第16讲三角函数的图象和性质(讲义)

第 16 讲 一,高考要求

三角函数的图象和性质

三角函数的性质和图象主要考查三角函数的概念,周期性,单调性,有界性 及其图象的平移和伸缩变换等, 多以小而活的选择和填空的形式出现, 有时也会 出现以函数的性质为主结合图象的综合题. 二,两点解读 重点:① 掌握三角函数的图象及其三角函数线;②根据图象记忆和掌握三 角函数的性质; 难点: ①三角函数图象的平移变换和对称变换和伸缩变换; ②三角函数单调 区间;③三角函数性质的应用. 三,课前训练 1.函数 f ( x ) = (A)

3 sin 2 x + cos 2 x 的最小正周期是
(B)

( B ) (D)4 π

π
2

π

(C)2 π

2.若把一个函数的图象按 a =(图象的函数解析式为

π ,-2)平移后得到函数 y=cosx 的图象,则原 3
(D )

π π )-2 (B) y=cos(x- )-2 3 3 π π (D) y=cos(x- )+2 (C) y=cos(x+ )+2 3 3
(A) y=cos(x+ 3.函数 y = log 0.5 (sin x cos x) 的增区间为 [ kπ +

π
4

, kπ +

π
2

)(k ∈ Z )

4.函数 y = 2sin( 四,典型例题

π
3

x ) cos(

π
6

+ x ) 的最小值为 _ -1 _____

例 1. 给定性质:①最小正周期为 π ,②图象关于直线 x = 函数中,同时具有性质①②的是
49

π
3

对称,则下列四个 ( D )

(A) y = sin( + (C) y = sin x

x π ) 2 6

(B) y = sin(2 x + (D) y = sin(2 x

π π
6 6

) )

例 2 .把函数 y = sin(ω x + )(ω > 0, < π ) 的图象向左平移 6 个单位,再将图 象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)所得图象的解析式是

π

y = sin x ,则
(A) ω = 2, =

( D )

π
6

(B) ω

1 π = , = 2 12
= 2, =

(C) ω =

1 π , = 2 6

(D) ω
左移

π
3
π
6
横坐标伸长到原来的两倍 ) + ] →

6 解: y = sin(ω x + ) y = sin[ω ( x + →

π

1 π y = sin[ ω x + (ω + )] ,再与 y = sin x 比较对应系数可得答案 D. 2 6
注:此题亦可利用逆向思维处理 例 3. 函数 f ( x) = sin x + 2 | sin x |, x ∈ [0,2π ] 的图象与直线 y = k 有且仅有两 个不同的交点,则 k 的取值范围是_____________________ 【答案】1<k<3 当 0<x<π 时,sinx>0,所以 f(x)=3sinx 当 π<x<2π 时,sinx<0,所以 f(x)=sinx-2sinx=-sinx, 结合图形可得答案 例 4. 已知函数 f ( x ) = 2 3 cos 2 x 2sin x cos x 3 , (1) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2) 若将 f ( x ) 的图象按向量 ( 原来的

π
3

, 0) 平移后,再将所有点的横坐标缩小到

1 倍,得到函数 g ( x ) 的图象,试写出 g ( x ) 的解析式.(3) 求函数 g ( x ) 2

50

在区间 [ 解:(1)∵

π π

, ] 上的值域. 8 8
2

f(x)= 2 3 cos x-2sinxcosx- 3 = 3 (cos2x+1)-sin2x- 3 =2cos(2x+

π
6

)

2kπ π ≤ 2 x +
(2)f(x)=2cos(2x+
1 横坐标缩小到原来的 倍

π
6

≤ 2 kπ ∴ kπ
向左平移 3

7π π ≤ x ≤ kπ , k ∈ Z 12 12

π
6

) → y = 2 cos( x + 2

π

5π ) 6

2 →y = 2cos( x + 4 (3) ∵ x ∈ [

5π 5π ). ) ∴g(x)=2cos(4x+ 6 , 6

π π

5π π 4π 5π 1 , ]∴ 4 x + ∈ [ , ] ∴ cos(4 x + ) ∈ [ 1, ] ∴ y ∈ [ 2,1]. 8 8 6 3 3 6 2

例 5 已知函数 f ( x ) = A sin(ωx + )( A > 0, ω > 0, | |< 所示: (1)求函数 f (x ) 的解析式并写出其所有对称中心;

π

2

) 的部分图象如下图

(2)若 g (x ) 的图角与 f (x ) 的图象关于点 P(4,0)对称,求 g (x ) 的单调递 增区间. 解: (1) f ( x ) =

2 sin(

π
8

x+

π
4

);

对称中心为 (8k 2, 0)( k ∈ Z ) (2)∵ g ( 4 + x ) + f ( 4 x ) = 2 × 0 ,∴ g ( x ) = f (8 x ) =

π π 5π π π 5π 2 sin[ (8 x) + ] = 2 sin( x) = 2 sin( x ) , 8 4 4 8 8 4 π π 5π π 令 2kπ ≤ x ≤ 2kπ + 得16k + 6 ≤ x ≤ 16k + 14 (k ∈ Z ) 2 8 4 2

即 g (x ) 单调递增区间为 [16k+6,16k+14] k ∈ Z

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