河北省衡水中学2009-2010学年高二下学期第二次调研考试理科数学试题

衡水中学 2009—2010 学年度第二学期第二次调研考试 高二年级数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共2页,第Ⅱ卷共2页。 共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项:1.答卷 Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡 上。 2.答卷Ⅰ时, 每小题选出答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。 一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上) 1. 某校高二学 生1000人,其中文科生200人,为了了解学生某次考试情况,采用按文理分层 抽样的方法,从该校高二学生中抽取一个100人的样本,则样本中文科生的人数为( A. 10 2.函数 f ( x) ? B. 20 C. 30 D. 40 ) )

1 sin 3 x ? x 在 (??,??) 上是( 3

A.奇函数,增函数 B.奇函数,减函数 C.偶函数,增函数 D.偶函数,减函数
3 3. 函数 f ( x) ? x ? x ,则 a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? 0 的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.等差数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,若

Sn a 2n ,则 lim n ? ( ? n ?? b Tn 3n ? 1 n
2 3


) .

A. 1

B.

6 3

C.

4 9

D.

5.函数 f ( x) ? x 2 ? 3x 的图像在原点处的切线的倾斜角为 ( A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

3? 4

6. 已知函数 f (x ) ? ?

?2x ? 3, x ? 1, ,则下面结论错误的个数是( ?2, x ? 1



(1) f (x ) 在 x ? 1 处连续 A. 0 B. 1

(2) f (1) ? 5 C.2

(3) lim f ( x ) ? 2
x ?1

(4) lim f (x ) ? 5
x ?1

D. 3 )

7. 数列{ an }通项 a n ? 2 ? ( A. (0,? ]

x?3 n ) ,若 lim a n ? 2 ,则 x 的取值范围是( n ?? x
3 2
C. (?? ,? )

3 2

B. (0,? )

3 2

D. ( ?? ,? ]

3 2

[来源:Zxxk.Com]

8.随机变量 ? ~ B(n, p) ,又 E? ? 15, D? ? A. 50,

1 4

B. 60,

1 4

45 ,则 n, p 的值分别为 ( 4 3 3 C. 50, D. 60, 4 4




9. 如果 ? 是离散型随机变量, ? ? 3? ? 2 ,那么( A. E? ? 3E? ? 2 , D? ? 9D? C. E? ? 3E? ? 2 , D? ? 9D? ? 4

B. E? ? 3E? , D? ? 3D? ? 2 D. E? ? 3E? ? 4 , D? ? 3D? ? 2 )

10. 对于 定义在实数集 R 上的可导函数 f (x) ,满足 xf ?( x) ? 0 ,则必有( A. f (?2) ? f (1) ? f (0) C. f (?1) ? f (1) ? 2 f (0) B. f (?2) ? f (1) ? f (0) D. f (?1) ? f (1) ? 2 f (0)

11. lim A.

x2 ?1 的值是( x ?1 3 x 2 ? 2 x ? 1
1 3
B.



1 2
3 2

C.

2 3

D. 1 )

2 2 12. 如图所示曲线是函数 y ? x ? bx ? cx ? d 的大致图象,则 x1 ? x2 等于(

A.

8 9

B.

10 9

C.

16 9
y

D.

5 3

[来源:学#科#网]

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

-1 x1

O

x2 2 x

[来源:]

卷Ⅱ(非选择题

共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 若 f ?( x) ? 1,则 lim
?x ?0

f ( x ? 2?x) ? f ( x ? 3?x) ? ?x

. . = a1b2 ? a 2 b1 ,则函

14. 随机变量 ? ~ N (2, ? 2 ) , P(2 ? ? ? 4) ? 0.3 ,则 P(? ? 0) ? 15.在四个数的两旁各加一 条竖线,引进符号:

a1 b1 a 2 b2

,定义

a1 b1 a 2 b2

数 f (x) ?

0 .5 ?1

x x2

在 x ? 1 处切线的斜率为

.

3x 2 ? 2 x ? 1 ? 16. lim 3 x ?? 2 x ? x 2 ? 5

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程 或演算 步骤) 17. (本题 10 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ? x 2 ? bx(a ? 0) , 若函数 h (x ) ? f (x ) ? g (x ) 在其定义 域 内是增函数,求 b 的取值范围.

[来源:Z#xx#k.Com]

18. (本题 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

3 3 x ? x, 其中( a ? 0 ). a

(1)求 f (x) 的单调增区间; (2)曲线 y ? f (x )在点(3 a , f (3 a ) )处的切线恒过 y 轴 上一个定点,求此定点坐标.

19. (本题 12 分) 已 知 数 列

?an ?











an ?

1 (n ? N *) (n ? 1) 2



f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) ,
试求 f (1), f (2), f (3) 的值,由此推测 f ( n) 的计算公式,并用数学归纳法加以 证明.

20. (本题12分) 在中央电视台所举办的北京2008年奥运火炬手的一期选拔节目中,假定每个选手 需要进 行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰。 若某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别是 否正确回答互不影响。 (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (2) 该选手在选拔过程中,他回答过的问题的总个数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学 .......... 期望.

4 3 2 1 , , , ,且各轮问题 能 5 4 3 2

21. (本题 12 分)

[来源:]

3 2 设 奇 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的 图 像 在 点 P(1, f (1)) 处 切 线 的 斜 率 等 于 ?6 , 又

f ?( 2)? 0.
(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? ? 求函数 g ( x) 的单调区 间.

1 f ?( x) ? 4mx ? 3m 2 ? 4, m ? (0,1) , 2

22.(本题 12 分) 已知函数 y ? f ( x) ? ax3 ? x2 ? cx ? d 是定义在 R 上的函数,其图象与 x 轴的一个交点 为 (2, 0) ,若函数 y ? f ( x) 的图象在 ? ?1,0? 和? 4, 上是减函数,在 ?0, 上是增函数。 5? 2? (1) 求 c 的值; (2) 求 a 的取值范围; (3) 在函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在一点 M ( x0 , y0 ) ,使得曲线 y ? f ( x) 在点 M 处的 切线 的斜率为3?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由。

衡水中学 第二学期第二次调研考试
BACDC 13. -1 14. DCBAC 0.2 15. BC 2
2

高二年级数学试卷 (理科) 参考答案

16.

0

17. 解析:由题意, h (x ) ? ln x ? x

? bx ? h / ( x) ?

? h (x )在?0,??? 上是增函数 , 1 ? h / (x ) ? ? 2x ? b ? 0对x ? ?0,?? ? 恒成立, ---------------------------------6 分 x 1 1 2 ? b ? ? 2x , ? x ? 0, 则 ? 2x ? 2 2 (当且仅当 x ? 时等号成立) x x 2 所以 b 的取值范围为 ? ?,2 2 。 -----------------------------------10 分 9 2 18. 解析: (1) f ?( x ) ? x ? 1 a

1 ? 2 x ? b -------- --------------3 分 x

[来源:ZXXK]

?

?

当 a ? 0时, 解 9 x 2 ? 1 ? 0, 得x ? a 或x ? ? a ; a 3 3
9 a a 解 x 2 ? 1 ? 0, 得 ? ?x? , a 3 3
3 3
[来源:ZXXK]

所以,区间 (??,? a )和( a ,??)为f ( x) 的增区间. (2)在点 (3 a , f (3 a )) 处曲线切线的斜率为

--------- -------------------------8 分

[来源:ZXXK]

93 2 a ?1, a

[来源:]

切线方 程 y ? (3 ? 3 a ) ? (

93 2 a ? 1)( x ? 3 a ), a

令 x=0,可得 y=-6, 所以切线恒守定点(0,-6).-------------------------------12 分 19. 解:由 an ?

1 1 1 1 (n ? N *) 得 a1 ? , a2 ? , a3 ? , 2 4 9 16 (n ? 1)
[来源:Zxxk.Com]

又 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an )

3 4 5 , f (2) ? , f (3) ? , 4 6 8 n?2 由此推测: f (n) ? 2(n ? 1)
∴ f (1) ?

--------------------------------3 分 ----------------------------5 分

下面用数学归纳法证明: (1)当 n ? 1 时, f (1) ?

1? 2 3 ? ,故公式正确. 2(1 ? 1) 4 k ?2 2(k ? 1)

---- ----------------------6 分

(2)假设当 n ? k 时猜测正确,即 f (k ) ?

则当 n ? k ? 1 时, f (k ? 1) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? ak )(1 ? ak ?1 ) ? f (k )(1 ? ak ?1 )

?

k ?2 1 ? ? [1 ] 2(k ? 1) (k ? 2) 2

---------------------------- ------ ---9 分

?

k ? 2 (k ? 1)(k ? 3) k ?3 (k ? 1) ? 2 ? ? ? 2 2(k ? 1) (k ? 2) 2(k ? 2) 2[(k ? 1) ? 1]

[来源:Z§xx§k.Com]

故当 n ? k ? 1 时,猜想也成立,
*

-----------------------------------------------11 分

[来源:]

(3)总上可得,对任意 n ? N 结论都成立. 20.

--------------------------12分

------------------------------4分

------------------------------12 分 21. 解析: (1)由函数 f ( x ) 是奇函数,可得 b ? d ? 0 , 得 f ( x) ? ax3 ? cx , f ?( x) ? 3ax 2 ? c 又 f ?(1) ? ?6, f ?(2) ? 0 ,解得 a ? 所以 f ( x) ? ------------------------------2分 ------------------------------4分 ----------- -------------------6分
2 2

2 , c ? ?8 , 3

2 3 x ? 8x 3

(2)由(1)可得 g?( x) ? ? x ? 4mx ? 3m , m ? (0,1) , 令 g ?( x) ? 0 得 x ? m或x ? 3m 表格(略)

[来源:]

---------------------------8分

(m, ,单调减区间 ?,m),(3m,+?) -------------12 分 3m) 故函数 g ( x) 的单调增区间 (22.

-- ----------------------- ---3分

---- ----------------------8分

------------------- -----12分


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