【专题典型题】2015届广东数学高考复习专题汇编:概率统计(2007-2014年试题,含解析)

概率统计 2007 17 分 2008 18 分 2009 18 分 2010 22 分 2011 18 分 2012 18 分 2013 12 分 2014 23 分

(2007 年高考广东卷第 9 小题)在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球, 这些小球除标注的数字外完全相同. 现从中随机取出 2 个小球, 则取出的小球标注的数字之 和为 3 或 6 的概率是( A ) A.

3 10

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 12

(2007 年高考广东卷第 18 小题) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨) 与相应的生产能 耗 y (吨标准煤)的几组对照数据.

x
y

3
2.5

4

5
4

6
4.5

3

(1)请画出上表数据的散点图;

? ?a ?; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回 归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 ) 18 解: (1) 散点图略 (2)

? X iYi ? 66.5
i ?1

4

?X
i ?1

4

2 i

? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 86

X ? 4.5

Y ? 3.5

?

? ? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 b 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81



? ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ? ? Y ? bX a
所求的回归方程为 (3)

y ? 0.7 x ? 0.35

当 x ? 100 时 y ? 0.7 ?100 ? 0.35 ? 70.35

预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 ? 70.35 ? 19.65 (吨) (2008 年高考广东卷第 11 小题)

为了调查某厂工 人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量。产 品数量的分组区间为[45,55) ,[55,65) ,[65,75) ,[75,85) ,[85,95) ,由此得到 频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是 __13_____。 (2008 年高考广东卷第 19 小题) 某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19。 (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率。 一年级 女生 男生 373 377 二年级 三年级

x
370

y z

19.解: (1)因为

x ? 0.19 ,所以 x ? 380 2000

(2)初三年级人数为 y ? z ? 2000 ? (373 ? 377 ? 380 ? 370) ? 500 现 用 分 层 抽 样 的 方 法 在 全 校 抽 取 48 名 学 生 , 应 在 初 三 年 级 抽 取 的 人 数 为

48 ? 500 ? 12 名 2000

( 3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为 ? y, z ? ,由(2)知 , 且

y ? z ? 500

y, ? z?

Z













事件 A 2 11 个, 4 6 , 包含的基本事件有 2 5 4 ? 2 4 ? ? 5 , ? ?2 5 ? 5 ? , ? 共 ? 251,249? , ? 252,248? , ? 253,247? , ? 254,246? , ? 255, 245? 共 5 个, 所以 P ( A) ?

,

2

4

5 11

(2009 年高考广东卷第 12 小题) 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法, 将全体职工随机按 1-200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号…,196 -200 号) .若第 5 组抽出的号码为 22, 则第 8 组抽出的号码应是 则 40 岁以下年龄段应抽取 【答案】37, 20 人. 。 若用分层抽样方法,

【解析】 由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22, 所以第 6 组抽出的号 码为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37. 40 岁以下年龄段的职工数为 200 ? 0.5 ? 100 ,则应抽取的人数为 (2009 年高考广东卷第 18 小题) 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得 身高数据的茎 叶图如图 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身 高为 176cm 的同学被抽中的概率. 【解析】 (1) 由茎叶图可知: 甲班身高集中于 160 : 179 之间, 而乙班身高集中于 170 : 180 之间。因此乙班平均身高高于甲班; (2) x ?

40 ?100 ? 20 人. 200

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 1 2 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158 ? 170) ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? 10
? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170 ? ] = 57
2 2 2 2 2

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181, 178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173)(178, 176)(176, 173)共 10 个基本事件, 而事件 A 含有 4 个基本事件; ? P ? A ? ?

4 2 ? 10 5



(2010 年高考广东卷第 12 小题)某市居民 2005~2009 年家庭年平均收入 x(单位:万元) 与年平均支出 Y(单位:万元)的统计资料如下表所示: 年份 收入 x 支出 Y 2005 11.5 6.8 2006 12.1 8.8 2007 13 9.8 2008 13.3 10 2009 15 12 13 ,家庭年平均收入与年平均支出

根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是 有 Y=X-3 线性相关关系.

(2010 年高考广东卷第 17 小题)

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中, 随机抽取了 100 名电视 观众,相关的数据如下表所示:

(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2) 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名, 大于 40 岁的观众应该抽取几 名? (3) 在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名, 求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.w_w*w 17.解: (1)画出二维条形图,通过分析数据的图形,或者联列表的对角线的乘积的差的绝 对值来分析,得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关; (2)在 100 名电视观众中,收看新闻的观众共有 45 人,其中 20 至 40 岁的观众有 18 人,大于 40 岁的观众共有 27 人。故按分层抽样方法,在应在大于 40 岁的观众中中 抽取

5 ? 27 ? 3 人. 45

(3)法一:由(2)可知,抽取的 5 人中,年龄大于 40 岁的有 3 人,分别记作 1,2,3; 20 岁至 40 岁的观众有 2 人,分别高为 a , b ,若从 5 人中任取 2 名观众记作 ( x, y ) ,则包含 的总的基本事件有: (1,2), (1,3), (1, a), (1, b), (2,3), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (a, b) 共 10 个。 其 中 恰 有 1 名 观 众 的 年 龄 为 20 岁 至 40 岁 包 含 的 基 本 事 件 有 :

(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) 共 6 个.
故 P (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)= (2011 年高考广东卷第 13 小题) 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系, 下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x (单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

6 3 ? ; 10 5

小李这 5 天的 平均投篮命中率为 月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 (2011 年高考广东卷第 17 小 题)

;用线形回归分析的方法,预测小李该 0.53 .

在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分,用 xn 表示 编号为 n(n ? 1, 2,...,6) 的同 学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(1) 求第 6 位同学的成绩 x6 ,及这 6 位同 学成绩的标准差 s ; (2) 从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中 的概率. 1 7. 解 : ( 1 )

x?

1 6 ? xn ? 75 6 n?1

? x6 ? 6 x ? ? xn ? 6 ? 75 ? 70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? 90,
n ?1

5

s2 ?

1 6 1 ( xn ? x)2 ? (52 ? 12 ? 32 ? 52 ? 32 ? 152 ) ? 49 , ? 6 n?1 6

? s ? 7.

(2)从 5 位同学中随机选取 2 位同学,共有如下 10 种不同的取法: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4, 5}, 选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下 4 种取法: {1,2},{2,3},{2,4},{2,5},故所求概率为 . (2012 年高考广东卷第 13 小题)由整数组成的一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , 其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这组数据位_______________________.(从小到大排列) (2012 年高考广东卷第 17 小题)(本小题满分 13 分) 某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:

2 5

1133

?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? .
(1) 求图中 a 的值 (2) 根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3) 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 ? x ? 与数学成绩相应分数段的人数 ? y ? 之 比如下表所示,求数学成绩在 ?50,90? 之外的人数.

分数段 x :y

?50,60? ?60,70? ?70,80? ?80,90?
1:1 2:1 3:4 4:5

解 (1):

10 ? (a ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? a) ? 1 a ? 0.005

(2):50-60 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.005 ?100% ?100 ? 5人 60-70 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.04 ?100% ?100 ? 40人 70-80 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.03? 100% ? 100 ? 30人 80-90 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.02 ?100% ?100 ? 20人 90-100 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.005 ?100% ?100 ? 5人

55 ? 5 ? 65 ? 40 ? 75 ? 30 ? 85 ? 20 ? 95 ? 5 100 ? 73 x?
(3):依题意: 50-60 段数学成绩的人数=50-60 段语文成绩的人数为=5 人 60-70 段数学成绩的的人数为= 50-60 段语文成绩的人数的一半=

1 ? 40 ? 20人 2

4 ? 30 ? 40人 3 5 ? 20 ? 25人 80-90 段数学成绩的的人数为= 4
70-80 段数学成绩的的人数为= 90-100 段数学成绩的的人数为= 100? 5 ? 20 ? 40 ? 25 ? 10人 (2013 年高考广东卷第 17 小题) (本小题满分 12 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

?80,85?
5

?85,90?
10

?90,95?
20

?95,100?
15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 ?90,95? 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 的苹果中共抽取 4 个,其中重

量在 ?80,85? 的有几个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有 一个的概率; 17. 解:1)苹果的重量在 [90,95) 的频率为 (2)重量在 [80,85) 的有 4 ?

20 =0.4 ; 50

5 =1 个; 5+15

(3)设这 4 个苹果中 [80,85) 分段的为 1, ?95,100? 分段的为 2、3、4,从中任取两个,可 能的情况有: (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 3) (2, 4) (3, 4) 共 6 种; 设任取 2 个, 重量在 [80,85) 和 ?95,100? 中各有 1 个的事件为 A, 则事件 A 包含有 (1, 2) (1, 3) (1, 4) 共 3 种, 所以 P (A) ?

3 1 ? . 6 2

(2014 年高考广东卷第 6 小题)为了了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从 中抽取容量为 40 的样本,则分段的间隔为( C ) A. 50 B. 40 C. 25 D. 20

(2014 年高考广东卷第 12 小题)从字母 a 、 b 、 c 、 d 、 e 中任取两个不同的字母,则取到 字母 a 的概率为

2 5

.

(2014 年高考广东卷第 17 小题)(本小题满分 13 分)某车间 20 名工人年龄数据如下表: 年龄(岁) 工人数(人)

19 28 29 30

1 3 3 5 4

31 32 40
合计

3 1 20

(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差; (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图;

(3)求这 20 名工人年龄的方差. 【解析】(1)这 20 名工人年龄的众数为 30 ,极差为 40 ? 19 ? 21 ; (2) 茎叶图如下:

1 9 2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 0
(3)年龄的平均数为

19 ? 28 ? 3 ? 29 ? 3 ? 30 ? 5 ? 31? 4 ? 32 ? 3 ? 40 ? 30 , 20

故这 20 名工人年龄的方差为

1 ? 2 2 2 ? ?11? ? 3 ? ? ?2 ? ? 3 ? ? ?1? ? 5 ? 02 ? 4 ?12 ? 3 ? 22 ? 102 ? ? ? 20 ? 1 1 ?121 ? 12 ? 3 ? 4 ? 12 ? 100 ? ? ? 252 ? 12.6 . 20 20


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