解出实数 k 的取值范围. 解答: 解:p:由(k﹣3) (k+3)<0 得:﹣3<k<3; q:令 t=kx +kx+1,由 t>0 对 x∈R 恒成立. (1)当 k=0 时,1>0,∴k=0 符合题意. (2)当 k≠0 时,
2 2



由△ =k ﹣4×k×1<0 得 k(k﹣4)<0,解得:0<k<4; 综上得:q:0≤k<4. 因为 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,所以命题 p,q 一个为真,一个为假. ∴ 或 ;

∴﹣3<k<0 或 3≤k<4. 点评: 本题考查了命题的化简及复合命题真假性的判断,注意分类讨论的标准.

17. (13 分)某高校在 2009 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成 绩分组,得到的频率分布表如图所示. 组号 分组 频数 频率 第1组 [160,165) 5 0.050 第2组 [165,170) ① 0.350 第3组 [170,175) 30 ② 第4组 [175,180) 20 0.200 第5组 [180,185) 10 0.100 合计 100 1.00 (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试,求: 第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率?

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题;作图题. 分析: (1)由频率的意义可知,每小组的频率= ,由此计算填表中空格;

(2)先算出第 3、4、5 组每组学生数,分层抽样得按比例确定每小组抽取个体的个数,求得 第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试. (3)根据概率公式计算,事件“六位同学中抽两位同学”有 15 种可能,而且这些事件的可能性 相同,其中事件“第 4 组的 2 位同学为 B1,B2 至少有一位同学入选”可能种数是 9,那么即可 求得事件 A 的概率. 解答: 解: (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35×100=35 人, (1 分) 第 3 组的频率为 , (2 分)

频率分布直方图如图所示: (5 分) (2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生, 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,

每组分别为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组: 人, (6 分) 人, (7 分) 人, (8 分)

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人. (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1,A2,A3, 第 4 组的 2 位同学为 B1,B2,第 5 组的 1 位同学为 C1, 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,C1) , (A2,A3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,C1) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A3,C1) , (B1,B2) , (B1,C1) , (B2,C1) , (10 分) 其中第 4 组的 2 位同学为 B1,B2 至少有一位同学入选的有: (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (B1,B2) , (A3,B2) , (B1,C1) , (B2,C1) ,9 中可能, (12 分) 所以其中第 4 组的 2 位同学为 B1,B2 至少有一位同学入选的概率为 . (15 分)

点评: 此题考查了对频数分布直方图的掌握情况,考查的是概率的求法.如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A) = .
2 2 2

18. (13 分)命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x ﹣x﹣6≤0 2 或 x +2x﹣8>0;若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定;一元二次不等式的应用. 专题: 计算题.

分析: 利用不等式的解法求解出命题 p,q 中的不等式范围问题,结合二者的关系得出关于 字母 a 的不等式,从而求解出 a 的取值范围. 解答: 解:x ﹣4ax+3a =0 对应的根为 a,3a; 由于 a<0, 2 2 则 x ﹣4ax+3a <0 的解集为(3a,a) , 故命题 p 成立有 x∈(3a,a) ; 由 x ﹣x﹣6≤0 得 x∈[﹣2,3], 2 由 x +2x﹣8>0 得 x∈(﹣∞,﹣4)∪(2,+∞) , 故命题 q 成立有 x∈(﹣∞,﹣4)∪[﹣2,+∞) . ? ? 若 p 是 q 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件, 因此有(3a,a)?(﹣∞,﹣4)或(3a,a)?[﹣2,+∞) , 又 a<0,解得 a≤﹣4 或 故 a 的范围是 a≤﹣4 或 ; .
2 2 2

点评: 本题考查一元二次不等式的解法,考查二次不等式与二次函数的关系,注意数形结 合思想的运用.
2

19. (13 分)椭圆 C:

+y =1,直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点.

(1)若 l 过点 P(1, )且弦 AB 恰好被点 P 平分,求直线 l 方程. (2)若 l 过点 Q(0,2) ,求△ AOB(O 为原点)面积的最大值. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)设出 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,代入椭圆方程,利用中点弦的坐标,求出直线 的斜率,即得直线方程; (2)设出直线方程,直线方程与椭圆方程联立,消去 y,得关于 x 的一元二次方程; 由此求出△ AOB 的面积表达式,求出它的最大值即可. 解答: 解: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,代入椭圆方程得: + =1, + =1;

两式作差得: (x1+x2) (x1﹣x2)+(y1+y2) (y1﹣y2)=0, 又 x1+x2=2,y1+y2= ,

代入得 k=

=﹣1,

∴此弦所在的直线方程是 y﹣ =﹣(x﹣1) ,

即 x+y﹣ =0;…(5 分) (2)易知直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y=kx+2,…(6 分) 2 2 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立,消去 y 得(1+3k )x +12kx+9=0;…(7 分) 2 2 2 令△ =144k ﹣36(1+3k )>0,得 k >1; 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∴x1+x2=﹣ ,x1x2= ;…(8 分)

∴S△ AOB=|S△ POB﹣S△ POA|= ×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|, ∵ = ﹣4x1x2= ﹣ = , … (10

分) 2 设 k ﹣1=t(t>0) , ∴ = = ≤ = ,…(12 分)

当且仅当 9t=

,即 t= ,k ﹣1= ,k = 时 等号成立, .…(13 分)

2

2

此时△ AOB 面积取得最大值

点评: 本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题,也考查了圆锥曲线中的最值问题,解题时 应用根与系数的关系,结合基本不等式,进行解答,是难题目.

20. (14 分)已知双曲线 x ﹣ 点、顶点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

2

=1 的顶点、焦点分别为椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的焦

(Ⅱ)已知一直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F2,交椭圆于点 A、B.当直线 l 与两坐标轴都不垂直 时, 在 x 轴上是否总存在一点 P,使得直线 PA、 PB 的倾斜角互为补角?若存在,求出 P 坐标; 若不存在,请说明理由. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据双曲线和椭圆的性质进行求椭圆的方程; (2)假设存在符合题意的直线,根据直线 PA、PB 的倾斜角互为补角得出斜率之间的关系, 进而求解. 解答: 解: (Ⅰ)在双曲线 x ﹣ ∴a ,c′=a=1,b′ =2
2 2

=1 中,a=1,b= …(3 分)

,c=

,…(2 分)

所以,椭圆 C 的方程是

…(4 分)

(Ⅱ)假设存在一点 P,使得直线 PA、PB 的倾斜角互为补角, 依题意可知直线 l、PA、PB 斜率存在且不为零. 不妨设 P(m,0) ,直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,k≠0…(5 分)
2 2 2 2



消去 y 得(3k +2)x ﹣6k x+3k ﹣6=0 …(6 分)

设 A(x1,y1)则



…(8 分)

∵直线 PA、PB 的倾斜角互为补角,∴kPA+kPB=0 对一切 k 恒成立,…(9 分) 即 =0 对一切 k 恒成立 …(10 分)

又 y1=k(x1﹣1) ,y2=k(x2﹣1) , 代入上式可得 2x1x2+2m﹣(m+1) (x1+x2)=0 对一切 k 恒成立…(11 分) ∴2× +2m﹣(m+1)× =0 对一切 k 恒成立,…(12 分)



=0,4m﹣12=0,

∴m=3,…(13 分) ∴存在 P(3,0)使得直线 PA、PB 的倾斜角互为补角.…(14 分) 点评: 本题主要考查双曲线、椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.

21. (14 分)已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)过点 A(1,

) ,其焦距为 2.

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程;

(Ⅱ)已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为

+

=1(a>b>0) ,则椭圆在其上一点 A

(x0,y0)处的切线方程为

+

=1,试运用该性质解决以下问题:

(i)如图(1) ,点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l,l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C,D 两点,求△ OCD 面积的最小值; (ii)如图(2) ,过椭圆 C2: + =1 上任意一点 P 作 C1 的两条切线 PM 和 PN,切点分别

为 M,N.当点 P 在椭圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切?若存在,求出圆的 方程;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ) 依题意得: 椭圆的焦点为 F1 (﹣1, 0) , F2 (1, 0) , 由椭圆定义知: 2a=|AF1|+|AF2|, 即可求出 a,b,从而可求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ) (i)确定 ,再结合基本不等式,即可求△ OCD 面积的最小值;

(ii)先求出直线 MN 的方程,再求出原点 O 到直线 MN 的距离,即可得出结论. 解答: 解: (I) 依题意得: 椭圆的焦点为 F( 0) , F( 0) , 由椭圆定义知: 2a=|AF1|+|AF2|, 1 ﹣1, 2 1, ∴ ,所以椭圆 C1 的方程为 .…(4 分)

(II) (ⅰ)设 B(x2,y2) ,则椭圆 C1 在点 B 处的切线方程为 令 x=0, ,令 ,所以 …(5 分)

又点 B 在椭圆的第一象限上,所以





…(7 分)



,当且仅当

所以当

时,三角形 OCD 的面积的最小值为

…(9 分)

(ii)设 P(m,n) ,则椭圆 C1 在点 M(x3,y3)处的切线为:

又 PM 过点 P(m,n) ,所以 所以 M,N 都在直线 即:直线 MN 的方程为 所以原点 O 到直线 MN 的距离 上,

,同理点 N(x4,y4)也满足



…(12 分) = ,…(13 分)

所以直线 MN 始终与圆

相切.…(14 分)

点评: 本题考查椭圆的方程,考查三角形面积的计算,考查直线与圆的位置关系,考查学 生分析解决问题的能力,属于中档题.


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