北京专用2019版高考数学一轮复习第八章立体几何第二节空间几何体的表面积和体积课件文_图文

第二节 空间几何体的表面积和体积 总纲目录 教材研读 空间几何体的表面积与体积公式 考点突破 考点一 空间几何体的表面积 考点二 考点三 空间几何体的体积 与球有关的切、接问题 教材研读 空间几何体的表面积与体积公式 几个与球切、接有关的结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R, 3 a; ①若球为正方体的外接球,则2R=? ②若球为正方体的内切球,则2R=a; ③若球与正方体的各棱相切,则2R=?2 a. (2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R= ? a 2 ? b2 ? c2 . (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. ? 1.(2016北京西城期末)一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体 的表面积是? ( B ) ? A.16+2?3 B.16+2?5 C.20+2? 3 D.20+2? 5 答案 B 由三视图,得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱柱,其 底面面积为?×(1+2)×2=3,底面周长为2+2+1+ 22? ?=5+ (2 ?? 1),2高为2,5 故四棱柱的表面积S=3×2+(5+? 5 )×2=16+2? 5 .故选B. 1 2 2.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为? ( B ) A.? π 16 3 B.?π 32 3 C.16π D.24π 答案 B 设球的半径为R,则由4πR2=16π,解得R=2,所以这个球的体积 为? π R 3= ? . 4 3 32? 3 3.(2016北京西城一模)一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后, 所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 23 3 . ? 答案 23 ? 3 解析 如图所示,正方体被截去一个三棱锥P-ABC, 1 23 1 1 故所得几何体的体积V=23-?×?×1×1×2=8-?=?. 3 2 3 3 ? 4.(2017北京东城期末)一个四棱锥的三视图如图所示(单位:cm),这个四 棱锥的体积为 72 cm3. ? 答案 72 解析 由已知中的三视图可得,该几何体是一个以俯视图为底面的四棱 锥,其底面面积S=6×6=36 cm2,高h=6 cm,故棱锥的体积V=?Sh=72 cm3. 1 3 考点突破 考点一 空间几何体的表面积 ) 典例1 (1)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面 体的三视图,则该多面体的表面积为? ( ? A.18+36?5 C.90 D.81 B.54+18?5 (2)(2016北京朝阳一模)已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的 侧面积是? ( ) ? A.3+?3 C.1+2?3 B.3+?6 D.1+2?6 答案 (1)B (2)B 解析 (1)由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧 棱长为3?5 的斜四棱柱. 其表面积S=2×32+2×3×5 3?+2×3×6=54+18 5 ?. 故选B. (2)将三视图还原成立体图形并嵌在长方体中,如图中四棱锥P-ABCD. ? 由三视图得AB=2,P为A1B1的中点,BB1=1, 2 ∴PB=PA=?. ∴PD=PC=?5 . 易知△PCD的DC边上的高=?=2. ( 5) 2 ? 12 S侧=S△PAB+S△PBC+S△PAD+S△PCD =?×2×1+? 2 ×? 3×?+? 2 ×? 3 ×?+?×2×2 =3+?6 . 1 2 1 2 1 2 1 2 方法技巧 空间几何体表面积的求法 (1)表面积是各个面的面积之和,求多面体的表面积,只需将它们沿着棱 剪开展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求 旋转体的表面积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展 开后求表面积,但要弄清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中 的边长关系. (2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、 锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作 差,求出不规则几何体的表面积. 1-1 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互 相垂直的半径.若该几何体的体积是? ,则它的表面积是? ( A ) 28? 3 ? A.17π B.18π C.20π D.28π 1 8 答案 A 由三视图可知该几何体是一个球被截去?后剩下的部分,设 28 7 4 7 1 2 球的半径为R,则? π=?×?πR3,解得R=2.故其表面积为 ?×4π× 2 +3× 3 8 3 8 4 ?×π× 2 1-2 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是? ( B ) ? A.28+6?5 B.30+6?5 C.56+12?5 D.60+12?5 答案 B 如图所示:将三棱锥置于长方体中. ? 此长方体的长为5、宽为4、高为4,三棱锥为P-ABC,P在底面内的 射影为P', SP-ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC+S△ABC 1 1 1 ×2?×6+ =? ?×4× 5+?×51 ×4+?×5×4 5 2 2 2 2 5 +10+10+10=30+6? 5. =6? 故选B. 考点二 为? ( 空间几何体的体积 ) 典例2 (1)(2016北京海淀一模)某三棱锥的三视图如图所示,则其体积 ? 3 A.? 3 3 B.? 2 2 3 C.? 3 2 6 D.? 3 (2)(2016北京,11,5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为 . ? 答案 (1)A (2)? 3 2 解析 (1)根据三视图将几何体还原并嵌到长方体中,如图中三棱锥PAEC. ? 由三视图得EC=2,CC1=1,BC=?3 , 2× ? ? 3 ×1=3 1 · 1? 所以体积V=? S△AEC· 1= ?. 3 3 (2)由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方

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