高中数学必修四第一章正切函数教学设计


§1.7 正切函数教学设计
一、教材分析: 本节内容是北师大版《普通高中课程标准实验教科书 数学必修四》第一章三角函数第 7 节内容。本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后,又一具体的三角函数。教材首 先根据单位圆得到正切函数的定义,给出正切线的概念,并类比画正弦函数图像的方式,利 用正切线画正切函数 y ? tan x, x ? ( ?

? ?

, ) 的图像,根据图像,研究正切函数的性质。体 2 2

现了类比思想的应用,体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。 本节内容分两个课时, 本设计是一个课时, 由于在前面学习任意角的正弦和余弦时已经 对任意角的正切作了说明, 所以本节正切函数的定义只进行简单复习。 如果在前面没有讲到 正切函数的定义,此节课可以按两个课时来上,根据自己的实际情况进行调整。 二、学情分析: 学生已经掌握了正弦函数的画法和利用正弦函数的图像研究函数性质的方法, 这为本节 课的学习提供了知识的保障, 这是有利的因素。 不足之处在于学生不能独立的运用数形结合 思想来研究问题和部分学生初中基础知识很差。 三、教学目标: 1、 知识与技能 (1)能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义; (2)能用单位圆中的正切线画出正切函 数的图像; (3)掌握正切函数的图像的基本性质; 2、过程与方法 通过正切函数的学习, 进一步理解和掌握研究三角函数的一般思路和方法, 并比较不同 函数之间的相同点和不同点。 3、情感态度与价值观 在正弦函数、余弦函数学习的基础上,通过本节学习,进一步培养学生自主探索的学习 习惯和分析问题、解决问题的能力。 四、教学重点和难点 : 重点: 正切函数的图像与性质。 难点: (1)在单位圆中利用正切线画正切函数的图像。 (2)探索正切函数的诱导公式 五、学法分析: 类比学习法,即类比正弦函数、余弦函数的学习方法,在直角坐标系内学习任意角的正 切函数。类比正弦函数的画法做正切函数,利用图像研究正切函数的性质。 六、教法分析: 新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式,把学习的主动权还给学生。以此为宗 旨,我采用引导教学法、讲授教学法等诸多方法,引导学生自主学习、探究学习,努力做到 教法、学法的最优组合。结合本节内容的特征,主要采用启发诱导式教学方式,让学生自主 地去探求知识。 七、教学过程 §7.1-§7.2 正切函数的定义、图像及性质 第一课时 教学 环节 教师活动 同学们,在前两次课中,我们学习了任意角的正、余弦 函数, 并借助于它们的图像研究了它们的性质。 今天我们将
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学生 活动

设计 意图 1,培养学生 的自学能力,

创 设 情 境, 揭 示 课 题

类比正弦、 余弦函数的学习方法, 在直角坐标系内学习另外 一种三角函数, 就是任意角的正切函数, 正切函数的图像如 何画?正切函数具有哪些性质?这就是本节课要学习的内 容。 请同学们先自己阅读教材 P35 的内容, 并思考以下问题: 问题一: 正切函数如何定义的?正切函数的定义域是什么? 教师提问,并及时对学生的回答进行客观和鼓励性的 评价,最后教师进行总结和归纳。 归纳:在直角坐标系中,如果角α 满足:α ∈R,α ≠

学生带着 老师的问 题阅读教 材并思考 问题的答 案,然后 与同桌交 流答案

让学生养成 带着问题阅 读教材的习 惯 2,为下面学 习正切函数 的图像和性 质做准备

? + 2

kπ (k∈Z),那么,角α 的终边与单位圆交于点 P(a,b) , 则 y=tanα =

b 是角α 的函数, 我们把它叫作角α 的正切函 a

数,其中定义域是α ≠

? +kπ ,k∈Z. 2

新 知 探 究

问题二: 我们前面学习的正弦函数的图像采用几种方法做出 来的?能否采用类比思想划出正切函数的图像? 类比前面学习的正弦线我们学习角的正切线。 请同学们继 续阅读教材 P35 的内容,归纳总结出正切线的做法和规律 性。 如下图,单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A(1 ,0) ,任意 角α 的终边与单位圆交于点 P,过点 A(1 ,0)作 x 轴的垂 线, 与角的终边或终边的延长线相交于 T 点。 从图中可以看 出: 当角α 位于第一和第三象限时,T 点位于 x 轴的上方; 当角α 位于第二和第四象限时,T 点位于 x 轴的下方。 分析可以得知,不论角α 的终边在第几象限,都可以构 造两个相似三角形,使得角α 的正切值与有向线段 AT 的值 相等。因此,我们称有向线段 AT 为角α 的正切线。

学 生 对前面所 学习的正 弦函数的 画法进行 回顾,一 种是利用 传 统 的 “列表 --描 点 ---连线”的 方法,另 一种是利 用“正弦 线”的方 法 作 出 的。然后 思考正切 函数图像 的画法。

1,学生通 过思考能够 利用第一种 方法作出正 切函数的图 像, 但是第二 种方法可能 不会, 造成了 思维的障碍, 激发学生学 习的兴趣 2,探索正切 函数的周期 性为下面做 正切函数的 图像做准备

问题三:正切函数是不是周期函数?最小正周期是什么? 教师对学生的回答进行归纳总结,对正切线的作法进行 强调说明, 尤其是角在第二、 三象限时是过 A 点向终边的反 向延长线作垂线,不是向终边作垂线 由于正切函数是周期为 ? 的函数,所以我们类比研究正弦 函数的图像的方法,选择一个周期内来作正切函数的图像, 然后向左右进行延伸即可。 教师引导学生采用正切线作出图 像
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让学生学会 分析、 解决问 题的一般方 法(类比思

正切 函数 图像 的作 法

1,利用“列表---描点----连线”的方法(同学们自己完成) 2,利用正切线作 y ? tan x , x ? ? ?

想) ;

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?
y

?

?
2

3, 根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得 到正切函数 y ? tan x 像,称“正切曲线”

xy ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图

学 生 x 根据教师 的提示通 过单位圆 和 正 切 线,类比 正、余弦 函数图象 的画法作 出正切函 数 的 图 象;

让学生学 会实际动手 作图, 培养学 生的动手操 作能力;

3 ? ? 2

?? ? ? 2

0

?
2

?

3 x ? 2

4,从上图可看出, 正切曲线是由被相互平行的直线 x=

? + 2

kπ (k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的,这些直线叫作正切 曲线各支的渐近线。 观察 图 像, 提炼 性质 教师引导学生利用正切函数的图像得出性质: (1)定义域: ? x | x ?

? ?

?

? (2)值域:R ? k? , k ? z ? ; 2 ?

(3)周期性: T ? ? ; (4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数; (5)单调性:在开区间

学生根 据教师的 提示总结 归纳其性 质并与同 桌交流答 案

? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ? 2 ? 问题四:正切函数在定义域能是不是单调函数?
新知 应 用, 一,不通过求值,比较下列各组数的大小. (1) Tan45°与 tan32° (2) tan135°与 tan138°; 学生自 己动手在 草稿本上

培养学生合 作交流意识, 让学生体会 函数性质与 图像之间的 关系, 体会形 与数的结合 更能抓住问 题的本质

学生通过 自己的实践, 真确地体会

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巩固 深化

(3)

? 17? ? ? 13? ? tan? ? ? ? 与 tan? ? ? 5 ? ? 4 ?

?? ? tan? x ? ? 3 ? 的定义域 ? 二,求函数
教师展示例题后,先让学生自己分析思考,然后找学生 到黑板上进行演算, 最后对学生的演算进行客观和鼓励性的 评价。 对学生出现的问题进行纠正, 并且写出规范的解题过 程。 归纳 整 理, 整体 认识 教师展示出问题后,让学生自己总结归纳,提炼知识, 然后教师根据时间提问学生 (1)请同学们回顾本节课所学过的知识内容有哪些?学 到了哪些主要数学思想方法? (2)在本节课的学习过程中,你还有那些不太明白的地 方,请向老师提出。 (3)你自己认为自己在这节课中的表现怎样?有什么收 获?你最深的体会是什么?

演算,找 到的同学 到黑板上 演算,然 后和同桌 交流答案

函数的性质, 强化对新建 构的知识的 理解与掌握, 加深对所学 知识的认识。

学生自己 对问题进 行思考, 整理出 1 本节课所 学习的知 识 有 哪 些,列出 提纲和同 桌交流

让学生自己 归纳总结, 寻 找知识建立 的支点, 有利 于学生对知 识的掌握; 通过学生 的自我总结, 可以帮助学 生逐渐养成 归纳概括和 提升抽象问 题的能力。 复习巩固知 识, 培养学生 的实战能力, 培养学生独 立思考问题 的精神。

作业 布置

1 课堂作业:教材 39 页 练习题 第 1,2,4 三题

学生课后 ? 独立完成 2,课后思考题:画出 y ? tan( x ? ) 的图像,并通过图像讨 在课堂作 4 论函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性,周期性) 业本上教 师进行认 真批改

八、板书设计: 课题:§7.1 正切函数的图像及其性质 1,正切函数的定义 2,正切线的作法 3,正切函数图像 4,正切函数图像的性质 九、教后反思: 5,例题分析 6,课后思考题

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§1.7.3
教学 环节 创 设 情 境, 揭 示 课 题

正切函数的诱导公式

第二课时
学生 活动 学生分析 和思考问 题并回答 设计 意图 对上节课所 学习的知识 及时复习回 顾加深印象

教师活动 1,复习回顾正切函数的图像和性质 2,复习回顾正弦和余弦的诱导公式 3,同学们已经知道,在正、余弦函数中,我们是先学诱导公 式,再学图像与性质的。在学正切函数时,我们为什么要先 学图像与性质,再学诱导公式呢?

新 知 探 究

观察下图, 角α 与角 2π +α , 2π -α , π +α , π -α , 学生对正 -α 的正切函数值有何关系?教师让学生思考后提问。 切函数的 图像很熟 y 悉,通过 图像来找 关系,和 前面研究 诱导公式 3 ? ?? ? ? 3 x 的方法不 0 ? ? ? ? 同,思考 2 2 2 2 后与同桌 交流自己 的答案 教师根据学生回答的情况,对学生进行鼓励性和发展性的评 价,然后指出不足指出,最后归纳整理。 学生根据 讨论交流 的结果回 答老师的 提问,然 后根据教 师的总结 改正自己 的错误和 不足

培养学生 的合作交流 意识。 让学生体 会到研究同 一个类型的 问题可以采 用不同的方 式和方法, 体 会一题多解 的思考问题 的方式, 体会 数形结合思 想的应用

诱 导 公 式 归 纳 括

tan(2π + ? )=tan ? tan(- ? )=-tan ? tan(2π - ? )=-tan ? tan(π - ? )=-tan ? tan(π + ? )=tan ?

体会不同方 法解决同一 问题的过程

巩 例题讲评 2 固 例 1.若 tanα = ,借助三角函数定义求角α 的正弦函 深 3 化, 数值和余弦函数值。 发 展 思 维

2 >0,∴α 是第一象限或第三象限的角 3 2 (1)如果α 是第一象限的角,则由 tanα = 可知,角α 3
分析:∵tanα = 终边上必有一点 P(3,2) ,所以 x=3,y=2. ∵r=|OP|

学生通过自 己的实践, 真 确地体会任 意角三角函 数的定义, 强 化对新建构 的知识的理 解与掌握, 加 深对所学知

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y 2 13 x 3 13 通过例 1 = 13 ∴sinα = = , cosα = = . 首先独立 r r 13 13 思考,和 的 解 决 让 学 y 同桌交流 生 树 立 分 类 (2) 如果 α 是第三象限角,同理可得: sin α = =- 自己的答 讨 论 的 数 学 r x 2 13 3 13 , cosα = =- . r 13 13
例 2.化简: 案,然后 师生共同 解决这些 问题。 思想意识。 例 2 是正 切函数诱导 公式的应用

学 生

识的认识。

tan?2? ? ? ? tan?3? ? ? ? tan?? ? ? ? ? tan?3? ? ? ? tan?? ? ? ? ? ? tan? tan?? ? ? ? = ?? tan?? ? ? ??tan?? ? ? ??? tan?? ? ? ??

解:原式=

1 ?? tan? ? tan? =- . tan ? tan? ?? tan? ??? tan? ?
教师展示例题后,先让学生自己分析思考,然后找学生到 黑板上进行演算,最后对学生的演算进行客观和鼓励性的评 价。对学生出现的问题进行纠正,并且写出规范的解题过程 2.学生课堂练习教材 P39 习题 1—7 A 组 第 7 题 归 教师展示出问题后,让学生自己总结归纳,提炼知识,然 纳 后教师根据时间提问学生 整 (1)请同学们回顾本节课所学过的知识内容有哪些?学到 理, 了哪些主要数学思想方法? 整 (2) 在本节课的学习过程中, 你还有那些不太明白的地方, 体 请向老师提出。 认 ( 3 )你自己认为自己在这节课中的表现怎样?有什么收 识 获?你最深的体会是什么? 学生自己 对问题进 行思考, 整 理 出 本节课所 学习的知 识 有 哪 些,列出 提纲和同 桌交流 学生课后 独立完成 教师进行 认真批改 让学生自己 归纳总结, 寻 找知识建立 的支点, 有利 于学生对知 识的掌握; 通 过学生的自 我总结, 可以 帮助学生逐 渐养成归纳 概括的能力。 复习巩固知 识, 培养学生 的实战能力,

作 业 布 置

1 课堂作业:教材 39 页习题 1—7 A 组 第 1 题,第 2 题,

八、板书设计: 课题:§1.7.3 正切函数的诱导公式 1,正切函数图像 2,正切函数的诱导公式 九、教后反思: 3,例题分析

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