3.4.2对数运算性质和换底公式_图文

[对数定义]: a?a ? 0, a ? 1? 的b次幂等 定义:一般地,如果 b 于N, 就是a ? N ,那么数 b叫做 以a为底 N 的对数,记作 log a N ? b,a叫做对数的底数, N叫做真数 ㈠对数性质 ①在指数式中 N > 0 (负数与零没有对数) ②∵ 对任意a>0 且a≠1 , ∴loga1=0 logaa=1 logaab=b ③如果把 ab=N 中的 b写成logaN , 则有 a loga N ?N (对数恒等式) (二) 常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做 常用对数为了简便,N的常用对数 简记作lgN 例如:log 10 5 简记作lg5 ; log 10 3.5 简记作lg3.5. ?自然对数:在科学技术中常常使 用以无理数e=2.71828……为底的 对数,以e为底的对数叫自然对数, 为了简便,N的自然对数 log e N 简记作lnN. 例如:log e 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作ln10 内容回顾: 对数定义的实质:指数式与对数式的互化 如果a ? 0, a ? 1, N ? 0, 那么 a ? N ? x ? log a N x P80 动手实践 填表3-7 3-8 ●归纳猜想: 若a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0, 则 (1) log a ? MN ? ? log a M ? log a N ; M (2) log a = log a M ? log a N ; N n (3)log a M =n ? log a M . 理论证明: ?1? loga (MN) = loga M + loga N 证明: 设 log a M ? m,log a N ? n, m n 由对数的定义可知:M ? a , N ? a . ? MN ? a ? a ? a m n m? n , 又由对数的定义可知: m ? n ? loga ? MN ?, 即log a ? MN ? ? log a M ? log a N ?1? ●对数的运算性质: 若a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0, 则 (1) log a ? MN ? ? log a M ? log a N ; M (2) log a = log a M ? log a N ; N n (3)log a M =n ? log a M . 要重视指数式与对数式的互化。 例1 计算 ?1? log3 (9 2 ?3 ) 5 解 : 原式 ? log 92 ? log 35 3 3 ? log 3 3 ? log3 3 =4+5=9 4 5 ? 2 ? lg100 1 5 2 1 2 解 : 原式 ? lg10 ? . 5 5 练习 求下列各式的值: (1) log 2 6 ? log 2 3 ?1 (2)lg 5 ? lg 2 ? 1 1 (3)log 5 3 ? log 5 3 ?0 (4) log 3 5 ? log 3 15 ? ?1 例2. 用 loga x,loga y,log a z 表示下列各式: (1) log a ? x yz ? 2 x2 (2) log a yz x (3) log a 2 y z 解: ?1? 原式=2log a x ? log a y ? log a z, (2)原式=log a ? x 2 y ?1 z ?1 ? ? 2log a x ? log a y ? log a z, ? 1 ? 2 ?2 ?1 (3)原式=log a ? x y z ? ? ? 1 ? log a x ? 2log a y ? log a z. 2 练习: 用 loga x,loga y,loga z 表示下列各式: lg( x yz ) xy lg z 3 2 3 ? ? lg ? xy z ? ? ? ? 1 3 3 2 lg x y2 5 z2 小结 : 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有: log a (MN) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N ( 2) N n log a M ? nlog a M(n ? R) ( 3) 习题3-4 A组 5 问题的提出: 1、如何使用科学计算器计算log215 2、计算lg15?lg2= 3.9068906 ln15?ln2= 3.9068906 3、它们(上述1、2的值相等吗)? 设log215=x,则2x=15,两边取常用 对数或两边取自然对数知相等。 4、已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 log23=? 解:设log23=x,则2x=3,两边取常用对 数得:xlg2=lg3? x=lg3/lg2=0.4771?0.3010=1.5850 即:log23=1.5850为所求。 由上述计算你可得出什么结论? log c N loga N ? log c a (a , c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0) 证明:设 log a N ? p p 由对数的定义可以得: N ? a , p ? log c N ? log c a , ? log c N ? p log c a , logc N ? p? logc a 即证得 换底公式 logc N loga N ? logc a 一、基本计算: log 9 27 2. log 8 9 ? log 27 32; 3. log 8 81? log 2716 ; 1. 二、用科学计算器计算(精确到 0.001); ? 1.log248; 2.log310; 3.log8?; 4.log550; 6.log1.0822。 三

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