高中数学(人教A版)选修2-3同步课堂课件:1-2 排列与组合1_图文

第一章 计数原理 1.2 排列与组合 第一课时 排列的概念及简单排列问题 课 时 学 案 课 后 巩 固 1.排列 一般地,从 n 个不同元素中,取出 m(m≤n)个元素,按照一 定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列. 2.排列数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个 数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数.用符号 Am n表 示.即:Am (n-1)· ?· (n-m+1). n =n· n n 个不同元素全部取出的排列数 An =n· (n-1)· (n-2)· ?· 3· 2· 1 叫做 n 个不同元素的全排列数公式,也称作 n 的阶乘,用 n!表 示,另外规定 0!=1. 排列数公式可用阶乘表示为 Am n= n! . ?n-m?! 3.应用 北京、上海、香港三个民航站之间的直达航线,需要准备 ________种不同的飞机票?试将它们一一列举出来:________. 答案 →香港 6种 北京→上海 北京→香港 上海→北京 上海 香港→北京 香港→上海 1.关于排列的概念 给出的 n 个元素是互不相同的, 且抽取的 m 个元素是没有重 复抽取的;排列的定义中包含两个基本内容:一是“取元素”, 二是“按照一定顺序排列”.注意在解题时应细心观察:一“抽 取”是否“重复”,二是否与顺序有关. 2.排列数公式的特征 ①m 个连续自然数之积; ②最大数是 n, 最小的是(n-m+1). 课 时 学 案 题型一 例1 排列概念 判断下列问题是否是排列问题: (1)从 2,3,5,7,11 中任取两数相乘可得多少个不同的积? (2)从上面各数中任取两数相除,可得多少个不同的商? (3)某班共有 50 名同学,现要投票选举正副班长各一人,共 有多少种可能的选举结果? (4)某商场有四个大门,若从一个门进去,购买商品后再从另 一个门出来,不同的出入方式共有多少种? 解析 (1)乘法符合交换律与顺序无关,不是排列问题. (2)上、下互换结果不一样,与顺序有关,是排列问题. (3)请同学们记住“正”的就是“正”的,正副不同,是排列 问题. (4)“门”不同,先后也不一样,是排列问题. 探究 1 排列的核心是 “ 顺序 ” ,有 “ 顺序 ” 就是排列问 题.那么如何判断是否有顺序呢?最常用的办法是把得到的结果 变换元素的位置,如果结果变了,就是有“顺序”,若结果不变, 就是无“顺序”. 思考题 1 判断下列问题是否是排列问题. ①从 2,3,5,7,9 中任取两数作为对数的底数与真数,可得多少 个不同的对数值? ②空间有 10 个点,任何三点不共线,任何四点不共面,则 这 10 个点共可组成多少个不同的四面体? ③某班有 10 名三好学生,5 名后进生,班委会决定选 5 名三 好学生对 5 名后进生实行一帮一活动,共有多少种安排方式? ④若从 10 名三好学生中选出 5 名和 5 名后进生组成一个学 习小组,共有多少种安排方式? 答案 ①是 ②不是 ③是 ④不是 题型二 排列数公式 例2 4 2A5 8+7A8 (1)计算: 8 5 ; A8-A9 2 2 (2)解方程:3A3 x =2Ax+1+6Ax . 思路分析 (1) 主要用排列数公式转化为连乘积再化简计 算; (2)解决本题的关键是利用排列数公式转化为关于 x 的代数方 * 程来解.注意 Am n 中 m,n∈N ,且 m≤n 这些限制条件,及转化 为方程(或不等式)中未知数的取值范围. 4 2A5 + 7A 8 8 解析 (1) 8 A8-A5 9 2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 = 8×7×6×5×4×3×2×1-9×8×7×6×5 8×7×6×5×?8+7? = =1. 8×7×6×5×?24-9? 2 2 (2)由 3A3 = 2A + 6A + x x 1 x ,得 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)· x+6x(x-1). ∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1). 2 即 3x -17x+10=0.解得 x=5 或 x=3(舍去). 2 ∴x=5. 探究 2 上述类型题的处理方法是利用排列数公式 Am n =n(n -1)(n-2)?(n-m+1)或 Am n= n! ,消掉式子中的 Am n ,转 ?n-m?! 化为关于 n 的代数方程再求解. ?思考题 2 x 1 (1)解方程 3Ax = 4A 8 9 ; - 5 A7 - A n n (2)已知 A5 =89,求 n 的值. n 解析 (1)由 x-1 3Ax = 4A 8 9 ,得 3×8! 4×9! = ,化简得 ?8-x?! ?10-x?! x2-19x+78=0,解得 x1=6,x2=13. 又∵x≤8 且 x-1≤9,∴原方程的解是 x=6. 5 A7 [?n-5??n-6?-1]A5 n-An n (2)∵ = =89, 5 A5 A n n ∴(n-5)(n-6)=90,∴n=15 或 n=-4(舍). 题型三 例3 证明排列数恒等式 - m m 1 (1)求证:Am n+1=An +mAn (m≤n); 1 1 1 1 (2)求证: = ( - ). ?n+1?! n n! ?n+1?! m 1 证明 (1)证法一: Am + m A n(n n n =n(n-1)?(n-m+1)+m· - - 1)?(n - m + 2) = n(n - 1)?(n - m + 2)[(n - m + 1) + m] = (n + 1)n(n-1)?(n-m+2)=Am n+1. m-1 证法二:Am + m A n n = n! n! +m· ?n-m?! ?n-m+1?! n![?n-m+1?+m] ?n+

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