湖北省武汉市第二中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷word版含答案

数学
命题教师: 江峰 审题教师: 高剑

考试时间: 2015 年 2 月 4 日

上午 9: 00—11: 00 试卷满分: 150 分

一、 选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的. 1. 想要得到函数 y ? cos 2 x 的图像, 只需将函数 y ? cos( A.向右平移 C.向左平移

?
3

? 2 x) (

) 而得到.

? 个单位 6 ? 个单位 6

B.向右平移 D.向左平移

? 个单位 3 ? 个单位 3

2. 设集合 U = ?1, 2,3, 4? , M = x ? U x 2 ? 5 x + p = 0 ,若 CU M = ?2,3? ,则实数 p 的值为 ( A. ?4 ) B. 4 C. ?6 D. 6

?

?

3. 函数 y=ln cos x , x ? ? ?

? ? ?? , ? 的图象是 ? 2 2?

b ? 4 若 a 在 b 方向上的投影为 4.设 a ?
( A. )

? ?

?

?

? ? ? ? 2 , 且 b 在 a 方向上的投影为 3, 则 a 和 b 的夹角等于 3
C.

? 3

B.

? 6

2? 3

D.

?
3



2? 3

5. 设集合 A= x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 集合 B= x x 2 ? 2ax ? 1 ? 0, a ? 0 . 若 A ? B 中恰含有一 个整数, 则实数 a 的取值范围是 A. ? 0, ( )

?

?

?

?

? ?

3? ? 4?

B. ? ,

?3 4 ? ? ?4 3 ?

C. ? , ?? ?

?3 ?4

? ?

D. ?1, ?? ?

6. 已知函数 g ( x) ?

2 sin x , 则此函数的最小正周期为( 1 ? cos 2 x
B. ? C.

) D. 2?

A.

?
2

3? 2

7. OA, OB 的夹角为 ? , OA ? 2, OB ? 1, OM ? kOA, ON ? (1 ? k )OB , MN ? f (k ) 在 k ? k0 时取得最小值, 若 0 ? k0 ? 2 / 7 , 则 ? 的取值范围是( A. ? ) D. ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ? ????

??? ?

???? ?

?? ? ? , ? ?3 2?

B. ?

? ? 2? ? , ? ?2 3 ?

C. ?

? ? 2? ? , ? ?3 3 ?

?? ? ,? ? ?3 ?

8.已知函数 f ( x) ? ? 是

?kx ? 1, x ? 0, 则下列关于函数 y ? f ? f ( x)? ? 1 的零点个数的判断正确的 ? ln x, x ? 0 .
( )

A.当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 2 个零点 B.当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 1 个零点 C.无论 k 为何值,均有 2 个零点 D.无论 k 为何值,均有 4 个零点 9. 已知直角梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠ADC=90° , AD=2, BC=1, P 是腰 DC 上的动点, 则 PA ? 3PB 的最小值为 ( A.4 B.5

??? ?

??? ?

) C. 6 D.2

10.已知3 ? sin 2 ? ? 2t ? (2 2 ? 2t ) sin( ? ?

?
4

)?

2 2 cos( ? ? ) 4


?

对于

? 2? A. t ? 4

? ?? ? ? ?0, ? 恒成立,则t的取值范围是(
B. t ? 3

C. t ? 2

D. t ? ?2

二、 填空题: 本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号 的位置上. ....... 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分 11.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2, 则这个圆心角所对的弧长是 12.已知 log 2 3 ? t ? 2 ,则 log 48 54 = 13. f ( x) ? cos x cos( x ? ? ) ? . (用 t 表示) .

2f(

3x ? ?? )在x ? ? 0, ? 上的最小值是 2 ? 3?

1 ? cos ? , 0 ? ? ? ? , f ( )的值最大,则 2 3
.

14. 以 M 为圆心半径为 2.5 的圆外接于 ? ABC , 且 5MA ? 13MC ? 12 MB ? 0 , 则两个面积比

????

???? ?

????

?

S? BCM / S? ABM ?

.

15. 如图, 在直角坐标系 xOy 中,锐角 ?ABC 内接于单位圆, 已知 BC 平行于 x 轴, 且 tan ?XDA ? 2 ,记 ?XOA ? ? (0 ? ? ?

?
2

)

?X 0 B ? ? (? ? ? ?

3? ) , 则 sin(? ? ? ) ? 2

.

三、解答题: 本大题共 6 小题, 共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 已 知 函 数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 是 R 上 的 偶 函 数 , 其 图 像 关 于 点

M(

3? ? ?? , 0) 对称, 且在区间 ?0, ? 上是单调函数, 求 ?和? 的值. 4 ? 2?

17. 已知函数 f ( x) ? 2ax 2 ? 4 x ? 3 ? a , a ? R . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 ? ?1,1? 上的最大值; (2)如果函数 f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上存在两个不同的零点,求 a 的取值范围.

18. 设 a ? (cos ? , (? ? 1) sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), (? ? 0, 0 ? ? ? ? ? 量, 若向量 a ? b 与 a ? b 互相垂直. (1) 求实数 ? 的值; (2) 若 a ? b ?

?

?

?
2

) 是平面上的两个向

? ?

? ?

? ?

? 4 4 , 且 tan ? ? , 求 tan(? ? ) 的值. 4 5 3

19. 已知武汉二中食堂需要定期购买食品配料, 该食堂每天需要食品配料 200 千克, 配料的价 格为 1.8 元/千克, 每次购买配料需支付运费 236 元.每次购买来的配料还需支付保管费用 (若 n 天购买一次, 需要支付 n 天的保管费). 其标准如下: 7 天以内(含 7 天), 无论重 量多少, 均按 10 元/天支付; 超出 7 天以外的天数, 根据实际剩余配料的重量, 以每天 0.03 元/千克支付. (1) 当 9 天购买一次配料时, 求该食堂用于配料的保管费用 p 是多少元? (2) 设该食堂 x 天购买一次配料, 求该食堂在这 x 天中用于配料的总费用 ...y (元)关于 x 的 函数关系式, 并求该食堂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用 最少? .........

20. 对于函数 f1 ( x), f 2 ( x), h( x) , 如果存在实数 a, b 使得 h( x) ? a ? f1 ( x) ? b ? f 2 ( x ) , 那么称

h( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的线性函数.
(1) 下面给出两组函数, h( x) 是否分别为 f1 ( x), f 2 ( x) 的线性函数?并说明理由; 第一组: f1 ( x) ? lg

x , f 2 ( x) ? lg10 x, h( x) ? lg x ; 10

第二组: f 1 ( x) ? x 2 ? x , f 2 ( x) ? x 2 ? x ? 1 , h( x) ? x 2 ? x ? 1 ; (2) 设 f1 ( x) ? log 2 x, f 2 ( x) ? log 1 x, a ? 2, b ? 1 , 线性函数 h( x) .若不等式
2

3h ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ? [2, 4] 上有解, 求实数 t 的取值范围;
2

21. (1)有时一个式子可以分拆成两个式子, 求和时可以达到相消化简的目的, 如我们初中曾学 过:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 = ? ? ... ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) =1 ? 1? 2 2 ? 3 99 ?100 2 2 3 99 100 100 100

请用上面的数学思维来证明如下:

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? cot x ? cot 32 x sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin16 x sin 32 x cos x (注意: cot x ? ) sin x ? sin 8 x ? sin x sin 4 x ? sin 2 x (2) 当 0 ? x ? 时, 且 , 求 x 的值. ? 2 sin x? sin 8 x sin 2 x? sin 4 x

武汉二中 2014——2015 学年上学期 高一年级期末考试

数学试卷参考答案
参考答案: CBAAB DCBBB

11. 2 / sin1 ;

12.

3t ? 5 ; t?2

13. ?

1 ; 2

14.

5 ; 13

15. ?

4 5

16、解: 由 f(x)是偶函数,得 f(-x)=f(x), 即 sin(-ωx+φ)=sin (ωx+φ), 所以-cosφsinωx=cosφsinωx 对任意 x 都成立. 又 ω>0,∴cosφ=0. π +kπ 2 π 依题设 0≤φ≤π,所以 φ= ,∴f(x)=cosωx, 其对称中心为( ,0)(k∈Z). 2 ω π +kπ 2 3π 3π ,0?对称,∴令 ∵f(x)的图象关于点 M? = , ?4 ? ω 4 2 ∴ω= (2k+1),k=0,1,2,…. 3 2 π? ? π? 2 当 k=0 时,ω= ,f(x)=sin? ?3x+2?在?0,2?上是减函数; 3 π? ? π? 当 k=1 时,ω=2,f(x)=sin? ?2x+2?在?0,2?上是减函数; π? ? π? 10 当 k≥2 时,ω≥ ,f(x)=sin? ?ωx+2?在?0,2?上不是单调函数. 3 2 综上得 ω= 或 ω=2. 3

17、解:(1)当 a ? 1 时,则 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 4
2

? 2( x 2 ? 2 x) ? 4 ? 2( x ? 1) 2 ? 6 .

因为 x ? ? ?1,1? ,所以 x ? 1 时, f ( x) 的最大值 f (1) ? 2 (2)若 y ? f ? x ? 在 ? ?1,1? 上有两个零点, 则

?a ? 0, ?a ? 0, ?? ? 8(a ? 1)(a ? 2) ? 0, ?? ? 8(a ? 1)(a ? 2) ? 0, ? ? ? ? 1 1 或 ? ?1 ? ? ? 1, ??1 ? ? ? 1, a a ? ? ? f (?1) ? 0, ? f (?1) ? 0, ? ? ? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0. 解得 a ? 7 或 a ? ?2 . ?2 ?2 ? ? ? ? 18.解: (1)由题设可得 (a ? b) ? (a ? b) ? 0, 即 a ? b ? 0,
代入 a, b 坐标可得 cos ? +(? ? 1) sin ? ? cos ? ? sin ? ? 0 .
2 2 2 2 2

? ?

? (? ? 1) 2 sin 2 ? ? sin 2 ? ? 0, ? 0 ? ? ?
? ?

?
2

, ? ? 0,? ? ? 2 . 4 , 5

(2)由(1)知, a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ?

?0 ? ? ? ? ?

3 3 ? ? ? ? ? 0 ? sin(? ? ? ) ? ? , tan(? ? ? ) ? ? . 2 2 5 4 3 4 ? ? tan(? ? ? ) ? tan ? 4 3 ? 7 . ? tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? = 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ? 1 ? (? 3 ) ? 4 24 4 3 ? 17 tan(? ? ) ? ? 4 31
? ?

?

?

19、解:(1) 当 9 天购买一次时,该食堂用于配料的保管费用

p ? 70 ? 0.03 ? 200 ? (1 ? 2) ? 88 元
(2)① 当 0 ? x ? 7 时, y ? 360 x ? 10 x ? 236 ? 370 x ? 236 ②当 x ? 7 时, y ? 360 x ? 236 ? 70 ? 6[( x ? 7) ? ( x ? 8) ? ? ? 2 ? 1]

? 3 x 2 ? 321x ? 432

∴y??

?370 x ? 236,0 ? x ? 7
2 ?3 x ? 321x ? 432, x ? 7

∴设该食堂 x 天购买一次配料平均每天支付的费用为 f ( x) 元

236 ? 370 ? ,0 ? x ? 7且x ? N ? ? x ? f ( x) ? ? ?3 x ? 432 ? 321, x ? 7且x ? N ? x ?
236 f ( x) 是 (0,7] 上的减函数. x 2826 5 当且仅当 x ? 7 时, f ( x) 有最小值 ? 403 (元) 7 7 432 144 当 x ? 7 时 f ( x) ? 3x ? ? 321 = 3( x ? ) ? 321 ≥393 x x 144 当且仅当 x ? 即x ? 12 时取等号 x 5 ∵ 393 ? 403 ∴当 x ? 12 时 f ( x) 有最小值 393 元 7
当0 ? x ? 7 时

f ( x) ? 370 ?

20. 解:(1) ① a lg

1 1 a ?b ?1 x ? b lg10 x ? lg x ? a ?b?0 ? a ? , b ? 2 2 10 所以 h( x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的线性函数

?

, a ( x 2 ? x) ? b( x 2 ? x ? 1) ? x 2 ? x ? 1 2 2 ( a ? b) x ? ( a ? b) x ? b ? x ? x ? 1 , ?a ? b ? 1 ? 则 ?a ? b ? ?1 ,该方程组无解.所以 h( x) 不是 f1 ( x), f 2 ( x) 的线性函数. ?b ? 1 ? ② 设 (2) h( x) ? 2 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2 log 2 x ? log 1 x ? log 2 x
2



若不等式 3h ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ? [2, 4] 上有解,
2

3h 2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 ,
即 t ? ?3h 2 ( x) ? 2h( x) ? ?3log 2 2 x ? 2 log 2 x
2 设 s ? log 2 x ,则 s ? [1, 2] , y ? ?3log 2 2 x ? 2 log 2 x ? ?3s ? 2 s ,

ymax ? ?5 ,故, t ? ?5 .


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