新乡2013年高二数学理科期中考试试卷(选修2-2、2-3)

2013 新乡市一中高二年级下期期中考试 数学(理科)试卷
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 复数 z ? A. i

2 的共轭复数是 1? i
B.-i C.1-i

(

) D.1+i

2 2.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,

那么物体在 t=4 时的瞬时速度是 A.7 米/秒
2

( C.5 米/秒 ( C. 2 sin x
2

) D.8 米/秒 ) D. sin 2 x ) D. y ? 3x ? 4

B.6 米/秒 B. 2 cos x
2

3.函数 f(x)= sin x 的导数是 A. 2 sin x
3

4.曲线 y ? x ? 3x ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为 ( y ? 4x ? 5 A. y ? ?4 x ? 3 C. y ? ?3x ? 2 5 . f ( x) 的 定 义 域 为 开 区 间 ( a, b) , 导 函 数

f ?( x) 在 (a, b) 内 的 图 象 如 图 所 示 , 则 函 数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极大值点( ) A. 1 个 B. 2 个 a C. 3 个 D. 4 个 6.一物体在力 F ( x) ? 3x ? 4 的作用下,沿着与 力 F 相同的方向,从 x ? 0 处运动到 x ? 4 处, 则力 F 所作的功是 ( ) A. 14 B. 40 C. 3
2

y

y ? f ?( x)

b

O

x

D. 12

7. 用反证法证明命题: “若整系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根, 那么 a,b,c 中至少有一个是偶数。”则假设的内容是 A.假设 a,b,c 都是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个是偶数 8.在数学归纳法证明“ 1 ? a ? a ? ? ? ? ? a ?
2 n

( ) B.假设 a,b,c 都不是偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个是偶数

1 ? a n ?1 (a ? 1, n ? N * ) ”时,验证当 n ? 1 时,等 1? a
( ) C. 1 ? a C.8 D. 1 ? a ? a 2 D.10 ( C.类比推理 ) D.特殊推理 ( )

式的左边为 A. 1 A.4 B. 1 ? a B.5

9.某段铁路所有车站共发行 20 种普通车票,那么这段铁路共有车站数是 ( ) 10.由“直线与圆相切时,圆心和切点连线与直线垂直”想到“平面与球相切时,球心和切 点连线与平面垂直”用的是 A.归纳推理 不同的参赛方案种数为
1

B.演绎推理

11.从 5 名学生中选出 4 名分别参加 A,B,C,D 四科竞赛,其中甲不能参加 A,B 两科竞赛,则

A.24
3

B.48

C.72

D.120

12.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 ) y ? 2 x ? 2 ,则过点(2,2)能作几条直线与曲线 y ? f ( x) 相切? ( A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13 若 (2x ? 3)4 ? a 0 ? a1x ? a 2 x 2 ? a3x3 ? a 4 x 4 , 则 (a 0 ? a 2 ? a 4 )2 ? (a1 ? a 3 )2 的 值 为 . 14.某人一周晚上值班 2 次,在已知他周日一定值班的条件下,则他在周六晚上值班的概率 为__________. 15.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 p ,三次投篮至少命中一次的概率为 ,则 8 . p?

7

R R

R

16.如图,电路中共有 7 个电阻与一个电灯 A,若 灯 A 不亮,分析因电阻断路的可能性共有 __种

R R R

R

A ○ 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 计算由曲线 y 2 ? x, y ? x2 所围成图形的面积 S . 2 2 18.(本小题满分 12 分)已知复数 z ? (m ? 3m) ? (m ? m ? 6)i ,则当实数 m 分别为何值 时,复数 z 是: (1)实数; (2)纯虚数; (3)对应的点位于复平面第三象限. 19.(本小题满分 12 分)五个人站成一排,求在下列条件下的不同排法种数: (用数字作答) (1)甲、乙两人相邻; (2)甲、乙两人不相邻; (3)甲不在排头,并且乙不在排尾; (4)甲在乙前,并且乙在丙前; 20.(本小题满分 12 分)已知二项式 ( x ?

2
3

x

) n 的展开式的二项式系数和为 128.

(1)求 n 的值; (2)求该二项展开式的各项的系数和; (3)求该二项展开式的一次项. 21.(本小题满分 12 分)在一次期中数学考试中,第 23 题和第 24 题为选做题.规定每位考 生必须且只需在其中选做一题.设 4 名考生选做这两题的可能性均为 (1)求其中甲、乙 2 名学生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 24 题的学生数为 ? 个,求 ? 的分布列. 22.(本题 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ?10x
2

1 . 2

⑴若 x ? 3 是该函数的一个极值点,求函数 f ? x ? 的单调区间 ⑵若 f ? x ? 在 ?1, 4? 上是单调减函数,求 a 的取值范围

2

理科答案 1~5 CADCB 6~10 BBCBC 11~12 CD

13.1

14 .

1 6

15.

1 2

16. 63

17.作出草图: 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 联立 ?

? y2 ? x ?x ? 0 ?x ? 1 ? 解得 ? 或? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 2 y ? 0 y ? 1 y ? x ? ? ? ?
2 1 1 ? ? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 3 3 3
得 m ? ?2 或 m ? 3 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分

所以,所求面积为:

S ? ? ( x ? x 2 )dx ?
0

1

18、 (1) m ? m ? 6 ? 0,
2

(2) ?

2 ? ? m ? 3m ? 0 得m ? 0 2 m ? m ? 6 ? 0 ? ?

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分

(3) ?

?m 2 ? 3m ? 0 ? 得0 ? m ? 3 2 ? ?m ? m ? 6 ? 0

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分

19.(1)把甲、乙看成一个人来排有 法种数为

A

4 4

种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分

A

4 4

×

A

2 2

=48 种

5 4 2 (2)法 1: A5 ? A4 A2 =72 3 2 法 2: A3 A4 =72

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分

(3)甲不在排头,并且乙不在排尾排法种数为: (4)因为甲、乙、丙共有 3!种顺序, 所以甲在乙前,并且乙在丙前排法种数为: 20.解:1)由题意 2 ? 128,? n ? 7 .
n

A

5 5

-2

A + A =78 种
3 3

4 4

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分

A

5 5

÷3!=20 种 ?????3 分 ?????6 分

7 2)令 x ? 1 得,该二项展开式的各项系数和 (1 ? 2) ? ?1 .

3)设该二项展开式的第 r ? 1 项为 Tr ?1 ,则

3

Tr ?1 ? C x
r 7

7?r 2

? (?2) x
r

?

r 3

? (?2) C x
r r 7

21?5 r 6

.

?????9 分



21 ? 5r 3 ? 1得 r ? 3 ,所以 T4 ? (?2)3 C7 x ? ?280x . 6
即所求一次项为 ?280 x . ?????12 分

21.解: (1)设事件 A 表示“甲选做 23 题” , 事件 B 表示“乙选做 23 题” ,则甲、乙 2 名学 生选做同一道题的事件为“AB+ A B ” ,且事件 A,B 相互独立. ∴ P(AB+ A B )=P(A) P(B) +P( A ) P( B )=

1 . 2

?????6 分

(2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2,3,4, 且 ? ~B(4,

1 1 4?k k 1 k k 1 4 ).∴ P( ? =k)= C n ( ) (1 ? ) = C n ( ) (k=0,1,2,3,4) 2 2 2 2

所以随机变量 ? 的分布列是:

?
p

0

1

2

3

4

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16

?????12 分

22. (本小题满分 12 分) 解:⑴ ∵ f ' ?x ? ?

16 2 x 2 ? 4 x ? 3 2?x ? 1? ? ?x ? 3? f ' ?x ? ? ? 2 x ? 10 ? ? …………4 分 1? x 1? x 1? x 又∵ f(x)定义域为(-1,+ ? ) 1 ,或 x>3 时,函数 f ? x ? 单调递增 当 f ' ?x ?>0 ,即 ? 1<x<
∴ f ? x ? 的单调递增区间为 ?? 1 , 1? , ?3, ? ?? ,单调递减区间为 ?1, 3? …6 分 ⑵ ∵ f ? x ? 在 ?1, 4? 上是单调减函数 当 f ' ?x ?<0 ,即 1<x<3 时,函数 f ? x ? 单调递减

a ? 2 x ? 10 …………………………………………1 分 1? x a ∴ f ' ?3? ? ? 6 ? 10 ? 0 因此 a ? 16 ……………………………2 分 4 2 ∴ f ?x? ? 16ln?1 ? x? ? x ? 10x ,其定义域为 ?? 1,??? ……………3 分

?

?

4

a 2 x 2 ? 8 x ? a ? 10 ? 2 x ? 10 ? ? 0 在 ?1, 4? 上恒成立…7 分 1? x 1? x 2 ∴2 x ? 8x ? a ? 10 ? 0 在 ?1, 4? 上恒成立 …………………………8 分
∴ f ' ?x ? ? ∴a ? [?(2 x 2 ? 8x ? 10)]min …………………………………………9 分 ∴a ? 10 ∵ 在 ?1, 4? 上, 10 ? ?(2 x 2 ? 8x ? 10) ? 18 …………………………11 分 …………………………………………………………12 分

5


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