反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质 一.基本知识: 1.正确理解反三角函数的定义,把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系; 2. 掌握反三角函数的定义域和值域, y=arcsinx, x∈[-1, 1], y∈[- , ], y=arccosx, x∈[-1, 1], y∈[0, π ], 在反三角函数中,定义域和值域的作用更为明显,在研究问题 时,一定要先看清楚变量的取值范围; 3.符号 arcsinx 可以理解为[- , ]上的一个角或弧,也可以理解为区间[- , ] 上的一个实数;同样符号 arccosx 可以理解为[0,π ]上的一个角或弧,也可以理解为区间 [0,π ]上的一个实数; 4.y=arcsinx 等价于 siny=x, y∈[- , ], y=arccosx 等价于 cosy=x, x∈[0, π ], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据; 5 . 注 意 恒 等 式 sin(arcsinx) = x, x∈[ - 1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[ - 1, 1], arcsin(sinx)=x, x∈[- , ], arccos(cosx)=x, x∈[0, π ]的运用的条件; 6.掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断,大多数情况下,可以与相应的三角函数的图 象及性质结合起来理解和应用; 7.注意恒等式 arcsinx+arccosx= 例一.下列各式中成立的是(C) 。 , arctgx+arcctgx= 的应用。 (A)arcctg(-1)=- (B)arccos(- )=- C)sin[arcsin(- )]=- (D)arctg(tg π )= π 解:(A)(B)中都是值域出现了问题,即 arcctg(-1)∈(0, π ), arccos(- )∈[0, π ], (D)中,arctg(tg π )∈[- , ], 而 π [- , ], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 例二.下列函数中,存在反函数的是(D) 。 (A)y=sinx, x∈[-π , 0] (B)y=sinx, x∈[ , ] (C)y=sinx, x∈[ , ] (D)y=sinx, x∈[ , ] 解:本题是判断函数 y=sinx 在哪个区间上是单调函数,由于 y=sinx 在区间[ 上是单调递减函数, 所以选 D。 例三. arcsin(sin10)等于(C) 。 (A)2π -10 (B)10-2π (C)3π -10 (D)10-3π , ] 解:本题是判断哪个角度的正弦值与 sin10 相等,且该角度在[- , ]上。 由于 sin(3π -10)=sin(π -10)=sin10, 且 3π -10∈[- 例四.求出下列函数的反函数,并求其定义域和值域。 , ], 所以选 C。 ( (1)f (x)=2sin2x, x∈[ , ];(2)f (x)= +arccos2x. 解:(1) x∈[ , ], 2x∈[ , ], 2x-π ∈[- , ], -2≤y≤2 由 y=2sin2x, 得 sin2x= , sin(2x-π )=-sin2x=- , ∴ 2x-π =arcsin(- ), ∴ x= -arcsin , ∴ f -1 (x)= -arcsin , -2≤x≤2, y∈[ , ]. (2) f (x)= +arccos2x, x∈[- , ], y∈[ , ], ∴ arccos2x=y- , 2x=cos(y- ), x= cos(y- )= siny, ∴f -1 (x)= sinx , x∈[ , ], y∈[- , ]. 例五.求下列函数的定义域和值域: (1) y=arccos ; (2) y=arcsin(-x +x); (3) y=arcctg(2 -1), 2 x 解:(1) y=arccos , 0< ≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ). (2) y=arcsin(-x +x), -1≤-x +x≤1, ∴ 2 2 ≤x≤ , 由于-x +1=-(x- 2 )+ 2 , ∴ -1≤-x +x≤ 2 , ∴ - ≤y≤arcsin . (3) y=arcctg(2 -1), 由于 2 -1>-1, ∴ 0< arcctg(2 -1)< 例六.求下列函数的值域: x x x , ∴ x∈R, y∈(0, ). (1) y=arccos(sinx), x∈(- , ); (2) y=arcsinx+arctgx. 解:(1) ∵x∈(- , ), ∴ sinx∈(- , 1], ∴ y∈[0, ). (2) ∵y=arcsinx+arctgx., x∈[-1, 1], 且 arcsinx 与 arctgx 都是增函数, ∴ - ≤arcsinx≤ , - ≤arctgx≤ , ∴ y∈[- , ]. 例七.判断下列函数的奇偶性: (1) f (x)=xarcsin(sinx); (2) f (x)= -arcctgx. 解:(1) f (x)的定义域是 R, f (-x)=(-x)arcsin[sin(-x)]=xarcsin(sinx)=f (x), ∴ f (x)是偶函数; (2) f (x)的定义域是 R, f (-x)= -arcctg(-x)= -(π -arcctgx)=arcctgx- =-f (-x), ∴ f (x)是奇函数. 例八.作函数 y=arcsin(sinx), x∈[-π , π ]的图象. 解:y=arcsin(sinx), x∈[-π , π ], 得 , 图象略。 例九.比较 arc

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