1.5.1~1.5.2曲边梯形的面积与汽车行驶的路程_图文

1.5 定积分的概念 1.5.1~1.5.2 曲边梯形的面积与汽车行驶的路程 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 目标导航 预习导引 1.知道“以直代曲”的意义; 学习目标 2.学会求曲边梯形面积和汽车行驶路程的步骤; 3.感受解决问题过程中渗透的思想方法. 重点:求曲边梯形面积与计算汽车行驶的路程问题; 难点:求曲边梯形面积的方法与步骤. 重点难点 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 目标导航 预习导引 1.连续函数 如果函数 f(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线,那么 我们就把它称为区间 I 上的连续函数. 预习交流 1 思考:给出以下函数:①y=sin 其中是连续函数的个数是( A.1 ) D.4 1 x;②y= ;③y=x2-2x;④y= x x 2 ,x ≥ 0, 2x-1,x < 0. B.2 C.3 提示:只有①和③是连续函数. 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 目标导航 预习导引 2.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形 称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法:把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲 边梯形拆分为一些小曲边梯形.对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩 形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近 似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值(如图②). (3)求曲边梯形面积的步骤:①分割,②近似代替,③求和,④取极限. 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 目标导航 预习导引 预习交流 2 思考:求曲边梯形面积时,能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲” 呢?怎样才能减小误差? 提示:不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”,否则误差太大.为 了减小近似代替的误差,需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代 曲”. 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 目标导航 预习导引 3.求变速直线运动的路程(位移) 如果物体做变速直线运动,速度函数 v=v(t),那么也可以采用分割, 近似代替,求和,取极限的方法,求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s. 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 问题导学 当堂检测 一、曲边梯形面积的计算 活动与探究 1.求曲边梯形面积的步骤中所蕴含的数学思想方法是什么? 提示:“以直代曲”的转化与化归思想. 2.在分割过程中可以不进行等分吗? 提示:可以,但分割区间要足够小. 3.若把区间[a,b]进行 n 等分,则第 i 个区间为 . 提示: (b-a) i-1 i ,(b-a) n n 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 问题导学 当堂检测 例 1 求由直线 x=0,x=1,y=0 及曲线 y=x2+2x 所围成的图形 的面积 S. 思路分析:严格按照分割—近似代替—求和—取极限这四个步骤 进行计算求解. 解:(1)分割 在区间[0,1]上等间隔地插入 n-1 个点,将它等分为 n 个小区 间: 0, n , 1 1 2 , n n i n , 2 3 , n n ,…, n-1 ,1 n ,记第 i 个区间为 i-1 i , n n (i=1,2,…,n),其长 度为 Δx= ? i-1 n = . 1 n 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 问题导学 当堂检测 分别过上述 n-1 个分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边 梯形(如图),它们的面积记作:ΔS1,ΔS2,…,ΔSn,则小曲边梯形面积的和为 S= ∑ ΔSi. i=1 n 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 问题导学 当堂检测 (2)近似代替 记 f(x)=x2+2x,当 n 很大,即 Δx 很小时,在区间 的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨用 f i n i-1 i , n n 上,可以认为 f(x) 来近似地作为 f(x)在该 区间上的函数值.从图形上看就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小 曲边梯形的曲边,这样在区间 ΔSi,则有 ΔSi≈ΔS'i=f i n i-1 i , n n 上,用小矩形的面积 ΔS'i 近似地代替 . 1 ·Δx=n i 2 i + 2 · n n 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 问题导学 当堂检测 (3)求和 小曲边梯形的面积和 Sn= ∑ ΔSi≈ ∑ ΔS'i i=1 i=1 n n 1 =∑ i=1 n 1 =n 1 n2 2 n i 2 i + 2· n n 2 + n2 2 n2 + … + n2 +2 1 2 + n n +…+n n = = (n+1)(2n+1) 6n2 1 6 + n+1 n 1 n 1+ 1 n 2+ + 1+ 1 n . 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 问题导学 当堂检测 (4)取极限 分别将区间[0,1]等分

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