广东高考数学人教版文科一轮复习课件50空间几何体的表面积和体积

考纲要求 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式. 2.能对图形进行分解、组合. 知识梳理 1.多面体的面积公式 名称 棱柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱台 正棱台 侧面积( S侧 ) 直截面周长 ?l 表面积( S ) ch 各侧面面积之和 S侧 ?2S底 S侧 ?S底 棱锥 1 ch? 2 各侧面面积之和 1 (c ? c?)h? 2 S侧 +S上底 + S下底 其中: c 、 c ? 分别表示上、下底面的周长, h 表示高, h? 表示斜高, l 表示侧棱长. 2.旋转体的面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面积( S侧 ) 表面积( S ) 2? rl 2? r (l ? r ) ? rl ? r (l ? r ) ? (r1 ? r2 )l ? (r1 ? r2 )l ? ? (r12 ? r22 ) 4? R 2 其中: l , h 分别表示母线、高, r 表示圆柱、圆锥的底面半径, r1 、 r2 分别表示圆台的上、下底面半径, R 表示球的半径. 3.体积公式 名称 柱体 锥体 台体 球 体积( V ) S底 ? h 1 S底 ? h 3 1 (S上底 + S上底 ? S上底 +S下底) ?h 3 4 ? R3 3 基础自测 1.正三棱柱的高为 3 ,底面边长为 2 ,则它的体积为( A. 2 C. 3 B. 3 D. 3 3 ) 【答案】D 2.一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,则这个圆锥的全面 积是( A. 3? C. 6? ) B. 3 3? D. 9? 【答案】A 4? 3.已知正方体的外接球的体积是 ,则这个正方体的棱长是( 3 2 3 A. B. 3 3 2 2 2 3 C. D. 3 3 【答案】D ) 3 【解析】设正方体的边长为 a ,则球的半径为 R ? a, 2 4? 3 4? 2 3 R ? ∵ ,∴ R ? 1 ,∴ a ? . 3 3 3 4. (2012 新课标高考) 平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1 , 球心 O 到平面 ? 的距离为 2 ,则此球的体积为( A. 6? C. 4 6? B. 4 3? D. 6 3? ) 【答案】B 【解析】球半径 r ? 1 ? ( 2 ) ? 2 3, 4 3 ∴球的体积为 ? ? ( 3 ) ? 4 3? . 3 典例剖析 考点1 空间几何体的表面积、体积 【例 1】 如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 V , 点 P 、Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上, AP ? C1Q ,求四棱锥 B ? APQC 的体积. A1 B1 C1 Q P A B C 【解析】如图,作 OB ? AC ,垂足为 O , A1 B1 P A C1 Q O B C 则 BO ? 平面 PACQ , VB ? PACQ 1 1 ? ? ( AP ? CQ) ? AC ? OB 3 2 1 1 1 1 ? ? AC ? OB ? AA1 ? S?ABC ? AA1 ? V . 3 2 3 3 【变式】 (2012 上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面, 则该圆锥的体积为 【答案】 . 3 ? 3 1 2 【解析】∵半圆面的面积为 ?l ? 2? , 2 2 ∴ l ? 4 ,即 l ? 2 ,即圆锥的母线为 l ? 2 , 底面圆的周长 2?r ? ?l ? 2? , ∴圆锥的底面半径 r ? 1 , ∴圆锥的高 h ? l 2 ? r 2 ? 3 , ∴圆锥的体积为 1 3 1 3 ?r h ? ? ? 3 ? ?. 3 3 3 考点2 组合体的表面积、体积 【例 2】已知一个圆锥的底面半径为 5 ,高为 10 ,在其中有一个高为 x 的 内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积; (2) x 为何值时,圆柱的侧面积最大? 【解析】 (1)如图,设圆柱的底面半径为 r ,则 A D C B O r AD r 10 ? x 1 ? ? r ? 5 ? x. ∵ ,即 , ∴ OB AO 5 10 2 ∴ S ? 2? rx ? 10? x ? ? x (0 ? x ? 10) . 2 (2)∵ S ? ?? ( x ? 5) ? 25? . 2 又∵ 0 ? x ? 10 ,∴当 x ? 5 时, Smax ? 25? . ∴ x ? 5 时,圆柱的侧面积取得最大值 25? . 【变式】 (2012 广州调研)设一个球的表面积为 S1 ,它的内接正方体的表 面积为 S2 ,则 S1 的值等于( S2 6 B. ? ) 2 A. ? 【答案】D ? C. 6 ? D. ? 3 【解析】设正方体的边长为 a ,则球的半径为 R ? a, 2 3 2 2 ? ( a ) S1 4? R 2 ? 4 ? ? ? . ∴ 2 2 S2 6a 3a 2 考点3 球的表面积、体积 【例 3】如图,正四面体 ABCD 的棱长为 a ,求这个四面体的外接球的体积. A B C D 【解析】方法 1:如图所示,设正四面体 ABCD 内接于球 O , 由 A 点向底面 BCD 作垂线,垂足为 H ,连接 BH , OB , A 则可求得 BH ? 2 3a, 3 O D H AH ? a ? ( 3 a)2 ? 6 a , B 3 3 在 Rt ?BHO 中, OH ? BH ? OB , 2 2 2 C ∴( 3 a)2 ? ( 6 a ? R)2 ? R 2 6a ,解得 R ? . 3 3 4 ∴V ? 4? 6 3 ? ( 6 a )3 ? ?a , 4 3 8 6 3 ?a . ∴ 正四面体的外接球的体积是 8 方法 2:可将正四面体还原成一正方体如图, C D A B ∴球的直径为正方体的对角

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