江苏省宿迁市建陵中学2014-2015学年高二上学期第一次质检数学试卷


2014-2015 学年江苏省宿迁市建陵中学高二(上)第一次质检数 学试卷
一、填空题(12×5 分) 1.若 A(3,1) ,B(4,0) ,C(a,4)三点共线,则 a= 2.已知直线 l:x﹣ 则直线 l′的方程为



y+6=0,若直线 l′过点(0,1) ,倾斜角为已知直线 l 倾斜角的两倍, .

3.△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(3,7) ,B(5,﹣1) ,C(﹣2,﹣5) ,则 AB 边中线所 在的直线方程是 . 4.圆 O1:x +y +6x﹣7=0 与圆 O2:x +y +6y﹣27=0 的位置关系是 5.若直线与直线 x﹣2y+5=0 与直线 2x+my﹣6=0 互相垂直,则实数 m= 6.以点 C(﹣1,5)为圆心,且与 y 轴相切的圆的方程为 7.过点 A(5,2) ,且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程为 8. 已知直线 l1: ax+y﹣1=0 与直线 l2: 4x+ (a﹣3) y﹣1=0, 若 l1∥l2, 则 a 的值为 9.过圆 x +y =5 上一点 M(1,2)的圆的切线方程为
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. . . . .



10.圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,﹣4) 、B(0,﹣2) ,则圆 C 的 方程为 . 11.已知点 A(﹣1,0) ,B(0,2) ,点 P 是圆(x﹣1) +y =1 上任意一点,则△PAB 面积的 最大值是 . 12.不论 k 为何实数,直线 y=kx+1 与曲线 x +y ﹣2ax+a ﹣2a﹣4=0 恒有交点,则实数 a 的 取值范围是 .
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二、解答题(5×12 分) 13.自点 M(2,4)作圆(x﹣1) +(y+3) =1 的切线 l,求切线 l 的方程. 14.已知圆 C 的圆心为直线 x﹣y﹣1=0 与直线 2x﹣y﹣1=0 的交点,直线 3x+4y﹣11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB=6,求圆 C 的方程.
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15.已知某圆拱桥的水面跨度为 20m, 拱高为 4m,现有一船,船宽为 10m,水面以上高为 3m, 问这条船能否从桥下通过? 16.已知光线通过点 A(2,3) ,经直线 x+y+1=0 反射,其反射光线通过点 B(1,1) ,求入 射光线和反射光线所在直线方程. 17.过点 P(3,0)有一条直线 l,它夹在两条直线 l1:2x﹣y﹣2=0 与 l2:x+y+3=0 之间的 线段恰被点 P 平分,求直线 l 的方程.

2014-2015 学年江苏省宿迁市建陵中学高二 (上) 第一次 质检数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(12×5 分) 1.若 A(3,1) ,B(4,0) ,C(a,4)三点共线,则 a= ﹣1 . 考点: 三点共线. 专题: 直线与圆. 分析: 由 A、B、C 三点共线,得 kAB=kAC;利用直线的斜率求出 a 的值. 解答: 解:∵A、B、C 三点共线, ∴kAB=kAC; ∵kAB= kAC= ∴ = , =﹣1, ,

解得 a=﹣1; 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了三点共线的判定问题,直线斜率相等经过同一点的应用. 2.已知直线 l:x﹣ 则直线 l′的方程为 y+6=0,若直线 l′过点(0,1) ,倾斜角为已知直线 l 倾斜角的两倍, x﹣y+1=0 .

考点: 直线的点斜式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得已知直线的斜率,进而可得倾斜角,可得直线 l′的斜率,写出其点斜 式方程化为一般式即可. 解答: 解:∵直线 l:x﹣ y+6=0 的斜率为 = ,

∴直线 l:x﹣ y+6=0 的倾斜角为 30°, ∴直线 l′的倾斜角为 60°,斜率为 tan60°= , 又∵直线 l′过点(0,1) , ∴直线 l′的方程为 y﹣1= (x﹣0) , 化为一般式可得 x﹣y+1=0 故答案为: x﹣y+1=0 点评: 本题考查直线的方程,涉及直线的斜率和倾斜角,属基础题. 3.△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(3,7) ,B(5,﹣1) ,C(﹣2,﹣5) ,则 AB 边中线所 在的直线方程是 4x﹣3y﹣7=0 .

考点: 直线的两点式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得 AB 的中点为 D(4,3) ,可得 CD 的斜率,进而可得点斜式方程,化为一 般式即可. 解答: 解:∵A(3,7) ,B(5,﹣1) ,C(﹣2,﹣5) , 由中点坐标公式可得 AB 的中点为 D(4,3) , ∴CD 的斜率 k= = ,

∴AB 边中线 CD 的方程为 y﹣3= (x﹣4) , 化为一般式可得 4x﹣3y﹣7=0 故答案为:4x﹣3y﹣7=0 点评: 本题考查直线的方程,涉及斜率公式和点斜式方程,属基础题. 4.圆 O1:x +y +6x﹣7=0 与圆 O2:x +y +6y﹣27=0 的位置关系是 相交 . 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 将圆的方程化为标准方程,求出圆心与半径,可得圆心距,即可得出结论. 解答: 解:圆 O1:x +y +6x﹣7=0,化为标准方程为(x+3) +y =16,圆心为(﹣3,0) ,半 径为 4, 圆 O2:x +y +6y﹣27=0,化为标准方程为 x +(y+3) =36,圆心为(0,﹣3) ,半径为 6, 圆心距为 3 ∵6﹣4<3 <6+4, ∴两圆相交, 故答案为:相交. 点评: 本题考查圆与圆的位置关系及其判定,考查学生的计算能力,比较基础. 5.若直线与直线 x﹣2y+5=0 与直线 2x+my﹣6=0 互相垂直,则实数 m= 1 . 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出两条直线的斜率;利用两直线垂直斜率之积为﹣1,列出方程求出 m 的值. 解答: 解:直线 x﹣2y+5=0 的斜率为 直线 2x+my﹣6=0 的斜率为 ∵两直线垂直 ∴ 解得 m=1 故答案为:1 点评: 本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为﹣1.
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6.以点 C(﹣1,5)为圆心,且与 y 轴相切的圆的方程为 (x+1) +(y﹣5) =1 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 要求圆的方程,注意找出圆心和半径,而圆心已知,故要求圆的半径,方法为:由 所求圆与 y 轴相切, 得到圆心的横坐标的绝对值为圆的半径, 进而由圆心 C 的坐标和求出的 半径写出圆的标准方程即可. 解答: 解:∵圆心 C 的坐标为(﹣1,5) ,且所求圆与 y 轴相切, ∴圆的半径 r=|﹣1|=1, 则所求圆的方程为(x+1) +(y﹣5) =1. 2 2 故答案为: (x+1) +(y﹣5) =1 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离 公式,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,其中根据题意得到圆心横坐标 的绝对值为圆的半径是解本题的关键. 7.过点 A(5,2) ,且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程为 2x﹣5y=0,或 x﹣y ﹣3=0 . 考点: 直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 当直线过原点时,由点斜式求出直线的方程.当直线不过原点时,设方程为 ,把点 P(2,3)代入可得 a 的值,从而得到直线方程.综合以上可得答案. 解答: 解:当直线过原点时,由于斜率为 当直线不过原点时,设方程为 = ,故直线方程为 y= x,即 2x﹣5y=0.
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2

,把点 A(5,2)代入可得 a=3,

故直线的方程为 x﹣y﹣3=0, 故答案为:2x﹣5y=0,或 x﹣y﹣3=0. 点评: 本题主要考查用待定系数法求直线的方程,体现了分类讨论的数学思想,属于基础 题. 8.已知直线 l1:ax+y﹣1=0 与直线 l2:4x+(a﹣3)y﹣1=0,若 l1∥l2,则 a 的值为 ﹣1 . 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 对 a 分类讨论,再把直线的方程化为斜截式,利用两条直线平行的充要条件即可得 出. 解答: 解:当 a=0 或 3 时,l1 与 l2 不平行; 当 a≠0 或 3 时,直线 l1:ax+y﹣1=0 与直线 l2:4x+(a﹣3)y﹣1=0, 分别化为:y=﹣ax+1,y= ,

∵l1∥l2,∴

,且



解得 a=4 或﹣1. 而 a=4 时不满足题意,舍去. ∴a=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了分类讨论、斜截式、两条直线平行的充要条件,考查了推理能力,属于 基础题. 9.过圆 x +y =5 上一点 M(1,2)的圆的切线方程为
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x+2y﹣5=0 .

考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径,然后求出 M 与圆心的距离判断出 M 在圆上即 M 为切点,根据圆的切线垂直于过切点的直径,由圆心和 M 的坐标求出 OM 确定直线方程的 斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1,求出切线的斜率,根据 M 坐标和求出的斜率写出 切线方程即可. 解答: 解:由圆 x +y =5,得到圆心 A 的坐标为(0,0) ,圆的半径 r= , 而|AM|= =r,所以 M 在圆上,则过 M 作圆的切线与 AM 所在的直线垂直, 又 M(1,2) ,得到 AM 所在直线的斜率为 2,所以切线的斜率为﹣ , 则切线方程为:y﹣2=﹣ (x﹣1)即 x+2y﹣5=0. 故答案为:x+2y﹣5=0. 点评: 此题考查学生掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系,掌握两直线垂直时斜 率所满足的关系,会根据一点的坐标和直线的斜率写出直线的方程,是一道综合题. 10.圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,﹣4) 、B(0,﹣2) ,则圆 C 的 方程为 (x﹣2) +(y+3) =5 . 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 由垂径定理确定圆心所在的直线,再由条件求出圆心的坐标,根据圆的定义求出半 径即可. 解答: 解:∵圆 C 与 y 轴交于 A(0,﹣4) ,B(0,﹣2) , ∴由垂径定理得圆心在 y=﹣3 这条直线上. 又∵已知圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上,∴联立 ∴圆心 C 为(2,﹣3) , ∴半径 r=|AC|=
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,解得 x=2,

=



∴所求圆 C 的方程为(x﹣2) +(y+3) =5. 2 2 故答案为(x﹣2) +(y+3) =5.

点评: 本题考查了如何求圆的方程,主要用了几何法来求,关键确定圆心的位置;还可用 待定系数法. 11.已知点 A(﹣1,0) ,B(0,2) ,点 P 是圆(x﹣1) +y =1 上任意一点,则△PAB 面积的 最大值是 .
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 当过 P 点的直线与 AB 平行且与圆相切时,切点 P 为△PAB 面积的最大值时动点的位 置,由 A 与 B 的坐标求出直线 AB 的斜率为 2,进而得到切线的斜率也为 2,设出切线方程 y=2x+b,利用直线与圆相切时圆心到直线的距离 d 等于半径 r,列出关于 b 的方程,求出的 解得到 b 的值,确定出切线的方程,然后由 A 与 B 两点写出直线 AB 的方程,根据平行线间 的距离公式求出 AB 与切线间的距离即为三角形 ABP 中 AB 边上的高, 利用勾股定理求出|AB| 的长,利用三角形的面积公式即可求出此时△PAB 面积,此时的面积即为最大值. 解答: 解:根据题意画出图形,如图所示: 由直线 AB 的斜率 kAB= =2,得到过 P 与 AB 平行且与圆相切的直线斜率 k=2,

设该直线的方程为:y=2x+b,又圆心坐标为(1,0) ,半径 r=1, 所以圆心到直线的距离 d= 故该直线方程为:y=2x﹣ 所以两平行线的距离为 则△PAB 面积的最大值是 × 故答案为: =r=1,即 b= ﹣2(舍去)或 b=﹣ ﹣2,

﹣2,又直线 AB 的方程为:y=2(x+1) ,即 y=2x+2, ,|AB|= × = = . ,

点评: 此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件,掌握平行线间的距离公式,考查了 数形结合的数学思想.当过一点于圆相切且与直线 AB 平行,此时切线与圆的切点为△PAB 面积取得最大值时动点 P 的位置,找出此点是解本题的关键. 12.不论 k 为何实数,直线 y=kx+1 与曲线 x +y ﹣2ax+a ﹣2a﹣4=0 恒有交点,则实数 a 的 取值范围是 ﹣1≤a≤3 .
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考点: 直线与圆的位置关系;点与圆的位置关系;直线和圆的方程的应用. 分析: 直线 y=kx+1 与曲线 x +y ﹣2ax+a ﹣2a﹣4=0 恒有交点,说明直线系过的定点必在圆 上或圆内. 解答: 解:直线 y=kx+1 恒过(0,1)点的直线系, 曲线 x +y ﹣2ax+a ﹣2a﹣4=0 表示圆圆心(a,0) ,半径为: ) , 2 2 2 直线与曲线 x +y ﹣2ax+a ﹣2a﹣4=0 恒有交点,必须定点在圆上或圆内, 即: 所以,﹣1≤a≤3
2 2 2 2 2 2

故答案为:﹣1≤a≤3. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,点与圆的位置关系,两点间的距离公式,直线系等 知识是中档题. 二、解答题(5×12 分) 13.自点 M(2,4)作圆(x﹣1) +(y+3) =1 的切线 l,求切线 l 的方程. 考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 切线的斜率不存在时 x=3 验证即可,当切线的斜率存在时,设为 k,写出切线方程, 圆心到切线的距离等于半径,解出 k 求出切线方程. 解答: 解:∵圆 C: (x﹣1) +(y+3) =1.圆的圆心坐标(1,﹣3) ,半径为 1, 当切线的斜率不存在时,对直线 x=2,C(1,﹣3)到直线的距离为 1,满足条件; 当 k 存在时,设直线 y﹣4=k(x﹣2) ,即 y=kx+4﹣2k, ∴ =1,得 k= .
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∴得直线方程 x=2 或 y=

x﹣



故切线的方程为 x=2 或 24x﹣7y﹣20=0. 点评: 本题考查圆的切线方程,点到直线的距离公式,是基础题. 14.已知圆 C 的圆心为直线 x﹣y﹣1=0 与直线 2x﹣y﹣1=0 的交点,直线 3x+4y﹣11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB=6,求圆 C 的方程. 考点: 直线与圆的位置关系;圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 要求圆 C 的方程,先求圆心,再求半径,根据垂径定理,利用勾股定理求出半径.写 出圆的方程即可. 解答: 解:直线 x﹣y﹣1=0 与直线 2x﹣y﹣1=0 的交点坐标为(0,﹣1) ,所以圆心的坐标 为(0,﹣1) ; 圆心 C 到直线 AB 的距离 d= 因为 AB=6, =3,

所以根据勾股定理得到半径 r=
2 2

=3



所以圆的方程为 x +(y+1) =18. 点评: 本题考查圆的标准方程,会根据圆心和半径写出圆的方程.灵活运用垂径定理及点 到直线的距离公式解决数学问题. 15.已知某圆拱桥的水面跨度为 20m, 拱高为 4m,现有一船,船宽为 10m,水面以上高为 3m, 问这条船能否从桥下通过? 考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为 x =﹣2py(p>0) ,将 B(10,﹣4) 代入,求得抛物线方程,求出 A 的纵坐标,即可求得结论. 解答: 解:建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为 x =﹣2py(p>0) 2 将 B(10,﹣4)代入得 2p=25,∴x =﹣25y, 当船两侧与抛物线接触时不能通过, 设点 A(5,yA) ,由 5 =﹣25yA,得 yA=﹣1, 由于 3>1,故这条船能从桥下通过.
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点评: 本题考查抛物线的应用,是中档题.解题时要认真审题,恰当地建立坐标系,合理 地进行等价转化. 16.已知光线通过点 A(2,3) ,经直线 x+y+1=0 反射,其反射光线通过点 B(1,1) ,求入 射光线和反射光线所在直线方程. 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 求得点 A 关于直线 x+y+1=0 的对称点 A'的坐标,可得直线 A'B 的方程为 ,

即为反射光线所在的 直线方程. 求得直线 A'B 与直线 x+y+1=0 的交点 C 的坐标, 再用两点式求得入射光线所在的 直线 AC 的方程. 解答: 解:求得点 A(2,3)关于直线 x+y+1=0 的对称点 A'(﹣4,﹣3) ,…(4 分) 则由两点式求得反射光线所在的直线 A'B 的方程为 .…(6 分)



求得直线 A'B 与直线 x+y+1=0 的交点

,…(10 分)

由两点式求得入射光线所在的直线 AC 的方程为

,…(12 分)

综上, 入射光线所在直线方程为 5x﹣4y+2=0, 反射光线所在直线方程为 4x﹣5y+1=0. … (14 分) 点评: 本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标,用两点式求直线的方程,属于中 档题. 17. (12 分) (2013 秋? 甘州区校级期末)过点 P(3,0)有一条直线 l,它夹在两条直线 l1:2x﹣y﹣2=0 与 l2:x+y+3=0 之间的线段恰被点 P 平分,求直线 l 的方程. 考点: 直线的一般式方程;两条直线的交点坐标. 专题: 计算题. 分析: 设出 A 与 B 两点的坐标,因为 P 为线段 AB 的中点,利用中点坐标公式即可列出两点 坐标的两个关系式,然后把 A 的坐标代入直线 l1,把 B 的坐标代入直线 l2,又得到两点坐 标的两个关系式,把四个关系式联立即可求出 A 的坐标,然后由 A 和 P 的坐标,利用两点式 即可写出直线 l 的方程. 解答: 解:如图,设直线 l 夹在直线 l1,l2 之间的部分是 AB,且 AB 被 P(3,0)平分. 设点 A,B 的坐标分别是(x1,y1) , (x2,y2) ,则有 , (4 分)

又 A,B 两点分别在直线 l1,l2 上,所以

. (8 分)

由上述四个式子得

,即 A 点坐标是

,B( ,﹣

) (11 分)

所以由两点式的 AB 即 l 的方程为 8x﹣y﹣24=0. (12 分)

点评: 此题考查学生会根据两点的坐标写出直线的方程, 灵活运用中点坐标公式化简求值, 是一道综合题.


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